Iloczyn tensorowy dwóch modułów

Produkt tensor dwóch modułów jest konstrukcją w module teorią co do dwóch modułów tego samego jednolitego przemienne w pierścieniu A , przydziela się moduł. Iloczyn tensora jest bardzo ważny w dziedzinie topologii algebraicznej i geometrii algebraicznej . Produkt tensorowy umożliwia również zredukowanie badania zastosowań dwuliniowych lub wieloliniowych do zastosowań liniowych.

Wprowadzenie - zastosowania dwuliniowe

Kiedy M , N i F są trzema modułami A , to mapę bilinearną nazywamy mapą f  : M × N → F , tak że:

• f jest liniowe po lewej stronie, to znaczy tak .∀α,β∈W,∀x,y∈M,∀z∈NIE,fa(αx+βy,z)=αfa(x,z)+βfa(y,z){\ Displaystyle \ forall \ alfa, \ beta \ w A, \ forall x, y \ w M, \ forall z \ w N, f (\ alfa x + \ beta y, z) = \ alfa f (x, z ) + \ beta f (y, z)}
• f jest właściwie liniowe, to znaczy tak .∀α,β∈W,∀x∈M,∀y,z∈NIE,fa(x,αy+βz)=αfa(x,y)+βfa(x,z){\ Displaystyle \ forall \ alfa, \ beta \ w A, \ forall x \ w M, \ forall y, z \ w N, f (x, \ alfa y + \ beta z) = \ alfa f (x, y ) + \ beta f (x, z)}

Aby zredukować badanie map dwuliniowych do map liniowych, proponujemy zdefiniowanie modułu M ⊗ N i mapy dwuliniowej w taki sposób, że każda mapa dwuliniowa jest jednoznacznie rozłożona po prawej stronie przez , tj. Qu 'istnieje jedna i tylko jedna mapa liniowa takie że . φ:M×NIE→M⊗NIE{\ Displaystyle \ varphi: M \ razy N \ do M \ otimes N}fa:M×NIE→fa{\ displaystyle f: M \ razy N \ do F}φ{\ displaystyle \ varphi} sol:M⊗NIE→fa{\ Displaystyle g: M \ otimes N \ do F}fa=sol∘φ{\ displaystyle f = g \ circ \ varphi}

Udowodnimy, że taka para istnieje i jest wyjątkowa poza jednym izomorfizmem . (M⊗NIE,φ){\ Displaystyle (M \ otimes N \ varphi)}

Definicja

Niech M i N będą dwoma modułami A. Przestrzeń c = a ( M x N ) jest -module z kombinacji liniowych formalnych (ze współczynników A ) elementów M x N . Taka przestrzeń może być również zdefiniowana w równoważny sposób jako moduł A odwzorowań od M × N do A zera wszędzie z wyjątkiem skończonej liczby elementów. To jest - bezpłatny moduł , który jest podstawą kanoniczny. (mi(x,y))(x,y)∈M×NIE{\ Displaystyle (e _ {(x, y)}) _ {(x, y) \ w M \ razy N}}

Chcemy elementów formy

• mi(x+y,z)-mi(x,z)-mi(y,z){\ Displaystyle e _ {(x + y, z)} - e _ {(x, z)} - e _ {(y, z)}}
• mi(x,y+z)-mi(x,y)-mi(x,z){\ Displaystyle e _ {(x, y + z)} - e _ {(x, y)} - e _ {(x, z)}}
• mi(αx,y)-αmi(x,y){\ Displaystyle e _ {(\ alfa x, y)} - \ alfa e _ {(x, y)}}
• mi(x,αy)-αmi(x,y){\ Displaystyle e _ {(x, \ alfa y)} - \ alfa e _ {(x, y)}}

są identyfikowane jako zerowe. Dlatego nazywamy D podmodułem języka C wygenerowanym przez elementy poprzedniego formularza. Nazywa się produkt napinacz z M i N , i oznacza M ⊗ A N iloraz modułu C / D . Ważne jest, aby określić pierścień skalarów A w notacji iloczynu tensorowego. Jeśli jednak sytuacja jest wystarczająco jasna, możemy sobie pozwolić na to, aby nie przeciążać ocen. Uwaga klasy w M ⊗ A N . x⊗y{\ displaystyle x \ otimes y}mi(x,y){\ Displaystyle e _ {(x, y)}}

Odpowiedz na pierwotne pytanie

Konstrukcja iloczynu tensorowego pozwala stwierdzić, że jest to mapa dwuliniowa, którą oznaczamy . (x,y)↦x⊗y{\ displaystyle (x, y) \ mapsto x \ otimes y}φ:M×NIE→M⊗WNIE{\ Displaystyle \ varphi: M \ razy N \ do M \ otimes _ {A} N}

Pokażmy, że moduł ten rozwiązuje postawiony na wstępie problem zastosowań dwuliniowych. W tym celu dajmy bilinearną mapę . Ponieważ Moduł C jest wolny, określa odwzorowanie liniowe C do F odpowiada wyborze elementów obrazu na podstawie kanonicznej C . W ten sposób definiujemy aplikację przez: fa:M×NIE→fa{\ displaystyle f: M \ razy N \ do F}fa¯{\ displaystyle {\ overline {f}}}

∀(x,y)∈M×NIE,fa¯(mi(x,y))=fa(x,y){\ Displaystyle \ forall (x, r) \ w M \ razy N, {\ overline {f}} (e _ {(x, y)}) = f (x, y)}

Ale fakt, że f jest dwuliniowy, oznacza, że:

• fa¯(mi(x+y,z)-mi(x,z)-mi(y,z))=0{\ Displaystyle {\ overline {f}} (mi _ {(x + y, z)} - mi _ {(x, z)} - mi _ {(y, z)}) = 0}
• fa¯(mi(x,y+z)-mi(x,y)-mi(x,z))=0{\ Displaystyle {\ overline {f}} (mi _ {(x, y + z)} - mi _ {(x, y)} - mi _ {(x, z)}) = 0}
• fa¯(mi(αx,y)-αmi(x,y))=0{\ Displaystyle {\ overline {f}} (e _ {(\ alfa x, y)} - \ alfa e _ {(x, y)}) = 0}
• fa¯(mi(x,αy)-αmi(x,y))=0{\ Displaystyle {\ overline {f}} (e _ {(x, \ alfa y)} - \ alfa e _ {(x, y)}) = 0}

Więc podmoduł D jest zawarty w jądrze programu . Wychodzimy z ilorazu, że istnieje aplikacja taka, że: fa¯{\ displaystyle {\ overline {f}}}sol:M⊗WNIE=VS/re→fa{\ Displaystyle g: M \ otimes _ {A} N = C / D \ do F}

fa(x,y)=sol(x⊗y)=sol∘φ(x,y){\ Displaystyle f (x, y) = g (x \ otimes y) = g \ Circ \ varphi (x, y)}

Ponadto g jest unikalne, ponieważ elementy formularza generują . x⊗y{\ displaystyle x \ otimes y}M⊗WNIE{\ displaystyle M \ otimes _ {A} N}

Na koniec pokażmy, że jest on wyjątkowy z wyjątkiem izomorfizmu, tj. Jeśli istnieje moduł H taki, że: M⊗WNIE{\ displaystyle M \ otimes _ {A} N}

• Istnieje dwuliniowa aplikacja .φ′:M×NIE→H.{\ Displaystyle \ varphi ': M \ razy N \ do H}
• Jeśli f  : M × N → F jest mapą dwuliniową, to istnieje unikalna mapa liniowa g  : H → F taka, że .fa=sol∘φ′{\ displaystyle f = g \ circ \ varphi '}

to H jest izomorficzne do . M⊗WNIE{\ displaystyle M \ otimes _ {A} N}

Jeśli tak, jak jest dwuliniowe, istnieje aplikacja, taka jak . Podobnie, ponieważ jest dwuliniowy, nie jest aplikacją takie, że . Tak a ponieważ jest również mapa liniowy w zaspokajaniu , możemy wywnioskować z właściwości wyjątkowość tego . To samo . A więc i są A - moduły izomorficzne . φ:M×NIE→M⊗WNIE{\ Displaystyle \ varphi: M \ razy N \ do M \ otimes _ {A} N}u1:H.→M⊗WNIE{\ Displaystyle u_ {1}: H \ do M \ otimes _ {A} N}φ=u1∘φ′{\ displaystyle \ varphi = u_ {1} \ circ \ varphi '}φ′:M×NIE→H.{\ Displaystyle \ varphi ': M \ razy N \ do H}u2:M⊗WNIE→H.{\ Displaystyle u_ {2}: M \ otimes _ {A} N \ do H}φ′=u2∘φ{\ displaystyle \ varphi '= u_ {2} \ circ \ varphi}φ=u1∘u2∘φ{\ displaystyle \ varphi = u_ {1} \ circ u_ {2} \ circ \ varphi}jare{\ identyfikator displaystyle}M⊗WNIE{\ displaystyle M \ otimes _ {A} N}M⊗WNIE{\ displaystyle M \ otimes _ {A} N}φ=jare∘φ{\ displaystyle \ varphi = id \ circ \ varphi}u1∘u2=jare{\ displaystyle u_ {1} \ circ u_ {2} = id}u2∘u1=jare{\ displaystyle u_ {2} \ circ u_ {1} = id}M⊗WNIE{\ displaystyle M \ otimes _ {A} N}H.{\ displaystyle H}

Uwaga: w module ilorazowym M ⊗ N obraz M × N jest stożkiem .

Obudowa dwóch wolnych modułów

Jeżeli dwie -modules M i N są wolne (na przykład, jeśli przemienne pierścień to pole i M , N dwie przestrzenie wektora w tej dziedzinie), a następnie ich produkt napinacz jest wolne: jeżeli ( m I ) i a ( n J ) j są odpowiednimi zasadami M i N , podstawą M ⊗ A N jest ( m i ⊗ n j ) ( i , j ) .

W szczególności iloczyn tensorowy dwóch przestrzeni wektorowych M i N ma wymiar wym ( M ) × wym ( N ).

Na przykład złożona  (w) rzeczywistej przestrzeni wektorowej E (szczególny przypadek rozszerzenia skalarów ), która jest z definicji złożoną przestrzenią wektorową ℂ⊗ ℝ E , ma, widziany jako rzeczywista przestrzeń wektorowa, podwójny wymiar wymiaru E : dowolny wektor ℂ⊗ ℝ E jest sumą iloczynu tensora 1 przez wektor E i i przez inny wektor E i jeśli ( e j ) j jest podstawą E (na ℝ), to podstawa na ℝ z ℂ⊗ ℝ E jest utworzone z 1⊗ e j oraz i ⊗ e j (podczas gdy podstawą na ℂ z ℂ⊗ ℝ E jest (1⊗ e j ) j ).

Uogólnienie na gotowy produkt modułów

To, co zostało zrobione wcześniej, można łatwo uogólnić na zastosowania wieloliniowe. Lub E 1 , ..., E n z modułów A. Rozważamy iloczyn modułu E = E 1 ×… × E n . Mówi się, że mapa f  : E → F jest n- liniowa, jeśli

Niezależnie od indeksu i oraz n - 1 elementów , mapa częściowa jest liniowa.xk∈mik(k≠ja){\ Displaystyle x_ {k} \ in E_ {k} (k \ neq i)}xja↦fa(x1,...,xja-1,xja,xja+1,...,xnie){\ Displaystyle x_ {i} \ mapsto f (x_ {1}, \ kropki, x_ {i-1}, x_ {i}, x_ {i + 1}, \ kropki, x_ {n})}

Istnieje -module których oznaczenia i n -linear mapie z e w , że dla każdego, takie n -linear mapą E w nadejściu moduł F istnieje unikalny liniowym tak, że . ⨂ja=1niemija{\ displaystyle \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i}}φ:(x1,...,xnie)↦x1⊗x2⊗⋯⊗xnie{\ Displaystyle \ varphi: (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}) \ mapsto x_ {1} \ otimes x_ {2} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n}}⨂ja=1niemija{\ displaystyle \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i}}sol:⨂ja=1niemija→fa{\ Displaystyle g: \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i} \ do F}fa=sol∘φ{\ displaystyle f = g \ circ \ varphi}

W rzeczywistości iloczyn tensorowy dwóch modułów jest asocjacyjny w następującym sensie: jeśli E , F , G są trzema modułami A , to moduły ( E ⊗ A F ) ⊗ A G , E ⊗ A (F ⊗ A G ) i E ⊗ A F ⊗ A G są izomorficzne.

Język kategorii

Do stałej -modules e 1 , ..., E n , że Przekształcenie Wieloliniowe , gdzie M nakierowuje A -modules, są obiektami o kategorii , morfizmem od obiektu do obiektu jest liniową mapą H o F w G, tak że . W języku kategorii właściwość stwierdzono powyżej mapy z w , to znaczy, że dla każdego N -linear mapą w module przybycia F istnieje unikalny liniowym tak, że , kwoty do stwierdzenia, że jest początkowy przedmiot z kategorię, o której mowa, lub jeszcze raz: funktor kowariantny, który z dowolnym modułem F wiąże moduł odwzorowań wieloliniowych, jest reprezentowany przez .  mi1×⋯×minie→fa{\ Displaystyle \ E_ {1} \ razy \ cdots \ razy E_ {n} \ rightarrow F} fa:mi1×⋯×minie→fa{\ Displaystyle \ f: E_ {1} \ razy \ cdots \ razy E_ {n} \ rightarrow F} sol:mi1×⋯×minie→sol{\ Displaystyle \ g: E_ {1} \ razy \ cdots \ razy E_ {n} \ rightarrow G} sol=godz∘fa{\ displaystyle \ g = h \ circ f}φ:(x1,...,xnie)↦x1⊗x2⊗⋯⊗xnie{\ Displaystyle \ varphi: (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}) \ mapsto x_ {1} \ otimes x_ {2} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n}} mi1×⋯×minie{\ Displaystyle \ E_ {1} \ razy \ cdots \ razy E_ {n}}⨂ja=1niemija{\ displaystyle \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i}} mi1×⋯×minie{\ Displaystyle \ E_ {1} \ razy \ cdots \ razy E_ {n}}sol:⨂ja=1niemija→fa{\ Displaystyle g: \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i} \ do F}fa=sol∘φ{\ displaystyle f = g \ circ \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}mi1×...×minie→fa{\ Displaystyle E_ {1} \ razy \ ldots \ razy E_ {n} \ do F}⨂ja=1niemija{\ displaystyle \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i}}

Co więcej, dla ustalonego modułu A N , dane z dwuliniowej mapy M × N w F są równoważne z mapą liniową M w module Hom ( N , F ) liniowych map N w F , tak, że funktor - ⊗ N jest dołączony po lewej stronie funktora Hom ( N , -), czyli mamy izomorfizm naturalny:

H.om(M⊗NIE,fa)≃H.om(M,H.om(NIE,fa)).{\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (M \ otimes N, F) \ simeq \ mathrm {Hom} (M, \ mathrm {Hom} (N, F)).}

Uwagi i odniesienia

1. Serge Lang , Algebra [ szczegóły wydań ], 3 e ed., Paryż, Dunod, 2004, str. 618-620.

Powiązane artykuły

• Iloczyn tensorowy algebr
• Lemma Yoneda

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">