Reprezentowalna funkcja

W matematyce istnieje wiele uniwersalnych właściwości . Formalizm kategorii pozwala w bardzo prosty sposób wyrazić te własności.

Definicja

Niech F będzie lokalnie kategorii małych i F kontrawariantny funktor odpowiednio kowariantna, stanowi w Ens (kategoria zestawów). Mówimy, że F jest reprezentowalna jeśli istnieje przedmiot X w taki sposób, że F jest izomorficzna z funktora , odpowiednio do funktora . VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}X^=H.om(.,X):Y↦H.om(Y,X){\ displaystyle {\ hat {X}} = Hom (., X): Y \ mapsto Hom (Y, X)}H.om(X,.):Y↦H.om(X,Y){\ Displaystyle Hom (X ,.): Y \ mapsto Hom (X, Y)}

Lemma Yoneda

Do naturalnych przemian z w F odpowiada bijectively do elementów . X^{\ displaystyle {\ hat {X}}}fa(X){\ Displaystyle F (X)}

Zatem mówimy, że funktor F jest reprezentowany przez (gdzie jest elementem F (X) ), kiedy jest izomorfizmem funktora. (X,ζ){\ Displaystyle (X, \ zeta)}ζ{\ displaystyle \ zeta}ζ^:X^→fa{\ displaystyle {\ hat {\ zeta}}: {\ hat {X}} \ rightarrow F}

Reprezentowalne funkcje współzmiennych

• Suma

Niech będzie kategorią, A i B dwoma obiektami . Uważamy funktor w Ens , które w X kombajnów . Reprezentowanie tego funktora odpowiada uniwersalnej własności sumy. VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}H.om(W,X)×H.om(b,X){\ Displaystyle Hom (A, X) \ razy Hom (B, X)}

• Darmowy moduł , wolna grupa , wolna grupa abelowa , swobodny monoid , wielomiany .

Niech będę zbiorem i A pierścieniem przemiennym. Funktor kategorii modułu A w Zbiór (odpowiednio kategoria grup, grup przemiennych, monoidów, A- algebra), który jest reprezentowany przez moduł A (odpowiednio cały łańcuch) . Otrzymujemy wolny moduł A , odpowiednio, podstawową grupę wolną I , grupę przemienną , wolny monoid słów opartych na alfabecie I , algebrę wielomianów, których I jest zbiorem nieokreślonych. fa{\ displaystyle F}faja{\ displaystyle F ^ {I}}W(ja){\ Displaystyle A ^ {(I)}}W(ja){\ Displaystyle A ^ {(I)}}

• Zakończony

Niech E będzie przestrzenią metryczną . Funktor z kategorii przestrzeń zupełna w Ens , że pełna przestrzeń metryczna X łączy Hom (E, X) jest reprezentowany przez zakończeniu E .

• Kompaktowane przez Stone-Čech

Niech E będzie przestrzenią topologiczną. Funktor ze zwartych topologicznych w Ens którym A zwartą X łączy hom (E, X) jest reprezentowana przez zwartego kamienny Čech z E .

• Produkt Tensor

Niech A będzie jednostkowym pierścieniem przemiennym, a E i F dwoma modułami A. Produkt napinacz z E i F jest funktor którym -module G łączy wszystkie aplikacje dwuliniowe w G . mi×fa{\ displaystyle E \ razy F}

Reprezentowalne funkcje kontrawariantne

• Produkt

Niech będzie kategorią, A i B dwoma obiektami . Uważamy funktor w Ens , które w X kombajnów . Reprezentowanie tego funktora odpowiada uniwersalnej własności produktu. VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}H.om(X,W)×H.om(X,b){\ Displaystyle Hom (X, A) \ razy Hom (X, B)}

• Topologia indukowana

Niech X będzie przestrzenią topologiczną i Y częścią X . Topologią przez X w Y, pod warunkiem, że wtrysk kanonicznej oznacza funktor góry w Ens których co A kojarzy zbiór ciągłych aplikacji A w X , której obraz jest w Y .

• Topologia zwarta-otwarta

Niech X będzie lokalnie zwartą przestrzenią topologiczną, a Y przestrzenią topologiczną. Funktor jest reprezentowany przez przestrzeń funkcji ciągłych od X do Y o topologii zwartej-otwartej. T↦H.omTop(T×X,Y){\ displaystyle T \ mapsto Hom_ {Top} (T \ razy X, Y)}

Odniesienie

Teorie Régine i Adrien Douady , algebry i Galois [ szczegóły wydań ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">