Kombinacja liniowa

W matematyce , A kombinacja liniowa jest wyrazem zbudowane z zestawu warunków poprzez pomnożenie każdy termin przez stałą i dodaje wynik. Na przykład liniowa kombinacja x i y byłaby wyrażeniem postaci ax + by , gdzie a i b są stałymi.

Pojęcie kombinacji liniowej ma kluczowe znaczenie dla algebry liniowej i pokrewnych dziedzin matematyki . Większość tego artykułu dotyczy kombinacji liniowych w kontekście przestrzeni wektorowej nad polem przemiennym i wskazuje na pewne uogólnienia na końcu artykułu.

Definicje

Niech K pole przemienne i E przestrzeń wektor na K . Elementy E nazywane są wektory i elementy K z skalarnych . Jeśli v 1 ,…, v n są wektorami, a a 1 ,…, a n są skalarami, to liniową kombinacją tych wektorów, w których te skalary są współczynnikami, jest wektor a 1 v 1 +… + a n v n .

Aby mówić o liniowej kombinacji rodziny ( v i ) i ∈ I wektorów E indeksowanych przez możliwie nieskończony zbiór I , należy przyjąć, że rodzina ( a i ) i ∈ I skalarów ma skończone podparcie , że jest to, że istnieje tylko jeden skończony zbiór indeksów i, dla których a i jest różne od zera. Liniowa kombinacja współczynników v i a i jest wówczas sumą ∑ i ∈ I a i v i (w szczególności kombinacja liniowa nie nosząca żadnego wektora jest sumą pustą , równą wektorowi zerowemu ).

„ Liniowa zależność zależna ” jest kombinacją liniową równą wektorowi zerowemu. Rodzina wektorów jest połączona, jeśli ma co najmniej jedną „ nietrywialną ” liniową zależność zależności , to znaczy ze współczynnikami nie wszystkie są równe zero.

Część nie pusty C z E jest podprzestrzeń wektor , wtedy i tylko wtedy, gdy M jest „stabilna kombinacji liniowych”, to znaczy, jeżeli połączenie liniowych wektorów F pozostaje wektor F .

Przykłady

Niech K będzie ℝ dziedzinie liczb rzeczywistych i E wektor przestrzeń ℝ 3 .
Rozważ wektory e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) ie 3 = (0, 0, 1).
Zatem dowolny wektor ( a 1 , a 2 , a 3 ) ℝ 3 jest liniową kombinacją e 1 , e 2 i e 3 . Rzeczywiście, ( a 1 , a 2 , a 3 ) = a 1 (1, 0, 0) + a 2 (0, 1, 0) + a 3 (0, 0, 1) = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 .
Niech K będzie ciałem ℂ liczb zespolonych, a E przestrzenią funkcji od ℝ do ℂ. Te wzory Eulera ekspresji funkcji $f : x \mapsto E I x$ i $g : x \mapsto e -i x$ jako liniowe kombinacje funkcji cosinus oraz sinus : $f = cos + sin I, g = cos - sin i$ i odwrotnie: $cos = ( 1/2) f + (1/2) g , sin = (-i / 2) f + (i / 2) g$ . Z drugiej strony, nie- zerowe funkcji stałe nie są liniowe kombinacje $f$ i $g$ , innymi słowy: Funkcje $1$ , $f$ i $g$ są liniowo niezależne.

Wygenerowana podprzestrzeń wektorowa

Rozważmy ponownie się przemienne pole K , A K -wektor przestrzeń E oraz v 1 , ..., v n wektory E . Zbiór wszystkich liniowych kombinacji tych wektorów nazywany jest przez te wektory „ wygenerowaną podprzestrzenią wektorową ” (lub po prostu „wygenerowaną podprzestrzenią”) i jest oznaczony przez $Vect$ ( v 1 ,…, v n ):

{\ mathrm {Vect}} (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) = \ {a_ {1} v_ {1} + \ cdots + a_ {n} v_ {n} \ mid a_ {1} , \ ldots, a_ {n} \ in K \}.

Uogólnienia

Jeżeli E jest przestrzenią topologiczną wektor , to jest możliwe, aby nadać znaczenie liniowej kombinacji nieskończoności stosując topologii E . Na przykład, możemy mówić o nieskończonej sumie a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 +….

Takie nieskończone kombinacje liniowe nie zawsze mają sens; kwalifikujemy je jako zbieżne, gdy je mają. Możliwość rozważenia bardziej liniowych kombinacji w tym przypadku może również prowadzić do szerszych koncepcji generowanej podprzestrzeni wektorowej, liniowej niezależności i baz.

Jeśli K jest pierścieniem przemiennym, a nie polem, to wszystko, co zostało powiedziane powyżej o kombinacjach liniowych, uogólnia się bez żadnych zmian. Jedyną różnicą jest to, że my nazywamy te przestrzenie E z modułów zamiast przestrzeni wektorowej.

Jeśli K jest pierścieniem nieprzemiennym, to pojęcie kombinacji liniowej jest dalej uogólniane, jednak z jednym ograniczeniem: ponieważ moduły na pierścieniach nieprzemiennych mogą być modułami prawymi lub lewymi, nasze kombinacje liniowe można również zapisać po prawej stronie lub po lewej stronie, czyli skalarami umieszczonymi po prawej lub lewej stronie, w zależności od charakteru modułu.

Bardziej skomplikowane dopasowanie występuje, gdy E jest bimodule dwóch pierścieni, K G i K D . W tym przypadku najbardziej ogólna kombinacja liniowa wygląda jak a 1 v 1 b 1 +… + a n v n b n , gdzie a 1 ,…, a n należą do K G , b 1 ,…, b n należą do K D i v 1 , ..., v n należą do E .

Uwagi i odniesienia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Kombinacja liniowa ” ( zobacz listę autorów ) .