Wsparcie funkcji
Wsparcie funkcji lub aplikacji jest częścią jego zestawu definicji , na których użyteczne informacje o tej funkcji jest skoncentrowana . W przypadku funkcji numerycznej jest to część domeny, w której nie jest równa zeru, a dla homeomorfizmu lub permutacji część domeny, w której nie jest ona niezmienna.
Wsparcie funkcji
Definicja
Pozwolić funkcja złożonych wartości, określona na przestrzeni topologicznej .
fa{\ displaystyle f}
X{\ displaystyle X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Definicja : Nazywa się wsparcie , zauważone , przyczepność zbioru punktów, w których funkcja nie jest anulowana.
fa{\ displaystyle f}
co tam(fa){\ displaystyle \ operatorname {sup} (f)}![\ nazwa operatora {pomoc} (f)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/713678c1e269682bb8e6b05d1f80df1aa22d5cfa)
co tam(fa): ={x∈X∣fa(x)≠0}¯{\ displaystyle \ operatorname {sup}} (f): = {\ overline {\ {x \ in X \ mid f (x) \ neq 0 \}}}}![\ nazwa operatora {pomoc} (f): = \ overline {\ {x \ in X \ mid f (x) \ neq 0 \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22176207185c867caaa298eb18ccf8888b68bc2e)
.
Jest to część zamknięta w X .
Kompaktowa funkcja wsparcia
Funkcje ciągłe ze zwartą obsługą mają często przydatne właściwości.
- C Funkcje ∞ o zwartym nośniku są wykorzystywane do konstruowania sekwencję regulującą . Umożliwiają one, poprzez iloczyn splotu , przybliżenie funkcji określonej przez szereg funkcji regularnych.
- Pozwól się otworzyć . Funkcje o zwartym nośniku są gęste w przestrzeni za . Możemy zatem pomyśleć o udowodnieniu właściwości przestrzeni za pomocą argumentu gęstości: najpierw dowodzimy tę właściwość na funkcjach ze zwartą obsługą, a następnie przechodzimy do granicy.Ω{\ displaystyle \ Omega}
Rnie{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
Lp(Ω){\ Displaystyle \ mathrm {L} ^ {p} (\ Omega)}
1⩽p<∞{\ displaystyle 1 \ leqslant p <\ infty}
Lp{\ displaystyle \ mathrm {l} ^ {p}}
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}![C ^ {{\ infty}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971ed05871d69309df32efdfd2020128c9cf69d8)
- Odnotowano przestrzeń kompaktowo obsługiwanych funkcji nad otwartą przestrzenią . Ale niektórzy autorzy używają innych notacji, takich jak lub . W rzeczywistości, dystrybucje są zdefiniowane jako elementy topologii podwójnej OF , wyposażonego w odpowiedniej topologii.VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Rnie{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
VSvs∞(Ω){\ Displaystyle C_ {C} ^ {\ infty} (\ Omega)}
re(Ω){\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega)}
VS0∞(Ω){\ Displaystyle C_ {0} ^ {\ infty} (\ Omega)}
VSvs∞(Ω){\ Displaystyle C_ {C} ^ {\ infty} (\ Omega)}![{\ Displaystyle C_ {C} ^ {\ infty} (\ Omega)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa0ab489393b3d3a2962fcaa861528871f223f4)
- W przestrzeni metrycznej cyfrowe funkcje ciągłe z kompaktową obsługą są jednolicie ciągłe . To jest twierdzenie Heinego .
Niezbędne wsparcie mierzalnej funkcji
Chcemy zdefiniować podstawowe wsparcie mierzalnej funkcji w taki sposób, aby zależało tylko od klasy równoważności funkcji równej prawie wszędzie, to znaczy z wyjątkiem zbioru miary zerowej .
fa{\ displaystyle f}
fa{\ displaystyle f}![fa](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
Definicja
Niech będzie funkcją otwartą i mierzalną.
Ω{\ displaystyle \ Omega}
RNIE{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}
fa:Ω→VS{\ displaystyle f: \ Omega \ do \ mathbb {C}}![{\ displaystyle f: \ Omega \ do \ mathbb {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52902261281f9ec775a0a08924268e286ead034c)
Twierdzenie : Rozpatrujemy otwarte z utworzonych punktów, w sąsiedztwie których s . A więc dalej .
ω{\ displaystyle \ omega}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
fa=0{\ displaystyle f = 0}
fa=0 p.p.{\ displaystyle f = 0 ~ pp}
ω{\ displaystyle \ omega}![\omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8)
Demonstracja
Pozwolić policzalny otwarta baza z . Na wszystko jest otwarta taka podstawa jak na . Przez σ-addytywność miary , on .
(ωnie){\ Displaystyle \ lewo (\ omega _ {n} \ prawo)}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
x∈ω{\ displaystyle x \ in \ omega}
ωniex{\ displaystyle \ omega _ {n_ {x}}}
fa=0 p.p.{\ displaystyle f = 0 ~ pp}
ωniex{\ displaystyle \ omega _ {n_ {x}}}
fa=0 p.p.{\ displaystyle f = 0 ~ pp}
∪x∈ωωniex=ω{\ displaystyle \ cup _ {x \ in \ omega} \ omega _ {n_ {x}} = \ omega}![{\ displaystyle \ cup _ {x \ in \ omega} \ omega _ {n_ {x}} = \ omega}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7987f948f3a7e1a18a57d46ad14821bff0f94d36)
Definicja : Klucz wsparcie wynosi:
.
fa{\ displaystyle f}
co tammiss(fa): =Ω∖ω{\ displaystyle \ operatorname {sup} _ {\ mathrm {ess}} (f): = {\ Omega \ setminus \ omega}}![{\ displaystyle \ operatorname {sup} _ {\ mathrm {ess}} (f): = {\ Omega \ setminus \ omega}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e1ef3ddf110630d463bfa94f47f3f80c9f07d6)
Uwaga : jeśli włączona , dzięki powyższej propozycji widzimy, że
i dlatego podstawowe wsparcie mierzalnej funkcji jest niezależne od wybranego przedstawiciela.
sol=fa p.p.{\ displaystyle g = f ~ pp}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
co tammiss(sol)=co tammiss(fa){\ displaystyle \ operatorname {sup} _ {\ mathrm {ess}} (g) = \ operatorname {sup} _ {\ mathrm {ess}} (f)}![{\ displaystyle \ operatorname {sup} _ {\ mathrm {ess}} (g) = \ operatorname {sup} _ {\ mathrm {ess}} (f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf90145473b741b46cde9be62dc7e02e851d70d)
Przykłady
- W przypadku funkcji ciągłej można łatwo sprawdzić, czy podstawowa podpora pokrywa się z podporą ( patrz wyżej ).
- Nie jest to już konieczne, jeśli nie jest ciągłe.
fa{\ displaystyle f}
Weźmy na przykład funkcję Dirichleta , tj. funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych . Jego wsparcie jest, ale jego podstawowe wsparcie jest puste. Rzeczywiście, ponieważ miara w wynosi zero .1Q{\ displaystyle 1 _ {\ mathbb {Q}}}
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
1Q=0 p.p.{\ Displaystyle 1 _ {\ mathbb {Q}} = 0 ~ pp}![{\ Displaystyle 1 _ {\ mathbb {Q}} = 0 ~ pp}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6db2fb818edf05f431bbaa8a550a7ef3ba365c4)
Najczęstszymi przykładami zbiorów funkcji mierzalnych są przestrzenie L p . Dokładniej, wszystkie elementy przestrzeni L p są prawie wszędzie klasami równości funkcji mierzalnych.
Twierdzenie : niech i razem . Więc
fa∈Lp(Rnie){\ Displaystyle f \ in \ mathrm {L} ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})}
sol∈Lq(Rnie){\ Displaystyle g \ in \ mathrm {L} ^ {q} (\ mathbb {R} ^ {n})}
1≤1p+1q≤2{\ Displaystyle 1 \ równoważnik {\ Frac {1} {p}} + {\ Frac {1} {q}} \ równoważnik 2}![{\ Displaystyle 1 \ równoważnik {\ Frac {1} {p}} + {\ Frac {1} {q}} \ równoważnik 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d288a26fb8d44e7f862075278f3088238af3a10)
co tam(fa∗sol)⊂co tam(fa)+co tam(sol)¯{\ displaystyle \ operatorname {sup} (f * g) \ subset {\ overline {\ operatorname {sup}} (f) + \ operatorname {sup} (g)}}}![{\ displaystyle \ operatorname {sup} (f * g) \ subset {\ overline {\ operatorname {sup}} (f) + \ operatorname {sup} (g)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c38f53cf952f930f7dd096cbc23bc3812c1ba6)
Uwagi :
- Kompaktowy dwufunkcyjny produkt splotowy o zwartej podporze to kompaktowa podpora.
- Ogólnie rzecz biorąc, jeśli tylko jeden z nośników jest zwarty, to nie jest zwarty.fa∗sol{\ displaystyle f * g}
![f * g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de088e4a3777d3b5d2787fdec81acd91e78a719e)
Wsparcie środka
Wsparcie miary boreliańskiej (dodatniej) na przestrzeni topologicznej jest z definicji przecięciem wszystkich zamkniętych miary pełnej (to znaczy, której uzupełnienie jest równe zeru). Niektórzy autorzy uzupełniają tę definicję o dodatkowy warunek mający na celu uniknięcie niektórych patologicznych przykładów.
W warunkach dość powszechnie spełnianych (przestrzeń topologiczna z policzalną podstawą lub w szczególności regularnością miary ) jest dopełnieniem największej otwartej miary zerowej.
Wsparcie dystrybucji
Definicja
Pozwolić być otwarty od i dystrybucji . Mówimy, że jest to zero w przypadku otwarcia, gdy dla dowolnej funkcji testowej, której obsługa (jak zdefiniowano wcześniej) jest uwzględniona , mamy .
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Rnie{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
T∈re′(Ω){\ Displaystyle T \ w {\ mathcal {D}} '(\ Omega)}
T{\ displaystyle T}
U⊂Ω{\ Displaystyle U \ subset \ Omega}
ϕ∈re(Ω){\ Displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}} (\ Omega)}
U{\ displaystyle U}
⟨T,ϕ⟩=0{\ displaystyle \ langle T, \ phi \ rangle = 0}![\ langle T, \ phi \ rangle = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8846453541a880d841fc1d7a21412215033a1a5)
Definicja : Wzywamy obsługę dystrybucji na dopełnieniu największego otwartego, na którym jest zero. Zauważamy to .
T{\ displaystyle T}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
T{\ displaystyle T}
co tam(T){\ displaystyle \ operatorname {sup} (T)}![\ nazwa operatora {pomoc} (T)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abdc3367b92f8f7672f827237e4e30a8844380ae)
Uwaga : Wsparcie jest dobrze zdefiniowane, ponieważ jeśli rozkład wynosi zero na każdym otwarciu rodziny, jest równy zeru dla ich związku; jego podparcie jest zatem dopełnieniem połączenia wszystkich otworów, na których jest zero.
Przykłady
- Jeśli jest funkcją ciągłą, to zdefiniowana tutaj podpora jest identyczna z podporami wprowadzonymi wcześniej dla funkcji ciągłych.T{\ displaystyle T}
![T](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0)
- Jeśli jest to miara lub miara prawdopodobieństwa , wsparcie zdefiniowane w tym miejscu jest identyczne z wsparciem zdefiniowanym wcześniej dla środków.T{\ displaystyle T}
![T](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0)
- Jeśli jest wielowskaźnikowy , rozkład uzyskany przez zróżnicowanie miary Diraca w punkcie ma zmniejszone wsparcie w tym punkcie .α∈NIEp{\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {N} ^ {p}}
reαδw{\ Displaystyle D ^ {\ alfa} \ delta _ {a}}
w{\ displaystyle a}
w{\ displaystyle a}![w](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
Pojedyncze wsparcie dystrybucji
Intuicyjnie, pojedyncze wsparcie rozkładu można rozumieć jako zbiór punktów, w których rozkład nie może być utożsamiany z funkcją. To inna koncepcja niż dotychczas.
Definicja : Nazywamy pojedynczą podporą dystrybucji i oznaczamy: dopełnienie największej otwartej przestrzeni, na której jest funkcja .
T{\ displaystyle T}
supp sjaniesol(T){\ displaystyle \ operatorname {sup ~ śpiewać} (T)}
T{\ displaystyle T}
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}![C ^ {{\ infty}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971ed05871d69309df32efdfd2020128c9cf69d8)
Przykład :
gdzie rozkład
jest zdefiniowany przez dla dowolnej funkcji . Tutaj oznacza główną wartość Cauchy'ego .
supp sjaniesol(vp1x)={0}{\ displaystyle \ operatorname {sup ~ sing} (vp {\ Frac {1} {x}}) = \ lewo \ {0 \ prawo \}}
vp 1x{\ Displaystyle vp ~ {\ Frac {1} {x}}}
vp 1x(ϕ)=limϵ→0+∫|x|>ϵϕ(x)xrex{\ Displaystyle vp ~ {\ Frac {1} {x}} (\ phi) = \ lim _ {\ epsilon \ do 0 ^ {+}} \ int _ {\ lewo | x \ w prawo |> \ epsilon} { \ frac {\ phi (x)} {x}} \, \ mathrm {d} x}
ϕ∈re(Ω){\ Displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}} (\ Omega)}
vp{\ displaystyle vp}![vp](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f5fd56f8561d346be818c4741150ebe1f6be92)
W przypadku rozkładów kilku zmiennych pojedyncze wsparcie umożliwia zdefiniowanie frontów fal i zrozumienie zasady Huygensa w kategoriach analizy matematycznej .
Pojęcie pojedynczej podpory pozwala wyjaśnić niemożność pomnożenia rozkładów: z grubsza, aby pomnożenie dwóch rozkładów było możliwe, ich pojedyncze podpory muszą być rozłączne.
Wsparcie pola wektorowego
W geometrii różniczkowej dla pola wektorów X (na otworze lub na rozmaitości) jest adhezja punktów x, w których X ( x ) wynosi zero. Pole X generuje przepływ z parametrem dyfeomorfizmu g t określonym co najmniej lokalnie. Przepływ jest definiowany globalnie, jeśli pole X ma kompaktową obsługę. Do T niezerowe dostatecznie małe, nośnik g t dokładnie nośnik X .
Rnie{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}![\ mathbb {R} ^ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d)
Wsparcie homeomorfizmu
W topologii , A homeomorfizm F od X do X jest ciągły bijection i ciągłe odwrotnym. Jego wsparciem jest przyczepność zbioru punktów, w których f ( x ) różni się od x . W szczególności w geometrii różniczkowej i układach dynamicznych można zainteresować się dyfeomorfizmami o zwartej podstawie. Słowo diffeomorfizm nabiera tu znaczenia i jest szczególnym przypadkiem homeomorfizmu.
Obsługa permutacji
W analizie kombinatorycznej podpora permutacji jest uzupełnieniem zbioru jej stałych punktów. Na przykład każda permutacja na skończonym zbiorze rozkłada się w unikalny sposób jako iloczyn cykli z rozłącznymi podporami.
Uwaga : Zapewniając zbiór, na którym działa permutacja, z topologią dyskretną , możemy uznać permutację za homeomorfizm, a następnie obie definicje podpory pokrywają się.
Obsługa pakietu
Zdarza się (szczególnie w badaniu rodzin sumowanych ), że interesują nas rodziny (liczb, wektorów itp.) Indeksowane przez niezliczone zbiory; Przydatne pojęcia (suma szeregu itp.) mające znaczenie tylko dla zbiorów skończonych lub policzalnych, definiujemy podparcie rodziny jako zbiór indeksów, gdzie jest on niezerowy.
Odniesienie
-
Walter Rudin , Analiza rzeczywista i złożona [ szczegóły wydań ], definicja 2.9.
Bibliografia
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">