Kompaktowa obsługa funkcji C ∞
W matematyce , A C funkcja ∞ o zwartym nośniku jest nieskończenie różniczkowalną funkcją którego obsługa jest zwarty . Kiedy funkcja przechodzi od ℝ n do ℝ, przestrzeń tych funkcji jest oznaczona przez C∞
c(ℝ n ), C.∞
0(ℝ n ) lub ? (ℝ n ).
Przykłady
Funkcji zmiennej określa
to kompaktowe wsparcie. Dowód na to, że jest nieskończenie różniczkowalny, można uzyskać poprzez powtarzanie . Co więcej, funkcja może być postrzegana jako funkcja Gaussa e - y 2 , którą „dopasowaliśmy do jednostki dyskowej” przez zmianę zmiennych y 2 = 1 / (1 - x 2 ), która wysyła x = ± 1 na y = ∞ .
Prosty przykład funkcji C ∞ ze zwartą obsługą n zmiennych uzyskuje się, biorąc iloczyn n kopii funkcji z jedną zmienną powyżej:
Właściwości i zastosowania
Funkcja C ∞ ze zwartym podparciem nie może być analityczna , chyba że jest identycznie zerowa. Jest to bezpośrednia konsekwencja twierdzenia o tożsamości . Przestrzeń funkcji C ∞ ze zwartym podparciem jest stabilna przez wiele operacji. Na przykład suma, iloczyn, iloczyn splotu dwóch funkcji C ∞ z nośnikiem zwartym jest nadal funkcją C ∞ z nośnikiem zwartym.
Kompaktowo obsługiwane funkcje C ∞ służą do konstruowania sekwencji regularyzujących i partycji jednostki klasy C ∞ .
Znajdują się również w sercu teorii dystrybucji .