W geometrii wektora , na podstawie ortonormalnych lub ortonormalnych podstawie ( BON ) z euklidesowej lub hermitowskiego przestrzeni jest podstawą tego miejsca wektora składa się z wektorów z normą 1 i prostopadłym dwójkami. W takiej bazie współrzędne dowolnego wektora w przestrzeni są równe odpowiednim iloczynom skalarnym tego wektora przez każdy z wektorów bazowych, a iloczyn skalarny dowolnych dwóch wektorów ma wyrażenie kanoniczne jako funkcję ich współrzędnych.
W przestrzeni przedhilbertowskiej E (tj. Rzeczywistej lub złożonej przestrzeni wektorowej wyposażonej w iloczyn skalarny ) o rodzinie ( v i ) i ∈ I mówi się, że jest ortogonalna, jeśli wektory te są ortogonalne parami:
O takiej rodzinie mówi się, że jest ortonormalna, jeśli ponadto wszystkie te wektory są jednolite :
Podsumowując, rodzina ( V I ) i ∈ I jest ortonormalną jeśli ∀ i , j ∈ I ⟨ v i , v j ⟩ = δ i , j .
Każda ortogonalna rodzina utworzona z niezerowych wektorów jest wolna .
Rodzina ortonormalna jest zatem wolna. Nazywa Baza Ortonormalna z E , jeżeli jest to bardziej generator od E , to znaczy czy jest to podstawowy E .
Jeśli przestrzeń prehilbert E jest euklidesowa lub hermitowskie , to znaczy, czy jest w ograniczonym wymiarze An ortonormalną rodzina jest podstawa, wtedy i tylko, jeśli zawiera n wektorów, gdzie n jest wymiar od E .
W dalszej części artykułu E n oznacza przestrzeń euklidesową o wymiarze n .
Niech A n będzie afinicznej euklidesowa przestrzeń związana z przestrzeni euklidesowej wektor e n i Õ dowolnym punkcie A, n , wówczas układ współrzędnych afinicznej
mówi się, że jest ortonormalna, jeśli związana z nią podstawa sama jest ortonormalna.
W geometrii w przestrzeni podstawa jest zwykle oznaczana zamiast .
Jeśli podstawa jest bezpośrednie , to jest iloczyn z i (tj ).
Z dowolnej podstawy przestrzeni euklidesowej metoda Grama-Schmidta zapewnia konstruktywną metodę uzyskania ortonormalnej podstawy tej przestrzeni. W szczególności możemy powiedzieć:
W każdej niezerowej wymiarowej przestrzeni euklidesowej istnieją bazy ortonormalne.
Stosując ten wynik do ortogonalnej przestrzeni utworzonej przez ortonormalną rodzinę wektorów p wektora E n , ustalamy niekompletne twierdzenie o podstawie ortonormalnej:
Dowolna ortonormalna rodzina wektorów przestrzeni euklidesowej może być uzupełniona w ortonormalnej podstawie tej przestrzeni.
Istnienie baz ortonormalnych pozwala ustalić, że nieskończoność struktur euklidesowych, w które można wyposażyć przestrzeń wektorową - z różnymi pojęciami ortogonalności - jest między nimi izomorficzna .
Niech będzie ortonormalną bazą E n .
Rozkład wektora E n w tej bazie jest przedstawiony wzorem:
.
Wyrażenie iloczynu skalarnego dwóch wektorów E n jest wtedy dane wzorem:
.
Wyrażenie kwadratu normy wektora E n jest zatem:
.
Te trzy właściwości są w rzeczywistości równoważne sobie i równoważne z faktem, że rodzina jest ortonormalną podstawą E n .
1- lipschitzowski charakter rzutnika ortogonalnego umożliwia wyprowadzenie z niego nierówności Bessela , która obejmuje uogólnienie na nieskończoną rodzinę ortonormalną.
Jeśli jest bazą ortonormalną i dowolną rodziną E n , to
jest bazą ortonormalną wtedy i tylko wtedy, gdy macierz rodziny w bazie jest ortogonalna.Endomorfizmy, które przekształcają bazę ortonormalną w bazę ortonormalną, są zatem ortogonalnymi automorfizmami .