Wektor jednostkowy

W unormowanej przestrzeń wektorową (rzeczywisty lub kompleks) E , A jednostkowym wektorem jest wektor którego normą jest równe 1.

• Jeśli polem skalarów jest R , dwa wektory jednostkowe v i w są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy v = w lub v = - w .
• Jeśli pole skalarów jest C i jeśli v jest wektorem jednostkowym E , to wektory jednostkowe współliniowe z v wynoszą α v, gdzie α jest zespołem modułu 1.

Wektor jednostkowy są wykorzystywane do określenia kierunku oraz poczucie wektora niezerowego z E . Każdy niezerowy wektor v jest pomnożeniem wektora jednostkowego u = v / ║ v ║ przez ściśle dodatnią liczbę rzeczywistą, a mianowicie normę ║ v ║ v .

W fizyce , aby oznaczyć wektory jednostkowe, zwykle użyć daszka  : . W mechanice kwantowej stany są wektorami jednostkowymi przestrzeni Hilberta . W szczególności funkcje falowe są funkcjami na R 3 z sumowanym kwadratem i z normą L 2 równą 1. x^,y^,z^{\ displaystyle {\ hat {x}}, {\ hat {y}}, {\ hat {z}}}

Wyprowadzenie wektorów jednostkowych

Niech E będzie euklidesowa lub hermitowskie przestrzeń , niech będzie różniczkowalną funkcją t ↦ e ( t ) z wartościami E tak, że dla wszystkich t , e ( t ) jest wektorem jednostkowym. Wtedy wektor pochodny e ' ( t ) jest ortogonalny do e ( t ). Dotyczy to w szczególności wektorów wszystkich ruchomych baz ortonormalnych (en) .  

Rzeczywiście, kwadrat normy e ( t ) jest stałą funkcją w czasie t , a zatem zerową pochodną. Jego pochodną jest

0=reret‖mi(t)‖2=reret⟨mi(t)∣mi(t)⟩=2⟨mi′(t)∣mi(t)⟩.{\ Displaystyle 0 = {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ | e (t) \ | ^ {2} = {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle e (t) \ mid e (t) \ rangle = 2 \ langle e '(t) \ mid e (t) \ rangle.}

Z definicji ortogonalności, dwa wektory e ( t ) i e ' ( t ) są ortogonalne dla wszystkich t .