Mnożenie przez skalar
W matematyce , mnożenie przez skalarnych jest z podstawowych prawa zewnętrznych wyznaczającymi przestrzeń wektorową w liniowym Algebra (lub bardziej ogólnie moduł sprężystości w ogólnym Algebra ).
Jeśli K jest przemienne ciało , wyznaczającą przestrzeń wektora E na K wymaga istnienia zewnętrznego prawa składu, wdrożenia w K × E w E . Obraz pary (λ, v ), który można oznaczyć jako λ v lub λ ∙ v , jest pomnożeniem wektora v przez skalar λ. W szczególnym przypadku E można przyjąć jako równe K.sama, a pomnożenie przez skalar może być po prostu pomnożeniem ciała. Gdy E jest równe K n , wówczas mnożenie przez skalar jest zwykle tym, co zdefiniowano składnik po składniku .
Z definicji przestrzeni wektorowej mnożenie przez skalar spełnia następujące właściwości:
- Mnożenie przez 1 nie zmienia wektora:
- prawo dystrybucyjne :
- dystrybucja po lewej:
- mnożenie przez 0 daje wektor zerowy :
- mnożenie przez –1 daje odwrotność :
W tym przypadku + reprezentuje odpowiednio dodanie pola lub przestrzeni wektorowej, a 0 jest neutralnym elementem pola K , podczas gdy 0 E jest wektorem zerowym. Zestawienie lub punkt odpowiada pomnożeniu przez skalar lub wewnętrznemu pomnożeniu ciała.
Mnożenie przez niezerową wartość skalarną λ definiuje liniową mapę od E do E , zwaną homothety ze stosunkiem λ. Gdy E jest przestrzenią wektorową euklidesa (przy K = R ), to dylatacje można interpretować jako skurcze lub rozciągnięcia.