Symbol Kronecker

W matematyce The delta Kronecker jest funkcją dwóch zmiennych, która jest równa 1, jeśli są równe 0, i w inny sposób. Symbolizuje go litera δ ( mała litera delta ) alfabetu greckiego .

\ delta _ {{ij}} = \ delta _ {i} ^ {j} = \ delta ^ {{ij}} = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {si}} i = j \\ 0 & {\ mbox {si}} i \ neq j \ end {sprawy}}

lub w zapisie tensorycznym :

\ delta _ {i} ^ {j} = \ delta _ {i} \ cdot \ delta ^ {j}

gdzie $δ I$ i $δ J$ wektory jednostkowe tak, że tylko $i$ -tym (odpowiednio $j$ -ty) koordynuje nie jest równa zero (a w związku z tym warto 1).

Gdy jedna ze zmiennych jest równa 0, zwykle jest pomijana, stąd:

\ delta _ {i} = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {si}} i = 0 \\ 0 & {\ mbox {si}} i \ neq 0 \ end {cases}}

Historia

Tytułowy symbol Kroneckera jest matematyka Leopold Kronecker (1823-1891), który go wprowadził 1866.

Przykłady

Kronecker Delta jest używana w wielu dziedzinach matematyki. Na przykład :

w liniowym Algebra The macierzą jednostkową rzędu 3 można zapisać: $(\ delta _ {{ij}}) _ {{(i, j) \ in \ {1,2,3 \} ^ {2}}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}$ ;
podczas podsumowań delta Kroneckera prowadzi do uproszczeń: ${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ delta _ {k, i} = \ lewo \ {{\ początek {tablica} {cl} a_ {i} & {\ textrm { si}} \ quad 1 \ leq i \ leq n \\ 0 & {\ textrm {w przeciwnym razie.}} \ quad \ end {array}} \ right.}$

Uwagi i odniesienia

Uwagi

Kronecker symbolu jest również znany jako symbol trójkąta Kroneckera lub delta Kroneckera .

Bibliografia

Barrau i Grain 2016 , s. 53 i 108.
Gourgoulhon 2010 , s. 10 i 22.
Heyvaerts 2012 , s. 132 i 140.
Semay i Silvestre-Brac 2016 , s. 137.
Crépieux 2019 , rozdz. 2 , rozdz. 2 , § 2.1 , s. 34.
Penrose 2007 , rozdz. 12 , § 12.8 , s. 234, ryc. 12.17 .
Frey 2006 , rozdz. 1 st , cz . 1.7 , § 1.7.3 , s. 8.
Penrose 2007 , s. 251.
Taillet, Villain i Febvre 2018 , sv Kronecker (delta de), s. 414, kol. 2 .
Diu 2010 , 5 th część. , rozdz. 17 , s. 229.
Frey 2006 , rozdz. 1 st , cz . 1.7 , § 1.7.3 , s. 7-8.
Taillet, Villain i Febvre 2018 , sv delta [δ], 3, s. 193, kol. 1 .
Cooke 2017 , 1 st część. , rozdz. 2 , rozdz. 10 , § 10.2 , s. 108, przyp. 11 .
Hawkins 1977 , s. 136, przyp. 11 .
Kuptsov 1990 , s. 309, kol. 1 .

Zobacz też

Bibliografia

[Cooke 2017] (en) R. Cooke , Już najwyższy czas : elementarne matematyczne aspekty teorii względności , Opatrzność, AMS , monogr. na zewnątrz coll. ( N O 102)Lut. 2017, 1 st ed. , 1 obj. , XIX -403 s. , 18,4 × 25,4 cm ( ISBN 978-1-4704-3483-0 i 978-2-88915-009-0 , EAN 9781470434830 , OCLC 987376376 , DOI 10.1090 / mbk / 102 , SUDOC 200727192 , prezentacja online , czytaj online ).
[Frey 2006] F. Frey , Solid mechanics , Lausanne, PPUR , pot. „Traktat Cywilnego Federalnego Instytutu Technologii w Lozannie / o Analiza strukturalnych i Continuum” ( n O 3)1990( Repr. 2006), 1 st ed. , 1 obj. , XII -192 s. , Chory. , 19 × 24 cm ( EAN 9782880743581 , OCLC 468099866 , uwaga BnF n o FRBNF36971146 , SUDOC 008236720 , prezentacja online , czytaj online ) , rozdz. 1 st , cz . 1.7 , § 1.7.3 („Symbol Kroneckera”), s. 7-8
[Hawkins 1977] (en) Th. Hawkins , „ Weierstrass and the teoria macierzy ” , Arch. Hist. Exact Sci. , vol. 17 N O 2Lip. 1977, art. n O 2, str. 119-163 ( DOI 10.1007 / BF02464978 , JSTOR 41133484 ).
[Penrose 2007] R. Penrose ( przetłumaczone z języka angielskiego przez C. Laroche ), Discovering the Laws of the Universe: the Astonishing History of Mathematics and Physics [" Droga do rzeczywistości: kompletny przewodnik po prawach Wszechświata "], Paryż, O. Jacob , pot. "Nauki",sierpień 2007, 1 st ed. , 1 obj. , XXII -1061 s. , Chory. i rys. , 15,5 × 24 cm ( ISBN 978-2-7381-1840-0 , EAN 9782738118400 , OCLC 209307388 , uwaga BnF n o FRBNF41131526 , SUDOC 118177311 , prezentacja online , czytaj online ).

Książki popularyzatorskie

[Diu 2010] B. Diu , Matematyka fizyka , Paryż, O. Jacob , pot. "Nauki",marzec 2010, 1 st ed. , 1 obj. , 380 s. , Chory. i rys. , 14,5 × 22 cm ( ISBN 978-2-7381-2448-7 , EAN 9782738124487 , OCLC 690805807 , uwaga BnF n o FRBNF42179060 , SUDOC 143407058 , prezentacja online , czytaj online ).
[Gourgoulhon 2010] É. Gourgoulhon , Restricted Relativity: From Particles to Astrophysics , Les Ulis i Paris, EDP Sciences and CNRS , coll. "Bieżąca wiedza / Fizyka",Maj 2010, 1 st ed. , 1 obj. , XXVI -776 pkt. , Chory. , 23 cm ( ISBN 978-2-7598-0067-4 i 978-2-271-07018-0 , EAN 9782759800674 , OCLC 731758818 , uwaga BnF n o FRBNF41411713 , SUDOC 14466514X , prezentacja online , czytaj online ).

Słowniki i encyklopedie

[Kuptsov 1990] (en) LP Kuptsov , „ Kronecker symbol ” , w M. Hazewinkel ( red. ), Encyklopedia matematyki , t. V : I - Lituus , Dordrecht, Boston i Londyn, Kluwer Acad. ,1990, 1 st ed. , 1 obj. , IX -534 s. , Chory. , 30 cm ( ISBN 978-1-55608-004-3 i 978-94-009-5990-3 , EAN 9781556080043 , OCLC 491733136 , uwaga BnF n o FRBNF37357904 , DOI 10.1007 / 978-94-009-5988-0 , SUDOC 075475111 , prezentacja online , czytaj online ) , sv symbol Kroneckera [„symbol Kroneckera”], s. 309, kol. 1-2.
[Taillet, Villain i Febvre 2018] R. Taillet , L. Villain i P. Febvre , Słownik fizyki , Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup. , z wyjątkiem coll. ,Sty 2018, 4 th ed. ( 1 st ed. Maj 2008), 1 obj. , X -956 str. , Chory. i rys. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , SUDOC 224228161 , prezentacja online , czytaj online ) , sv Kronecker (delta de), s. 414, kol. 2.

Instrukcje i notatki z kursu

[Barrau i Grain 2016] A. Barrau i J. Grain , Ogólna teoria względności (kursy i ćwiczenia poprawione), Malakoff, Dunod , pot. „Sciences Sup. ",sierpień 2016, 2 II wyd. ( 1 st ed. sierpień 2011), 1 obj. , VIII -231 s. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-074737-5 , EAN 9782100747375 , OCLC 958388884 , uwaga BnF n o FRBNF45101424 , SUDOC 195038134 , prezentacja online , czytaj online ).
[Crépieux 2019] A. Crépieux , Wprowadzenie do fizyki materii skondensowanej: właściwości elektroniczne (kurs i ćwiczenia poprawione), Malakoff, Dunod , pot. „Sciences Sup. ",Lut. 2019, 1 st ed. , 1 obj. , XII -276 pkt. , Chory. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-078944-3 , EAN 9782100789443 , OCLC 1085246645 , uwaga BnF n o FRBNF45664071 , SUDOC 233879323 , prezentacja online , czytaj online ).
[Feynman 2001] R. Ph. Feynman ( tłum. Z Engl. Amerykański mody. By C. Laroche ), grawitacja na Lessons [ " Feynmana Wykłady z grawitacji "], Paryż, O. Jakuba , Coll. "Nauki",Październik 2001( repr. Lut. 2006), 1 st ed. , 1 obj. , 278 str. , Chory. , 14,5 × 22 cm ( ISBN 2-7381-1038-X , EAN 9782738110381 , OCLC 50419539 , uwaga BnF n o FRBNF37719654 , SUDOC 059349336 , prezentacja online , czytaj online ).
[Heyvaerts 2012] J. Heyvaerts , Astrofizyka: gwiazdy, wszechświat i teoria względności (kursy i ćwiczenia poprawione), Paryż, Dunod , coll. „Sciences Sup. ",Sierpień 2012, 2 II wyd. ( 1 st ed. Wrzesień 2006), 1 obj. , X -384 s. , Chory. i rys. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-058269-3 , EAN 9782100582693 , OCLC 816556703 , uwaga BnF n o FRBNF42740481 , SUDOC 163817030 , prezentacja online , czytaj online ).
[Semay i Silvestre-Brac 2016] C. Semay i B. Silvestre-Brac , Ograniczona teoria względności: podstawy i zastosowania (kursy i ćwiczenia poprawione), Malakoff, Dunod , wyd. „Sciences Sup. ",marzec 2016, 3 e ed. ( 1 st ed. Paź 2005), 1 obj. , X -309 str. , Chory. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-074703-0 , EAN 9782100747030 , OCLC 945975983 , uwaga BnF n o FRBNF45019762 , SUDOC 192365681 , prezentacja online , czytaj online ).

Oryginalny artykuł

(de) L. Kronecker , » Über bilineare Formen « , Monatsberichte der Königlichen Preussischen Akademie zu Berlin ,1867, s. 597-612.
(de) L. Kronecker , » Ueber bilineare Formen « , Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 68,1868, s. 273-285 ( czytaj online ).

Powiązane artykuły