Algebra asocjacyjna

W matematyce An asocjacyjny Algebra (w przemiennej pierścienia A ) jest jednym z algebraicznych konstrukcji stosowanych w ogólnym Algebra . Jest to pierścień (lub po prostu pseudo-pierścień ) B z dodatkową strukturą modułu na A i taką, że prawo mnożenia pierścienia B wynosi A - bilinear . Jest to zatem szczególny przypadek algebry na pierścieniu .

Definicja formalna

Niech A będzie pierścieniem przemiennym. Mówimy, że ( B , +,., ×) jest asocjacyjną A -algebrą, gdy:

( B , + ,. ) Jest modułem A ,
( B , +, ×) to pseudo-pierścień ,
${\ displaystyle \ forall \ lambda \ in A, ~ \ forall x, y \ in B, \ qquad \ lambda \ cdot (x \ razy y) = x \ razy (\ lambda \ cdot y) = (\ lambda \ cdot x) \ razy y ~.}$

Elementy A nazywane są skalarami .

W szczególnym przypadku, gdy pierścień A jest ciałem, mówimy wtedy o algebrze asocjacyjnej nad ciałem .

Mówimy o algebrze unitarnej (lub zunifikowanej), gdy B ma neutralny dla mnożenia.

Przykłady

Każdy pierścień ( M +, x) (a nawet dowolny pseudo-ring) jest również asocjacyjny -algebra do prawa zewnętrzna określonego przez: dla każdej liczby całkowitej i każdy element z M , $\ mathbb {Z}$ $nie$ $x$ ${\ Displaystyle \ lewo \ {{\ rozpocząć {matrix} {\ tekst {si}} n> 0 {\ tekst {wtedy}} & n \ cdot x = \ underbrace {x + x + \ ldots + x} _ { n \ \ mathrm {razy}} ~, \\ {\ text {si}} n <0 {\ text {then}} & n \ cdot x = \ underbrace {-xx- \ ldots -x} _ {| n | \ \ mathrm {razy}} ~, \\ {\ text {si}} n = 0 {\ text {then}} & n \ cdot x = 0 ~. \ end {matrix}} \ right.}$
Każdy pierścień jest algebrą asocjacyjną w swoim centrum , a zatem na każdym podpierścieniu A tego centrum.
Niech A będzie pierścieniem przemiennym.
- Algebra z monoid L na A jest asocjacyjny i uniferous -algebra. To jest szczególny przypadek poprzedniego przykładu. (Jeśli monoid L jest , algebra ta jest algebrą wielomianów w k nieokreślonym nad A. ) ${\ Displaystyle (\ mathbb {N}, +) ^ {k}}$
- Zestaw endomorfizm od An A -module jest asocjacyjne -algebra.

Równoważna definicja

Istnieje równoważna definicja, kiedy algebra B jest jedyna:

Niech być przemienne pierścień B pierścienia i morfizmem pierścieni , tak że F ( ) w centrum z B . Następnie możemy zdefiniować zewnętrzne prawo, które nadaje B strukturę algebry zespolonej A (i zunifikowanej). ${\ displaystyle f \ ,: \, A \ do B}$ ${\ displaystyle (a, b) \ mapsto f (a) b}$

I odwrotnie, jeśli B jest asocjacyjną i zunifikowaną A -algebrą, jest morfizmem pierścieniowym takim, że ${\ displaystyle f \ ,: \, a \ mapsto a.1_ {B}}$

{\ Displaystyle (a.1_ {B}) \ razy x = 1_ {B} \ razy (topór) = (topór) \ razy 1_ {B} = x \ razy (a.1_ {B}) ~ {\ tekst {tak}} ~ f (a) \ razy x = x \ razy f (a) ~;}

Obraz zawarty jest w centrum B .

Zobacz też

Ocena i odniesienie

Definicja używana na przykład w Serge Lang , Algebre [ szczegóły wydań ]