Algebra na ringu

W matematyce , a dokładniej w algebrze ogólnej , algebra nad przemiennym pierścieniem A jest strukturą algebraiczną , która jest zdefiniowana w następujący sposób:

( E , A , +, ∙, ×) jest algebrą nad A lub A -algebrą, jeśli:

1. ( E , +, ∙) jest modułem na A ;
2. prawo kompozycji wewnętrznej x z E x E do E jest dwuliniowo .

Definicje

Niech A będzie pierścieniem przemiennym, a E będzie modułem na A wyposażonym w operację binarną . Jeśli ta operacja binarna jest bilinearna , co oznacza, że ​​dla wszystkich (elementów modułu) i dla wszystkich (skalary) te tożsamości są prawdziwe: ×:mi×mi→mi,(x,y)↦x×y{\ Displaystyle \ razy: E \ razy E \ do E, (x, y) \ mapsto x \ razy y}x,y,z∈mi{\ Displaystyle x, y, z \ w E \,}w∈W{\ displaystyle a \ in A}

• (x+y)×z=(x×z)+(y×z) ;{\ Displaystyle (x + y) \ razy z = (x \ razy z) + (y \ razy z) ~;}
• x×(y+z)=(x×y)+(x×z) ;{\ Displaystyle x \ razy (r + z) = (x \ razy y) + (x \ razy z) ~;}
• (w⋅x)×y=w⋅(x×y)=x×(w⋅y),{\ Displaystyle (a \ cdot x) \ razy y = a \ cdot (x \ razy y) = x \ razy (a \ cdot y),}

Następnie E jest Algebra przez A . Mówią także, że E jest -algebra gdzie jest podstawowym algebra E . Operacja bilinearna w algebrze E nazywana jest mnożeniem .

Gdy to pole przemienne ( E +. ) Jest przestrzeń wektor z A .

Morfizmem pomiędzy dwoma -algebras E i F jest morfizmem do przepisów wewnętrznych (dodawania i mnożenia) i produktu przez skalarnych: fa:mi→fa{\ displaystyle \, f \ ,: \, E \ do F}

fa(x+y)=fa(x)+fa(y), fa(x×y)=fa(x)×fa(y) i fa(w⋅x)=w⋅fa(x){\ Displaystyle f (x + y) = f (x) + f (r), ~ f (x \ razy y) = f (x) \ razy f (r) ~ {\ tekst {i}} ~ f ( a \ cdot x) = a \ cdot f (x)}

dla wszystkich i dla wszystkiego . x,y∈mi{\ Displaystyle x, y \ w E}w∈W{\ displaystyle a \ in A}

Morfizm jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijektywny (jego odwrotność jest wówczas automatycznie morfizmem algebr). Mówi się, że dwie A -algebr są izomorficzne, jeśli istnieje izomorfizm A -algebr między jedną a drugą.

Przykłady

• Wiele przykładów algebr znajdujemy w algebrach asocjacyjnych , takich, dla których drugie prawo wewnętrzne jest asocjacyjne. Tak jest w przypadku pierścieni i pseudo-pierścieni, które są -algebrami. W tej dużej rodzinie algebr asocjacyjnych znajdujemy również zbiory, które są wyposażone w dwa prawa wewnętrzne, które powodują, że są pierścieniami, oraz prawo zewnętrzne, które czyni je przestrzeniami wektorowymi na polu lub modułami na pierścieniu. Tak jest w przypadku zbioru kwadratowych macierzy o wymiarze n na pierścieniu lub zbioru wielomianów na pierścieniu.Z/nieZ{\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}} nieZ{\ Displaystyle n \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

• Spośród algebr niezespolonych możemy przytoczyć
  • Algebra Lie które są non-asocjacyjne algebry nad polem.
  • na pierścionek , gdzie „.” jest mnożenie zewnętrzny i „ produkt przekrój jest przykładem niezwiązane Kolejność Algebra na pierścień.W{\ displaystyle A}(W3,+,.,∧){\ Displaystyle (A ^ {3}, +,., \ klin)}∧{\ displaystyle \ wedge}

Ocena i odniesienie

1. N. Bourbaki , Algebra , 1970, rozdz. III, s. 2.

Zobacz też

• Algebra na polu
• Algebra asocjacyjna
• Algebra Clifforda
• Algebra geometryczna
• Lie algebra