Gęsta część

W topologii , A gęsta część o topologii powierzchni jest podzbiorem pozwalając podejść wszystkie elementy przestrzeni zamkniętej. Pojęcie to jest więc sprzeczne z pojęciem gęstej części nigdzie .

Gęstość części czasami umożliwia rozszerzenie dowodu właściwości lub definicji wniosku o ciągłość .

Definicje

Niech $X.$ jest przestrzenią topologiczną i $A$ część z $X$ . Mówimy, że $A$ jest „ gęsty w $X$ ” lub nawet „ wszędzie gęsty ”, jeśli spełniona jest jedna z równoważnych właściwości:

Wszelkie otwarte nie pusty z $X$ zawiera elementy $A$ ;
przyczepność z $A$ jest równa $X$ ;
każdy punkt $X$ jest przylegająca do $A$ ;
uzupełnieniem od $A$ jest puste wnętrze .

Punkt $x$ o $X$ jest gęsta w wymienionym $X$ jeżeli pojedyncza jest gęsta w $X$ . ${\ displaystyle \ {x \}}$

Przestrzenią jest przestrzeń topologiczna o co najwyżej gęstej podzbioru .

Przykłady

Każda przestrzeń topologiczna jest sama w sobie gęsta.
Każda część gęsta dla porządku w całkowicie uporządkowanym zestawie jest również gęsta dla topologii porządku . W szczególności prosta rzeczywista ℝ przyjmuje jako części gęste zbiór ℚ liczb wymiernych , jego dopełnienie ℝ \ ℚ, ale także zbiór liczb dziesiętnych, a nawet zbiór liczb diadycznych .
Dopełnienie nieistotnego zbioru dla miary Lebesgue'a jest gęste w ℝ lub in ℝ $n$ .
Pełna grupa liniowa GL n (ℝ) (sporządzony rzeczywistych, kwadratowe i odwracalnych macierzy o rozmiarze n ) jest gęsta w przestrzeni M n (ℝ) kwadratowych macierzy o rozmiarze n .
Zestaw diagonalizowalnych macierzy w jest gęsty, ale nie w . ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {C})}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {R})}$
Zbiór funkcji schodkowych (zdefiniowanych na mierzalnej przestrzeni ) jest gęsty w zbiorze funkcji mierzalnych dla topologii zbieżności prostej .
Zbiór funkcji wielomianowych jest gęsty w zbiorze ciągłych funkcji rzeczywistych na segmencie dla topologii zbieżności jednostajnej (zgodnie z twierdzeniem aproksymacyjnym Weierstrassa ).

Nieruchomości

Wystarczająca Warunkiem tego jest, że każdy element X jest ograniczone na skutek pierwiastków A . Warunek ten jest również konieczny, jeśli X jest przestrzenią Frécheta-Urysohna , na przykład przestrzenią metrizowalną lub nawet tylko z policzalnymi bazami dzielnic .

Jeśli B jest inną częścią X , niekoniecznie zawierającą A , mówimy, że A jest gęsty w B, jeśli jego adhezja zawiera B .

Jeśli X jest pełna metryka przestrzeni , część Y do X jest gęsty w X wtedy i tylko wtedy, gdy X jest ukończenie z Y .

Dwie ciągłe mapy zdefiniowane na gęstej części oddzielnej przestrzeni są równe.

Sekwencja funkcji zdefiniowano na metryki przestrzeni $X$ i ciągłych zbieżny równomiernie tylko wtedy, gdy spełnia on jednolity kryterium Cauchy- w gęstej części $X$ .

Przemienne pierścień jest Jacobson , wtedy i tylko wtedy, gdy w każdej zamkniętej niepusty części jego widmie zbiór zamkniętych punktów jest gęsta.

Uwagi i odniesienia

(de) Paul du Bois-Reymond , „ Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung […] ” , Math. Ann. , vol. 16,1880( czytaj online )mówi: „pantachic” : Alain Michel, Konstytucja współczesnej teorii integracji , Vrin ,1992( czytaj online ) , s. 37.
N. Bourbaki , Elements of mathematics, książka III: General topology [ szczegóły wydań ], s. I.9 , podgląd w Książkach Google .
Uwaga „gęsty sam w sobie” nie jest synonimem „ gęsty w sobie (w) ”, jak zaznaczono z humorem (w) JE Littlewood , A Mathematic's Various ,1953( czytaj online ) , s. 39.

Powiązane artykuły