Wnętrze (topologia)
W matematyce , wnętrze (w skrócie int ) jest pojęcie topologii stosowane do części o topologii powierzchni .
Niech X będzie przestrzenią topologiczną i częścią X . Nazywany wewnątrz Na największy otwarty dla X zawarte w A . Jest: to spotkanie wszystkich otwartych zawartych w A . Jest to zaznaczone albo za pomocą małego kółka powyżej, albo przez notację przedrostkową ze skrótem int :
W inny sposób definiujemy też wnętrze odmiany na pokładzie .
Ogólna topologia
Punkt wewnętrzny
Niech X będzie przestrzenią topologiczną i częścią X .
Punkt x od X należący do środka A wtedy i tylko wtedy, gdy jest sąsiedztwo z x .
Elementy wewnątrz A nazywane są „punktami wewnątrz A ”.
Punkty nie wnętrz z A są punkty przylega do X \ A (stanowiącego uzupełnienie od A do X ).
Nieruchomości
- Część jest otwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa jej wnętrzu.
- Idempotencja : wnętrze wnętrza jest równe wnętrzu.
- Wzrost do włączenia : jeśli A jest częścią B, to int ( A ) jest częścią int ( B ).
- Dopełnianie wnętrza jest równe przyczepności dopełniacza.
- Zgodność z produktami skończonymi : jeśli A ⊂ X i B ⊂ Y to wnętrze A × B w przestrzeni iloczynu X × Y jest int ( A ) × int ( B ).
- Jeśli U jest podprzestrzenią X (obdarzoną indukowaną topologią ), a F jest częścią X , wnętrze F ∩ U w tej podprzestrzeni zawiera int ( F ) ∩ U (czasami ściśle, jak w przykładzie X = ℝ i F = U = {0}). Jest on równy jeśli U jest otwarty w X .
- Wnętrze skrzyżowania jest zawarte w przecięciu wnętrz, ale włączenie może być ścisłe (dla skończonego przecięcia mamy jednak równość).
- Połączenie wnętrz jest zawarte we wnętrzu związku, ale włączenie może być ścisłe, nawet w przypadku połączenia skończonego.
- Na zbiór przeliczalny z zamknięte w przestrzeń baire'a Unia wnętrz jest zwarta wewnątrz unii.Rzeczywiście, niech U będzie niepustym otworem zawartym w związku zamkniętych F n . W przestrzeni Baire U (wyposażonej w topologię indukowaną) wnętrze int ( F n ) ∩ U jednego z zamkniętych F n ∩ U jest niepuste, więc U spotyka się z sumą int ( F n ).
Przykłady
- W dowolnej przestrzeni topologicznej X , zbiór pusty i X są otwarte, a zatem równa ich wnętrz.
- W dyskretnej przestrzeni każda część jest również swoim własnym wnętrzem.
- W przestrzeni metryki , punkt jest w części A czy istnieją r > 0, że otwarte kulki centrum i promień R znajduje się w A, .
- W przestrzeni euklidesowej R z liczb rzeczywistych dostarczonych ze zwykłymi topologii:
- wewnątrz segmentu [0, 1] jest otwarty przedział] 0, 1 [;
- Wnętrze zbioru Q z liczb wymiernych jest pusty;
- wnętrze ] –∞ , 0] ⋃ [0, + ∞ [= R jest R , podczas gdy suma dwóch wnętrz wynosi R *;
- ciąg przedziałów] –∞ , 1 / ( n + 1) [(otwarte, a więc równe ich wnętrzom) ma dla przecięcia] –∞ , 0], którego wnętrze to] –∞ , 0 [.
- W przestrzeni liczb zespolonych wnętrze zbioru { z ∈ C / | z | ≥ 1} to zbiór { z ∈ C / | z | > 1}.
- W każdej przestrzeni euklidesowej wnętrze zbioru skończonego jest zbiorem pustym.
- W przestrzeni wyposażonej w zgrubną topologię, w której jedynymi otwartymi są cała przestrzeń i pusty zbiór, dowolna ścisła część jest pustym wnętrzem.
Wnętrze części zależy od rozważanej topologii. W przypadku R :
- ze zwykłą topologią int ([0, 1]) =] 0,1 [;
- z dyskretną topologią, int ([0, 1]) = [0, 1];
- biorąc pod uwagę zgrubną topologię, int ([0, 1]) jest zbiorem pustym.
Różnorodna topologia
Wnętrze rozmaitości topologicznej z krawędzią M wymiaru n jest zbiorem punktów M, które mają (w M ) sąsiedztwa homeomorficzne względem R n . Ich uzupełnieniem M nazywa krawędź M .
Jeśli M jest zwarty i zanurzony w R n , definicja jego wnętrza pokrywa się z definicją topologii ogólnej.