Twierdzenie Baire'a

Twierdzenie Baire'a , znany również jako lematu Baire , to twierdzenie w topologii powodu matematyka René Baire .

Przestrzenie Baire'a

Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest przestrzeń baire'a jeśli policzalny skrzyżowanie z gęstymi otworów jest gęsta. Równoważnie, przestrzeń topologiczna jest Baire jeśli unia policzalny z zamknięte od wnętrza pustych przestrzeni jest pusta w środku, albo gdy otwarty tylko chude jest pusty. Lemat (lub twierdzenie) Baire'a daje wystarczające warunki, aby pewne przestrzenie były Baire'a.

Stwierdzenie twierdzenia Baire'a

Twierdzenie Baire'a składa się z trzech zdań:

1. Każda lokalnie zwarta przestrzeń pochodzi od Baire. W konsekwencji: lokalnie zwarta niepusta przestrzeń nie jest policzalnym związkiem zamkniętych, wewnętrznych pustych przestrzeni;
2. Każda całkowicie mierzalna przestrzeń pochodzi od Baire'a;
3. Wszystko otwarte na przestrzeń Baire pochodzi z Baire.

Demonstracja

W dalszej int ( ) oznacza wnętrze z części A do E .

1. Niech E będzie lokalnie zwartą przestrzenią. Wykorzystamy to w E , każdy niepusty otwarty zawiera niepustą wewnętrzną zwartą . Rzeczywiście, każdy otwór zawierający punkt x zawiera zwarte sąsiedztwo x , ponieważ x ma podstawę zwartych sąsiedztw .

Niech sekwencja gęstych otworów w E i V będzie dowolną niepustą otwartą; Chcemy pokazać, że przecięcie U n spełnia V . (Unie)nie∈NIE{\ Displaystyle (U_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

Ponieważ U 0 jest gęsta, spotyka V . Otwarty U 0 ∩ V jest niepusty, zawiera niepusty zwarty wewnętrzny K 0 . Po wybraniu K 0 , U 1 ∩int ( K 0 ) jest niepustą otwartą, dlatego zawiera niepustą wewnętrzną zwartą K 1 .

Powtarzając tę ​​konstrukcję, otrzymujemy malejącą sekwencję niepustych zwartych K n, takich że i . K.0⊂V{\ Displaystyle K_ {0} \ podzbiór V}∀nie∈NIE,K.nie⊂Unie{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, K_ {n} \ podzbiór U_ {n}}

Następnie zawiera przecięcie K n, które (zgodnie z zagnieżdżonym twierdzeniem o zwartym ) jest niepuste, co potwierdza wynik. V∩⋂nie∈NIEUnie{\ displaystyle V \ cap \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} U_ {n}}

2. W przypadku, gdy E jest pełną przestrzenią metryczną , rozumowanie jest analogiczne, tym razem używając tego w przestrzeni metrycznej, każdy niepusty otwarty zawiera zamkniętą kulę o ściśle dodatnim promieniu (a więc niepustym wnętrzu). W ten sposób konstruujemy malejącą sekwencję zamkniętych kul B n o promieniu mniejszym niż 1 / ( n + 1), taką, że i . b0⊂V{\ displaystyle B_ {0} \ podzbiór V}∀nie∈NIE,bnie⊂Unie{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, B_ {n} \ podzbiór U_ {n}}

Następnie zawiera przecięcie B n , które (zgodnie z zamkniętym twierdzeniem zagnieżdżonym ) jest niepuste, co potwierdza wynik. V∩⋂nie∈NIEUnie{\ displaystyle V \ cap \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} U_ {n}}

3. Niech O otwartą przestrzeń baire'a E . Każde odchylenie otwarte O (dla topologii indukowanej ) jest również otwarte i ubogie w E , a zatem puste.

Mówi się, że przestrzeń E jest „całkowicie z Baire”, jeśli całość zamknięta na E jest z Baire. W przypadku lokalnie zwartych przestrzeni i przestrzeni całkowicie metrycznych ta dodatkowa właściwość jest automatyczna.

Niektóre aplikacje

Analiza

• Analiza funkcjonalna  :
  • twierdzenia o mapowaniu otwartym, wykres zamknięty, izomorfizm Banacha ,
  • Twierdzenie Banacha-Steinhausa ,
  • Proste twierdzenie graniczne Baire'a ,
  • Twierdzenie Blumberga ,
  • w przestrzeni Banacha funkcji ciągłych na [0, 1] podzbiór funkcji różniczkowalnych nigdzie nie zawiera gęstego G δ ;
• Charakterystyka od rzeczywistych wielomianów  : jeśli M jest funkcją C ∞ taki sposób, że , to jest wielomianem (można zauważyć, inwersję kwantyfikatorów z wyraźną charakterystykę ).(∀x∈R)(∃nie∈NIE)(fa(nie)(x)=0){\ Displaystyle (\ forall x \ w \ mathbb {R}) (\ istnieje n \ w \ mathbb {N}) (f ^ {(n)} (x) = 0)}(∃nie∈NIE)(∀x∈R)(fa(nie)(x)=0){\ Displaystyle (\ istnieje n \ w \ mathbb {N}) (\ forall x \ w \ mathbb {R}) (f ^ {(n)} (x) = 0)}

Demonstracja

Rozważ maksymalne (a więc zamknięte) nietrywialne przedziały, w których f jest wielomianem (według Taylora są one dwa na dwa rozłączne, aw każdym sąsiedztwie jednego z ich skończonych końców, f jest wielomianem tylko z jednej strony) i oznaczmy przez Ω połączenie ich wnętrz. Zamknięty F  : = ℝ \ Ω jest zatem bez punktu izolowanego . Załóżmy (absurdalnie), że jest niepusty. Jak to jest z Baire i przykryte zamkniętym fanie: ={x∈R∣fa(nie)(x)=0},{\ Displaystyle F_ {n}: = \ {x \ w \ mathbb {R} \ mid f ^ {(n)} (x) = 0 \},} istnieje liczba naturalna n i przedział otwarty I taki, że ∅≠ja∩fa⊂fanie.{\ displaystyle \ varnothing \ neq I \ cap F \ podzbiór F_ {n}.} Niech J być połączony komponent o I ∩Ω. Na J , K jest wielomianem P . Włączenie otwartego przedziału J do I jest ścisłe (ponieważ I ⊄ Ω), dlatego jeden (przynajmniej) z dwóch końców J - oznaczmy go c - należy do I , a następnie w sąsiedztwie c , f jest wielomianem z drugiej strony, tak, c ∈ C . Teraz każdy punkt F jest punktem akumulacji, więc na I ∩ F nie tylko f ( n ) jest równe zero, ale także, krok po kroku, jego kolejne pochodne. Tak więc (według Taylora w c ) stopień P jest ściśle mniejszy niż n . Zatem f ( n ) = 0 nie tylko na I ∩ F, ale na każdym podłączonym składniku J z I ∩Ω, a więc na I jako całości. Ale w takim razie ja ⊂ Ω: absurd.

Mówiąc bardziej ogólnie, wystarczy założyć, że gdzie D jest dowolnym zbiorem policzalnym .(∀x∈R)(∃nie∈NIE)(fa(nie)(x)∈re){\ Displaystyle (\ forall x \ in \ mathbb {R}) (\ istnieje n \ w \ mathbb {N}) (f ^ {(n)} (x) \ in D)}

Topologia

• Connectedness z Cantor teepee
• Twierdzenie o superpozycji Kołmogorowa
• Każda pełna przestrzeń metryczna, która nie jest pusta i bez wyodrębnionego punktu, jest nieskończona i niepoliczalna .
• Mówiąc bardziej ogólnie, każde policzalne przecięcie gęstych otworów oddzielnej , niepustej przestrzeni Baire'a bez izolowanego punktu jest nieskończone i niepoliczalne.
• W przestrzeni Banacha o nieskończonym wymiarze każda podstawa jest niepoliczalna (patrz Znormalizowana przestrzeń wektorowa, § Kompletność ).

Uwagi i odniesienia

1. (w) Vincent Kieftenbeld , Three Topics in Descriptive Set Theory , Denton, Texas, UNT ,2010( czytaj online ) , s.  24.
2. (Es) F. Sunyer i Balaguer i E. Corominas , „  Condiciones para que una función infinitamente derable sea un polinomio  ” , Rev. Maszt. Hisp.-Amer. , vol.  4, n O  141954, s.  26-43.
3. (in) HD Brunk i RP Boas , „  Warunek niezbędny i dostateczny dla wielomianu  ” , Amer. Matematyka. Miesięcznie , vol.  66, n o  7,aug. - wrz. 1959, s.  599 ( czytaj online ).
4. (w) William F. Donoghue , Distributions and Fourier transforms , Academic Press ,1969, 2 II  wyd. , 312  pkt. ( ISBN  978-0-08-087344-2 , czytaj online ) , str.  53.
5. (w) Ralph P. Boas, Jr., A Primer of Real Functions , UPC ,1996( czytaj online ) , s.  67-68.
6. (in) „  Jeśli [...] to f pokrywało się z wielomianem  ” na przepływie matematycznym .
7. Hervé Queffélec i Claude Zuily, Analiza agregacji , Dunod ,2013, 4 th  ed. ( czytaj online ) , s.  225 i 238.
8. (w) Boris Tsirelson  (w) , "  Miara i kategoria - twierdzenie 9a1  " na Uniwersytecie w Tel Awiwie ,2013.
9. Taka przestrzeń zawiera nawet homeomorficzną podprzestrzeń do przestrzeni Baire'a ℕ ω  : patrz „  Zbiór doskonały  ”.
10. Pierre Colmez , Elementy analizy i algebry (i teorii liczb) , Les Éditions de l'École Polytechnique,2012, 2 II  wyd.poprawione w ćwiczeniu 14.3 na stronie 223.
11. Wymiar takiej przestrzeni jest równy jej kardynałowi przy założeniu kontinuum , ale także bez tego założenia: ( fr ) Lorenz Halbeisen i Norbert Hungerbühler  (de) , „  Kardynalność baz Hamelskich przestrzeni Banacha  ” , East-West Journal Matematyki , t.  2,2000, s.  153-159 ( czytaj online ).

Zobacz też

Linki zewnętrzne

• Gilles Godefroy , tekst dotyczący twierdzenia
• BwataBaire , wiki, które ma na celu wymienienie różnych zastosowań lematu Baire'a i refleksję nad związkami, jakie ma on z podobnymi zjawiskami.
• (en) Brian S. Thomson, Andrew M. Bruckner i Judith B. Bruckner, Real Analysis ,2008, 2 II  wyd. ( ISBN  978-1-43484412-5 , czytaj online )( podgląd w Książkach Google )

Powiązane artykuły

Twierdzenie Osgooda  (de)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">