W logice matematycznej , implikacja jest jednym z dwuskładnikowych złączy z języka rachunku zdań , na ogół reprezentowane przez symbol „⇒” i czytania „... Oznacza ...«»... tylko jeśli ...” lub równoważnie: „Jeśli…, to…” jak w zdaniu „jeśli pada deszcz, to mój trawnik jest podlewany”.
Implikacja dopuszcza różne interpretacje w zależności od różnych systemów logicznych ( logika klasyczna , modalna , intuicjonista itp.).
Będąc łącznikiem, który tworzy zdanie z dwóch innych i które jest interpretowane przez operację na zdaniach lub na wartościach prawd, implikacja nie jest dedukcją, która jest relacją między zdaniami.
Logicy zwykle używają prostej strzałki „→” do implikacji , a czasami symbolu „⊃” wprowadzonego przez Peano . Logiczna dedukcja lub twierdzenie o twierdzenia mogą być reprezentowane przez symbole w najbliższej rozumieniu, ale nie identyczne: „ ∴”, „⊢” i „⊨” .
Logiczna implikacja jest operacją binarną, która ma zatem dwa argumenty: lewy argument jest implikacją, a prawy argumentem jest domniemany .
Klasycznie, łącznik implikacji jest sformalizowany na dwa sposoby, albo jako funkcja wartości prawdy, albo w kategoriach dedukcji.
W pierwszym przypadku chodzi o nadanie wartości prawdy każdemu zdaniu. W logice formalnej dla każdego łącznika wartość prawdziwości wyniku zależy tylko od argumentów argumentów, to znaczy, że wartość prawdy p ⇒ q zależy tylko od wartości z p i q . Na przykład nie ma mowy o uwzględnieniu związku przyczynowego, który wskazywałby, w jaki sposób prawda q wynika z prawdy p . Dlatego definiujemy implikację, interpretując ją za pomocą funkcji prawdy . Klasyczna logika , ma tylko dwie wartości prawdy, prawdziwe i fałszywe. W innych logikach może przybierać różne, ale analogiczne formy w procesie, takie jak semantyka Kripkego, która umożliwia interpretację logiki modalnej i logiki intuicjonistycznej (ta semantyka logiki intuicjonistycznej tłumaczona jako funkcja wartości prawdy musiałaby mieć pewną nieskończoność).
W drugim przypadku, jeśli umieścimy się w ramach formalnego systemu reguł dedukcji i aksjomatów, często można wyodrębnić określone reguły lub aksjomaty związane z tym łącznikiem.
Te dwa podejścia są kompatybilne i powiązane twierdzeniami, takimi jak na przykład twierdzenie o zupełności dla logiki klasycznej lub twierdzenie o zupełności obliczania zdań do obliczania zdań.
Logika klasyczna ma tylko dwie wartości prawdy, „prawda” i „fałsz”, które reprezentujemy za pomocą 1 i 0. Łącznik „⇒” jest następnie interpretowany przez zastosowanie zbioru {0,1} 2 na {0,1} , to znaczy operacja logiczna mająca następującą tabelę prawdy :
P. | Q | P ⇒ Q |
---|---|---|
Prawdziwe | Prawdziwe | Prawdziwe |
Prawdziwe | Fałszywe | Fałszywe |
Fałszywe | Prawdziwe | Prawdziwe |
Fałszywe | Fałszywe | Prawdziwe |
Zdanie „ p ⇒ q ” („ p implikuje q ”) jest logicznie równoważne z „ ¬ p ∨ q ” („nie ( p ) lub q ”). Generalnie przedstawiamy tę własność jako twierdzenie, które jest udowodnione przez zauważenie, że tablice prawdy „ p ⇒ q ” i „ ¬ p ∨ q ” są dokładnie takie same. Niektóre prace matematyczne również czasami używają tej własności jako definicji „ p ⇒ q ”. Nie jest niczym niezwykłym, że obiekty matematyczne mają wiele definicji. Ale generalnie istnieje bardziej klasyczna definicja lub bardziej spójna z historią i chronologią pojawiania się tych obiektów w odpowiednim korpusie, nawet jeśli inne definicje są czasami bardziej praktyczne w obsłudze. Zaletą zdefiniowania „ p ⇒ q ” = „ ¬ p ∨ q ” jest posiadanie zwartej definicji algebraicznej, która w związku z tym może być łatwiejsza do wykorzystania w rozwoju matematycznym niż tablica prawdy. Jednak nadal preferowane i bardziej spójne z logiką chronologiczną jest zdefiniowanie tego operatora binarnego na podstawie jego tabeli prawdy, tak jak jego odpowiedniki „ ¬ ” (nie), „ ∨ ” (lub) i ∧ (i).
Zatem zdanie „ p ⇒ q ” jest fałszywe dokładnie wtedy, gdy p jest prawdziwe i q fałszywe, dlatego można je również odczytać „ p tylko wtedy, gdy q ”. Interesem tego operatora binarnego „ ⇒ ” jest więc nie akceptowanie (fałszywego) przypadku, a tylko tego, w którym zaczyna się od prawdziwego zdania P i dochodzi do fałszywego zdania Q. Nawet jeśli jest to powszechne w rozumowaniu w sieciach społecznościowych, w matematyce byłoby to dramatyczne. Rzeczywiście, większość demonstracji matematycznych zaczyna się od hipotez, które mają być prawdziwe (w tym w rozumowaniu przez absurd) i prowadzi przez kolejne dedukcje do innych twierdzeń, które pozwalają albo dojść do tego, co chce się wykazać (cqfd), albo do absurdu, co następnie dowodzi, że jedna z hipotez jest fałszywa. Pozostałe 3 przypadki są dozwolone (Prawda), nawet jeśli niektóre mogą wydawać się sprzeczne z intuicją. Ale jest to łatwe do zrozumienia, zobacz przykłady poniżej. Istnieje zatem powiązanie między tym operatorem binarnym „ ⇒ ” w logice klasycznej a operatorem stosowanym w ramach reguł dedukcji matematycznych przemian. Przykład:
Łącznik „implikuje” ma zatem właściwość, która odróżnia go od intuicyjnego „dlatego”: zgodnie z powyższą tabelą prawdy, jeśli zdanie p jest fałszywe, to implikuje każde inne zdanie q , prawdziwe lub fałszywe. W przykładach 3 i 4 powyżej widzimy, że zgodne z prawem manipulacje matematyczne (operator binarny „implikuje” jest prawdą, podobnie jak reguła dedukcji matematycznej) prowadzi od fałszywego zdania p (2 = 1) do zdania q prawda (0 = 0) lub fałsz (3 = 2).
Szczegółowe własności w logice klasycznej W domyślnej formieNastępujące formuły, składające się tylko z implikacji i literałów , są tautologiami :
p ⇒ p p ma zawsze tę samą wartość prawdziwości co p , więc ta implikacja jest poprawna. Jest to związane z refleksyjnością dedukcji w logice klasycznej. p ⇒ ( q ⇒ p ) Jeśli p jest prawdziwe, q ⇒ p jest również prawdziwe (jest to jeden z tak zwanych paradoksów implikacji materialnej (en) .) ( p ⇒ q ) ⇒ (( q ⇒ r ) ⇒ ( p ⇒ r )) Formuła ta związana jest z przechodniością relacji dedukcyjnej; jest to równoważne tautologii [( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ r )] ⇒ ( p ⇒ r ) przez eksport (en) . ( p ⇒ q ) ⇒ ((( p ⇒ r ) ⇒ q ) ⇒ q ) Formuła ta jest sformułowaniem w formie czysto implikatywnej, ponieważ w logice predykatów, jeśli p ⇒ q i jeśli ¬ p ⇒ q, to q jest prawdziwe we wszystkich przypadkach. ( ¬p ⇒ p ) ⇒ p Ta tautologia prowadzi (przez modus ponens ) do rozumowania absurdem w logice klasycznej. ¬ p ⇒ ( p ⇒ q ) Ta tautologia prowadzi (zawsze przez modus ponens) do zasady eksplozji . W postaci innych łączników „ P ⇒ q ” jest równoważne „¬ ( p ∧ ¬ q )” oraz „(¬ p ) ∨ q ”. Te dwie formuły można traktować jako definicje implikacji. Zasadniczo opisują one tablicę prawdy, pierwsza podaje jedyny przypadek, w którym „ p ⇒ q ” jest fałszywe, a druga przypadki, w których „ p ⇒ q ” jest prawdziwe. „ P ⇒ q ” jest równoważne „¬ q ⇒ ¬ p ”. Mówi się, że te dwie formuły są przeciwstawne . „ P ⇒ ( q ∧ r )” jest równoważne „( p ⇒ q ) ∧ ( p ⇒ r )” a „ p ⇒ ( q ∨ r )” do „( p ⇒ q ) ∨ ( p ⇒ r )”. Dystrybucja na lewo od implikacji w odniesieniu do koniunkcji i dysjunkcji „( P ∧ q ) ⇒ r ” jest równoważne „( p ⇒ r ) ∨ ( q ⇒ r )” i „( p ∨ q ) ⇒ r ” do „( p ⇒ r ) ∧ ( q ⇒ r )”. Z drugiej strony nie jest rozdzielczy po prawej stronie ani w stosunku do koniunkcji, ani w stosunku do dysjunkcji: jeśli „⇒” jest po prawej stronie, w rozszerzonym wyrażeniu „∧” jest przekształcane w „∨” i występek versa. Brak skojarzeń. Implikacja nie jest asocjacyjna, ponieważ „( p ⇒ q ) ⇒ r ” i „ p ⇒ ( q ⇒ r )” nie przyjmują tych samych wartości dla wszystkich rozkładów wartości prawdy, przekonamy się o tym, podając wartość od 0 do „ p ” i do „ r ”: pierwsze wyrażenie ma wartość 0, a drugie 1.Implikacja (odpowiadająca „jeśli…, to…”), która jest łącznikiem, jest odróżniana od relacji dedukcji (oznaczonej np. Słowem „dlatego”). Jednak łącznik implikacji i relacja dedukcji są ściśle powiązane z następującymi dwiema regułami:
Te zasady to dwie podstawowe zasady rządzące zaangażowaniem. Przystosowane do naturalnej dedukcji (muszą być sprecyzowane poprzez wskazanie w szczególności kontekstu hipotez), stają się regułą eliminacji (modus ponens) i regułą wprowadzenia (lemat dedukcji) implikacji.
Te dwie reguły są wystarczające do implikacji w logice intuicjonistycznej .
W logice klasycznej musimy dodać rozumowanie absurdalne . Na przykład wystarczy dodać jako logiczny aksjomat prawo Peirce'a (( p ⇒ q ) ⇒ p ) ⇒ p , co jest czystą implikacją.
W ramach interpretacji Brouwera-Heytinga-Kołmogorowa , która jest interpretacją dotyczącą dowodów, dowód A ⇒ B jest postrzegany jako proces, funkcja w sensie efektywnym, która przekształca dowód A w dowód B. . Realność jest formalne rozpatrzenie tej nieformalnej semantyki.
W semantyce Kripke , który jest tradycyjną semantykę pod względem możliwych światów, a względem dostępności, która w przypadku logika intuicjonistyczna jest cycleless mamy A ⇒ B w świecie m , gdy każdy czas L ma w świecie dostępny ze m , również B .
Logiki modalne są rozszerzeniami logiki klasycznej, a implikacja ma wówczas taką samą interpretację. Jednak operatory modalne pozwalają nam zdefiniować silniejsze formy implikacji.
Implikacja była znana już w starożytnej Grecji , zwłaszcza przez stoików w formie takiej, jak: „Prawda idzie za prawdą ... Fałsz idzie za fałszem ... Fałsz idzie za prawdą ... Ale prawda, fałsz nie może naśladować.” . Odpowiada to „implikacji materialnej” (na przykład, ponieważ każde prawdziwe zdanie implikuje jakiekolwiek prawdziwe zdanie, można powiedzieć, że „morze jest słone oznacza, że Francji nie ma w Australii” ), które zostało ponownie odkryte przez Frege w 1879 r. I Peirce w 1885. Znaczenie tego pojęcia było dyskutowane zarówno w klasycznej starożytności, jak i we współczesnym okresie.
Propozycja typu „Gdyby Napoleon wygrał bitwę pod Waterloo , to najbardziej ruchliwa stacja w Londynie nie byłaby nazywana stacją Waterloo ”, która jest propozycją, której implikacja jest sprzeczna z faktami, nie jest uważana za implikację, filozofowie. Mówią w tym konkretnym przypadku rozumowania kontrfaktycznego .
W przykładach zaczerpniętych z języka potocznego, takich jak „jeśli 1 = 2, jestem papieżem”, gdzie to implikacja prowadzi do stwierdzeń, które są celowo absurdalne, ale prawdziwe, stwierdzenia odnoszą się do obiektów stałych; tak nie jest w matematyce, gdzie zdania zawierają zmienne x , y , m , n itd.
Wynika z tego, że stosowanie implikacji przez matematyków różni się od podanego w tych przykładach. Zatem matematyk uzna to stwierdzenie za fałszywe:
jeśli n jest podzielne przez 7, to n jest nieparzyste .W istocie nie jest to kwestia prostej implikacji materialnej; wyrażenie, ponieważ nie jest funkcją prawdy, jest prawdziwe dla n = 21 i fałszywe dla n = 28; ma znaczenie tylko wtedy, gdy towarzyszy mu kwantyfikator, tutaj zakłada się (uniwersalny) kwantyfikator.
Pracuje
Inne cytaty