Chudy komplet

W topologii , w kontekście przestrzeni Baire'a , zbiór chudy (zwany także pierwszą kategorią ) jest częścią przestrzeni Baire'a, którą z technicznego punktu widzenia można uznać za niewielką. Zestaw w śpiączce jest uzupełnieniem cienkiego zespołu. Część, która nie jest cienka, należy do drugiej kategorii .

Definicja

Podzbiór przestrzeni topologicznej E mówi się, że suche, gdy jest ona zawarta w policzalnych jedności o zamkniętych części z E , które wszystkie są wewnątrz puste .

Innymi słowy, podzbiór E jest chude wtedy i tylko wtedy, jeżeli jest policzalny sumą zbiorów nigdzie gęsty w E .

Nieruchomości

Pojęcie jest „bez zainteresowania”, gdy przestrzeń otoczenia E nie jest przestrzenią Baire'a . Rzeczywiście, jeśli E nie jest z Baire'a, chuda część może być równa całej przestrzeni. Z drugiej strony, gdy E pochodzi z Baire, definicja tych pól natychmiast zapewnia następującą charakterystykę:

Część przestrzeni Baire'a to:

• chudy, gdy znajduje się w pustym wnętrzu F σ ;
• śpiączka kwaśna, gdy zawiera gęsty G δ .

Z definicji wynika również, że policzalne spotkanie chudego jest chudym. Zapewnia to dobrze ugruntowaną technikę dowodową używaną do udowodnienia, że ​​pewien podzbiór P (niepustej) przestrzeni Baire'a E nie jest pusty: opisujemy P jako policzalne przecięcie ciągu zbiorów P n, które jesteśmy w stanie udowodnić, że są w śpiączce. Zbiór P jest wtedy komiczny, jest gęsty w E i a fortiori nie jest pusty. Znacznie lepsze: jeżeli E jest oddzielna i idealne ( to znaczy bez izolowanym punktem ), P jest niezliczona i jeżeli E jest całkowicie metryzowalny doskonała niż pusta przestrzeń, P także ma co najmniej mocy continuum .

Jeśli O jest otwartą częścią E, to każda uboga część O (dla topologii indukowanej ) jest uboga w E (ponieważ żadna nigdzie gęsta część O nie jest nigdzie gęsta w E ).

Przykłady

• W zbiorze ℝ liczb rzeczywistych, który jest pełną przestrzenią metryczną, a zatem przestrzenią Baire'a, zbiór ℚ wymiernych jest ubogi (jest to nawet ubogi F σ ), ponieważ można go przedstawić jako policzalną sumę singletonów . W tym przykładzie można zauważyć, że cienka część nie ma powodu, aby nigdzie nie była gęsta w otaczającej przestrzeni: tutaj jest wręcz przeciwnie w ℝ.
• Wychodzimy z tego, że zbiór ℝ \ ℚ irracjonalnych nie jest cienki: gdyby był, jego ponowne połączenie z ℚ również byłoby cienkie; jednak jest równe ℝ, które nie jest pustym wnętrzem, a zatem nie jest cienkie.
• Zbiór normalnych liczb jest ubogi, "chociaż" jego uzupełnienie jest znikome .

Bibliografia

1. Laurent Schwartz , Ogólna topologia i analiza funkcjonalna , Hermann,1970, s.  322-323. Wyrażenie „nieistotne” to cytat z tego źródła; co więcej, Schwartz definiuje termin „chudy zestaw” tylko w przestrzeni Baire'a.
2. (w) James Dugundji , Topology , Boston, Allyn & Bacon ,1966, 447  s. ( ISBN  978-0-697-06889-7 , czytaj online ) , str.  250dla tej alternatywnej prezentacji definicji. W tej książce, nie ma szczególnych ograniczeń co do otoczenia przestrzeni topologicznej E .
3. Pierre Colmez , Elementy analizy i algebry (i teorii liczb) , Éditions de l'École Polytechnique,2012, 2 II  wyd.poprawione w ćwiczeniu 14.3 na stronie 223.
4. W szczególnym przypadku przestrzeni ℕ ω , patrz ćwiczenie V.3.9.b autorstwa (en) P. Odifreddi , Classical Recursion Theory , Elsevier, coll.  „Studia w logice i podstawy matematyki” ( N O  125),1992, 2 II  wyd. ( 1 st  ed. 1989) ( czytaj on-line ) , s.  475.
5. tym przykładzie wspomniano, między innymi, (w) „  Czy istnieje miara zerowa ustawiona jako qui est skromna?  » , W MathOverflow .

Powiązane artykuły

• Własność Baire
• Znikomy zestaw
• Razem nigdzie gęsty
• Gra Banach-Mazur  (en)