Filtruj (matematyka)

W matematyce , a dokładniej w ogólnej topologii , filtr jest strukturą zdefiniowaną na zbiorze i umożliwiającą rozszerzenie pojęcia granicy do najbardziej ogólnych sytuacji . Teoria filtrów została wymyślona w 1937 przez Henri Cartana i wykorzystana przez Bourbaki .

Filtry umożliwiły w szczególności eleganckie zademonstrowanie twierdzenia Tychonowa . Ważny szczególny przypadek ultrafiltrów odgrywa fundamentalną rolę w budowie przedłużeń klasycznych obiektów, takich jak reale (co daje początek hiperrzeczywistości ) lub lokalnie zwarte przestrzenie (pozwala na budowę zwartych kamieni-Čechów ).

Przedmowa

W matematyce pojęcie granicy leży u podstaw wielu zjawisk i daje początek teorii zwanej topologią :

(1) Jeśli

E

F

są przestrzeniami topologicznymi,

f

jest funkcją

E

F

ma

punkt

E

, mówimy, że „

f ( x )

dąży do granicy

ℓ \in F

jako

x

dąży do

a

” jeśli dla wszystkich sąsiedztw

V

£ -l

, w

f

, istnieje otoczenie

U

z w

E

tak, że

f

(

U

) \subset

V

(2) Jeśli

A

jest niepustą częścią wypełnionej prostej rzeczywistej ℝ i

a \neq -\infty

jest punktem przylegającym do

A

, lewą granicę

f

w punkcie

a

, w odniesieniu do

A

, nazywamy wielkością

ℓ \in F

taką, że dla dowolnego otoczenia

V

ℓ

F

, istnieje otoczenie

U

a

z ℝ takie, że

f ( U \cap A \cap] -\infty, a [) \subset V

; gdy

F

jest oddzielone , taka wielkość

ℓ

jest unikalna i odnotowana .

{\ displaystyle \ lim _ {x \ do a, x <a, x \ w A} f (x)}

Gdy $a$ dopuszcza policzalny podstawowy system sąsiedztwa, na przykład gdy $E$ jest przestrzenią metryzowalną , użycie sekwencji jest wygodne do badania granic:

W przypadku (1) powyżej, $f ( x ) na$ ogół do poziomu $£ -l \in F$ , gdy $x$ ma tendencję do jest konieczne i wystarczające, aby dla każdej sekwencji $($ $x$ $n$ $)$ o $E$ konwergencję sekwencja $($ $f$ $($ $x$ $n$ $))$ jest zbieżny do $£ -l$ , w $F$ ;
W przypadku (2), tak, że $£ -l \in F$ jest lewa granica $F$ w punkcie $A$ , w stosunku do $A$ , to jest konieczne i wystarczające, aby dla każdej sekwencji $( x n )$ z $A \cap] -\infty, [$ konwergencję $ma$ wynik $( f ( x n )) jest$ zbieżny do $ℓ$ w $F$ .

Charakterystyka granic za pomocą ciągów staje się niemożliwa, gdy punkty E nie dopuszczają podstawowego układu przeliczalnego sąsiedztwa. Dzieje się tak na przykład wtedy, gdy E jest przestrzenią lokalnie wypukłą, która jest ścisłą granicą indukcyjną ściśle rosnącego ciągu przestrzeni Frécheta . Takie przykłady można znaleźć w teorii dystrybucji . Możemy wtedy zastąpić sekwencje sekwencjami uogólnionymi (lub „sekwencjami Moore-Smitha” lub sieciami). Ale według Bourbakiego,

„Wprowadzenie filtrów przez H. Cartana, zapewniając jednocześnie bardzo wartościowy instrument do wszelkiego rodzaju zastosowań (gdzie z korzyścią zastępuje „koncepcję konwergencji à la Moore-Smith”), przyszło, dzięki teorii ultrafiltrów, do dalszego wyjaśnić i uprościć teorię. "

Niemniej jednak pisze Eric Schechter (w) ,

„ Filtry mają wiele innych zastosowań - w teorii mnogości, logiki, algebry, etc. - ale filtry mogą być również używane do badania zbieżności. W rzeczywistości sieci i filtry dają zasadniczo takie same wyniki dotyczące zbieżności. Niektórzy matematycy wolą sieci lub filtry i używają tylko jednego lub drugiego systemu. W opinii tego autora idee siatek i filtrów wzajemnie się uzupełniają; nie należy ich postrzegać jako dwóch odrębnych systemów idei. "

Sieci umożliwiają radzenie sobie z klasycznymi problemami topologicznymi (dotyczącymi problemów zbieżności) w taki sam sposób jak filtry, podczas gdy filtry okazują się, jeśli nie konieczne, to przynajmniej lepiej nadają się do bardziej egzotycznych problemów topologicznych.

Definicja

Biorąc pod uwagę zestaw E , nazywamy filtr na e jakakolwiek część ℱ od P ( E ) ( zestaw części z E ) takie, że:

każda część E zawierająca element ℱ należy do ℱ;
każde skończone przecięcie elementów ℱ należy do ℱ;
zbiór pusty n należy nie ℱ.

Uwagi:

aksjomat 2 jest równoważny koniunkcji dwóch następujących aksjomatów:
- 2a. przecięcie dwóch elementów ℱ należy do ℱ,
- 2.b. E (przecięcie pustej rodziny) należy do ℱ;
aksjomaty 2.b i 3 pokazują, że w pustym zbiorze nie ma filtra;
w obecności aksjomatu 1:
- aksjomat 2.b jest równoważny: ℱ jest niepuste;
- Aksjomat 3 jest równoważny: ℱ ≠ P ( E ).

Przykłady

Albo niepusty ustalanych na podstawie zbioru E . Wszystko ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {A} = \ {X \ w P (E) \ mid A \ podzbiór X \}}$ jest filtrem, o którym mówi się, że jest filtrem głównym . Często odnotowuje się główny filtr ( ) . ${\ matematyczny F} _ {{\ {x \}}}$ $x \ w E$ ${\ matematyczny F} _ {x}$
Lub E przestrzenią topologiczną i x element E . Zestaw dzielnicach x jest filtr na E zwany filtr sąsiedztwa z x .
W szczególnym przypadku, gdy topologia E jest dyskretna , wracamy do głównego filtru, ponieważ dla dyskretnej topologii część E jest sąsiedztwem x wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera x .
Filtr Fréchet na nieskończonej zbioru E jest zbiór podzbiorów E o komplementarnej meta w E . W przypadku braku precyzji, filtr Frécheta jest rozpatrywany na zbiorze liczb naturalnych. $\ mathbb {N}$
Lub A podzbiór E i ℱ filtr na E . Utwór ℱ z ℱ na A jest filtrem na A wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element ℱ spotkanie A . Ten ℱ Trace A nazywamy filtrem indukowanym przez ℱ na A .
Albo rodzina nie opróżnia filtrów w zestawie E . Zestaw to filtr na E , zwany filtrem przecięcia rodziny . $({\ mathcal F} _ {i}) _ {{i \ w I}}$ ${\ mathcal {F}} = \ bigcap \ nolimits _ {{i \ w J}} {\ mathcal {F}} _ {{i}}$ $({\ mathcal F} _ {i}) _ {{i \ w I}}$

Filtruj bazy

Definicja

Niech E będzie zbiorem. Część ℬ z P ( E ) jest bazą filtra, jeśli zbiór ℱ = jest filtrem. Następnie mówimy, że ℬ jest bazą filtra ℱ lub że ℱ jest filtrem generowanym przez ℬ. ${\ displaystyle \ {A \ in P (E) \ mid A {\ mbox {zawiera element}} {\ mathcal {B}} \}}$

Stan: schorzenie

Aby ℬ był podstawą filtra, konieczne i wystarczające jest, aby posiadał następujące trzy właściwości:

ℬ nie jest pusty,
ℬ nie zawiera pustego zestawu,
Przecięcie dwóch elementów ℬ zawiera element ℬ.

Demonstracja

Z definicji ℱ z ℬ wyprowadzamy, że:

${\ mathcal F} = \ varnothing \ Leftrightarrow {\ mathcal B} = \ varnothing$ ;
$\ varnothing \ in {\ mathcal F} \ Leftrightarrow \ varnothing \ in {\ mathcal B}$ ;
ℱ zawsze sprawdza właściwość (3) definicji filtrów;
${\ mathcal B} \ podzbiór {\ mathcal F}$ zatem jeśli ℱ spełnia właściwość (4), to w szczególności , co jest przeformułowaniem trzeciego warunku powyżej; $\ forall (X, Y) \ in {\ mathcal B} ^ {2} ~ X \ cap Y \ in {\ mathcal F}$
odwrotnie, jeśli wtedy ℱ spełnia (4), ponieważ dla dowolnej pary ( A , B ) elementów ℱ, A ∩ B zawiera element ℱ, dlatego - ponieważ ℱ spełnia (3) - A ∩ B samo jest elementem ℱ. $\ forall (X, Y) \ in {\ mathcal B} ^ {2} ~ X \ cap Y \ in {\ mathcal F}$

Należy zauważyć, że podstawa filtra ℬ, dowolny zbiór zbiorów spełniający trzy powyższe warunki, jest zatem definiowany niezależnie od konkretnego filtra, a nawet wszystkie razem zawierające E . Dla dowolnego zbioru E nadzbioru wszystkich elementów ℬ istnieje filtr ℱ i tylko jeden na E, na którym bazuje ℬ.

Uwaga: biorąc pod uwagę filtr ℱ, podzbiór ℬ ℱ jest jego podstawą wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element ℱ zawiera element ℬ.

Prebase filtr o E jest niepusty zestaw ? z części E , który ograniczony przecięcia jest niepusty. Te skończone przecięcia tworzą następnie podstawę najmniejszego filtra zawierającego ? i mówimy, że ? jest podstawą tego filtra.

Przykłady

{{ x }} jest podstawą filtra głównego ℱ x .
Lub E przestrzenią topologiczną i x element E . Baza sąsiedztwo z X jest podstawa filtra sąsiedztwo x .
$\ {[- r, r] \ mid r> 0 \}$ jest podstawą filtra sąsiedztw 0 w ℝ; jest inny; jest jeszcze inny (ten ostatni ma tę zaletę, że jest policzalny ). $\ {] - r, r [\ mid r> 0 \}$ $\ {] - 1 / n, 1 / n [\ mid n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \}$
Mówiąc bardziej ogólnie, niech E będzie przestrzenią metryczną, a x punktem E , zbiór otwartych (lub zamkniętych) kul o środku x i promieniu r > 0 jest podstawą filtra sąsiedztw x .
W ℝ jest podstawą filtru tępego sąsiedztwa o wartości 0, pozwalającego na określenie tępego limitu (lub limitu przez różne wartości) funkcji na poziomie 0. $\ {[- r, 0 [\ kubek] 0, r] \ mid r> 0 \}$
W ℝ, jest bazą filtru sąsiedztwa na prawo od 0 (tępe), pozwalającą określić granicę z prawej strony w 0 (lub granicę przez ściśle wyższe wartości). $\ {] 0, r] \ mid r> 0 \}$
W ℕ jest podstawą filtru Frécheta , pozwalającego na zdefiniowanie pojęcia granicy ciągu. $\ {[n, + \ infty [\ mid n \ in {\ mathbb N} \}$
W ℝ N , zbiór uzupełnień kulek z centrum 0 jest podstawą filtra z części ograniczonego dopełniacza . Definiuje pojęcie granicy w nieskończoności funkcji określonej na ℝ N .

Dokładność filtra i ultrafiltrów

Definicja

Czy ℱ 1 i ℱ 2 dwa filtry na zbiorze E . Mówimy, że ℱ 2 jest drobniejsze niż ℱ 1 - lub że ℱ 1 jest grubsze niż ℱ 2 - jeśli ℱ 1 ⊂ ℱ 2 . Załóżmy, że ℱ 1 (odp. ℱ 2 ) ma podstawę ℬ 1 (odp. ℬ 2 ). Aby ℱ 2 było drobniejsze niż ℱ 1 , konieczne i wystarczające jest , aby każdy element 1 zawierał element ℬ 2 .

Nieruchomości

Filtr przecięcia niepustej rodziny filtrów na E jest mniej dokładny niż każdy filtr z tej rodziny.

Spotkanie dowolnego łańcucha niepustych filtrów na E jest filtrem na E . Jest to najgrubszy z filtrów na E, drobniejszy niż każdy filtr w tym łańcuchu.

Aby istniał filtr na E drobniejszym niż ℱ 1 i niż ℱ 2 , konieczne i wystarczające jest, aby przecięcie elementu ℱ 1 i elementu ℱ 2 nigdy nie było puste.

Ultrafiltr

Ultrafiltr wynosi maksymalnie filtr integracji. Innymi słowy, ℱ jest ultrafiltrem wtedy i tylko wtedy, gdy ℱ jest jedynym filtrem drobniejszym niż ℱ.

Głównymi filtrami tego typu (patrz przykłady powyżej) są ultrafiltry (często nazywane również ultrafiltrami trywialnymi). ${\ matematyczny F} _ {x}$

Każdy filtr jest zawarty w ultrafiltrze; innymi słowy, dla każdego filtra ℱ istnieje ultrafiltr drobniejszy niż ℱ. Jest to klasyczna konsekwencja aksjomatu wyboru lub odpowiadającego mu lematu Zorna ; ale odwrotnie, aksjomat wyboru okazuje się niezbędny, aby móc skonstruować ultrafiltry niebędące głównymi (istnieją na przykład modele ZF, w których nie ma żadnych liczb całkowitych).

Zauważ, że filtr w zbiorze E jest ultrafiltrem wtedy i tylko wtedy, gdy jakakolwiek część A zbioru E ma następującą właściwość: lub . W poprzednim stwierdzeniu jest uzupełnieniem A w E, a alternatywa jest z konieczności wykluczająca. $\ matematyczny {F}$ ${\ displaystyle A \ w {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle A ^ {c} \ w {\ mathcal {F}}}$ ${\ styl wyświetlania A ^ {c}}$

Demonstracja

Oczywistym jest, że filtr na E wykazujący tę właściwość jest ultrafiltrem, elementy nienależące do niego koniecznie muszą mieć puste przecięcie z jednym z jego elementów. Odwrotność dowodzi absurdalności następującej własności: albo filtruj według E, a A , części E takiej, która nie jest elementem , to z konieczności przecięcie A z dowolnym elementem jest niepuste (w przeciwnym razie dopełnienie A zawierałby element, a zatem byłby elementem ). Tak samo jest z prebasem filtra zawierającego, którego A jest elementem. $\ matematyczny {F}$ ${\ displaystyle \ forall A \ w {\ mathcal {P}} (E), A \ w {\ mathcal {F}} \ lor A ^ {c} \ w {\ mathcal {F}}}$ ${\ matematyczny {P}} (E)$
$\ matematyczny {F}$ ${\ styl wyświetlania A ^ {c}}$ $\ matematyczny {F}$ $\ matematyczny {F}$ $\ matematyczny {F}$ $\ matematyczny {F}$ ${\ displaystyle {\ matematyczne {F}} \ filiżanka \ {A \}}$ $\ matematyczny {F}$

Filtr zbieżny, punkt przylegania do filtra

Niech E będzie przestrzenią topologiczną, a x elementem E . Mówimy, że

filtr na E zbiega się do x, jeśli jest drobniejszy niż filtr sąsiedztw x ; wyrażamy to również, mówiąc, że x jest granicą filtra
baza filtra na E zbiega się do x, jeśli filtr, który generuje, jest zbieżny do x .
x jest przylegająca do filtra ℱ (w E ), jeśli występują sąsiedztwo V z X , a każdy element F z ℱ spotykają. Innymi słowy, istnieje filtr ℱ 'zawierający w tym samym czasie ou, albo też istnieje filtr ℱ' drobniejszy niż ℱ, który jest zbieżny w kierunku x . ${\ matematyczny V} (x)$

Zbiór punktów przylegających do filtra ℱ jest zbiorem zamkniętym, czyli . $\ cap _ {{F \ in {\ mathcal F}}} \ overline F$

Jeśli filtr ℱ zbiega się do x, to x jest zgodny z ℱ. Odwrotna sytuacja jest prawdziwa, jeśli ℱ jest ultrafiltrem.

Przestrzeń E jest oddzielona wtedy i tylko wtedy, gdy filtr na E nie może mieć więcej niż jednego limitu.

Filtr obrazu, limit funkcji

Albo E i F dwa zbiory, f funkcja E w F i ℱ filtr na E . Filtru obrazu o ℱ przez F definicji jest zestaw części F , których wzajemny obrazu przez F należy do filtra ℱ. Podstawą tego filtra jest zbiór f (ℱ) bezpośrednich obrazów elementów ℱ.

Gdy F jest przestrzenią topologiczną, a y elementem F , mówimy, że f jest zbieżne do y następujące po ℱ , i piszemy , jeśli f (ℱ) jest zbieżne do y . To uogólnia zwykłe pojęcie granicy: gdy E jest również przestrzenią topologiczną, a jest punktem E, a ℱ jest filtrem sąsiedztw a , mówimy, gdy f zbiega się w kierunku y po ℱ, że f (x) dąży w kierunku y, gdy x zbliża się ma ; jeśli A jest podprzestrzenią E , a jest punktem przylegającym do A i ℱ jest śladem na A filtru sąsiedztw a , mówimy, gdy f zbiega się do y po ℱ, że y jest granicą f na punkt ma , względem podprzestrzeni a . Piszemy w pierwszym przypadku, w drugim. Mówimy, że f jest ciągłe w punkcie if . $y = \ lim \ nolimits _ {{{\ mathcal {F}}}} f$ $y = \ lim \ limity _ {{x \ rightarrow a}} f \ left (x \ right)$ $y = \ lim \ limits _ {{x \ rightarrow a, x \ in A}} f \ left (x \ right)$ $starszy$ $f (a) = \ lim \ limity _ {{x \ rightarrow a}} f \ left (x \ right)$

Można również zdefiniować pojęcia dolnej i górnej granicy zgodnie z filtrem funkcji o wartościach w ℝ .

Twierdzenie - Niech E i F będą przestrzeniami topologicznymi.

(1) Jeśli f jest ciągłe w punkcie a i jest filtrem E zbieżnym do a , to zbieżny do .

{\ matematyczny {F}}

f ({\ matematyczny F})

f (a)

(2) I odwrotnie, f jest ciągłe w punkcie a, jeśli spełniony jest jeden z następujących równoważnych warunków:(a) Do każdego filtra o E zbieżną do , zbiega się .

{\ matematyczny {F}}

f ({\ matematyczny F})

f (a)

(b) w przypadku ultrafiltracji z E zbieżną do , zbiega się .

{\ matematyczny U}

f ({\ matematyczne U})

f (a)

Demonstracja

(1) Jeśli f jest ciągłe w punkcie a , dla dowolnego sąsiedztwa V elementu w F , istnieje sąsiedztwo U elementu a w E takie, że . Następnie, jeśli jest to filtr E zbieżne do , mamy więc , a więc zbieżny do . $f (a)$ $f (U) \ podzbiór V$ ${\ matematyczny {F}}$ $U \ w {\ matematyczne F}$ $V \ in f ({\ matematyczne F})$ $f ({\ matematyczny F})$ $f (a)$

(2) Ze względu na to filtr z e konwergencję , istnieje ultrafiltr cieńsze niż to więc zbiegają się . Ponieważ każdy ultrafiltr jest filtrem, warunki (a) i (b) są równoważne. Załóżmy, że warunek (a) jest prawdziwy. Lub filtr sąsiedztwa a w E . Ponieważ jest zbieżny do każdy sąsiedztwie w F należy do tak istnieje otoczenie U z w E tak, że , co pokazuje, że F jest ciągła w punkcie a . ${\ matematyczny {F}}$ ${\ matematyczny {F}}$ $f ({\ matematyczny F})$ $f (a)$ $f (a)$ $f ({\ matematyczny F})$ $f (U) \ podzbiór V$

Filtr podstawowy

Czy ogólny wynik (lub punktów ) w zbiorze E i dla wszystkich , . Zestaw stanowi bazę filtra E , zwaną bazą filtra elementarnego związanego z siecią . Ten podstawowy filtr jest obrazem filtru Frecheta I przez funkcję z I w E . $(x_ {i}) _ {i \ w I}$ $ja \ w ja$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {i} = \ {x_ {k} \ mid k \ geq i \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} = \ {{\ mathcal {\ mathcal {B}}} _ {i} \ mid i \ w ja \}}$ $(x_ {i}) _ {i \ w I}$ $ja \ mapsto x_ {i}$

Odwrotnie, niech filtr na zbiorze E , podstawą , filtrowanie integracji. Do wszystkiego , niech tak będzie . Mówi się, że reguła jest powiązana z (nie ma unikalności reguły powiązanej z filtrem). ${\ matematyczny {F}}$ $ja$ ${\ matematyczny {F}}$ $ja \ w ja$ ${\ displaystyle x_ {i} \ w i}$ $(x_ {i}) _ {i \ w I}$ ${\ matematyczny {F}}$

Mówimy, że sieć zbioru E zbiega się do punktu a z E, jeśli dla dowolnego sąsiedztwa U od a istnieje takie, że dla wszystkich . $(x_ {i}) _ {i \ w I}$ $ja \ w ja$ $x_ {k} \ w U$ $k \ geq i$

Lemat - Niech E będzie przestrzenią topologiczną, regułą E , skojarzonym filtrem elementarnym i . Następujące warunki są równoważne: $(x_ {i}) _ {i \ w I}$ ${\ matematyczny {F}}$ $starszy$

(a) jest zbieżny do .

{\ matematyczny {F}}

(b) jest zbieżny do .

(x_ {i}) _ {i \ w I}

Demonstracja

Załóżmy, że (a) jest prawdziwe i niech V będzie sąsiedztwem a . Istnieje zatem takie, że , zatem dla wszystkich , i (b) jest weryfikowane. Odwrotność jest pokazana w ten sam sposób. $ja \ w ja$ ${\ mathcal F} _ {i} \ podzbiór V$ $x_ {k} \ w V$ $k \ geq i$

Twierdzenie - Filtr na zbiorze E jest filtrem przecięcia z filtrami elementarnymi drobniejszymi od siebie.

Demonstracja

Niech będzie filtrem na E i podstawie . Niech zbiór części skończonych I i dla wszystkich , . Wtedy jest podstawą i jeśli ( ), to . Albo za wszystko . Filtr elementarny związany z siecią jest drobniejszy niż , dlatego filtr , przecięcie filtrów elementarnych drobniejszych niż , istnieje. Ten filtr jest oczywiście drobniejszy niż . Załóżmy, że jest ściśle cieńszy. Istniałby wtedy zestaw taki jak do wszystkiego . Albo za wszystko . Filtr elementarny związany z siecią byłby drobniejszy niż i M nie należałoby do tego filtra, w przeciwieństwie do definicji ${\ matematyczny {F}}$ $({\ mathcal A} _ {i}) _ {{i \ w I}}$ ${\ matematyczny {F}}$ $\ Phi (I)$ $J \ w \ Phi (I)$ ${\ mathcal {B}} _ {{J}} = \ bigcap \ nolimits _ {{i \ w J}} {\ mathcal {A}} _ {{i}}$ $\ po lewej ({\ mathcal {B}} _ {{J}} \ po prawej) _ {{J \ in \ Phi (I)}}$ ${\ matematyczny {F}}$ $J \ podzbiór K$ $J, K \ w \ Phi (I)$ ${\ mathcal B} _ {K} \ podzbiór {\ mathcal B} _ {J}$ $a_ {J} \ w {\ mathcal B} _ {J}$ $J \ w \ Phi (I)$ $(a_ {J}) _ {{J \ w \ Phi (I)}}$ ${\ matematyczny {F}}$ ${\ matematyczny {G}}$ ${\ matematyczny {F}}$ ${\ matematyczny {G}}$ ${\ matematyczny {F}}$ $M \ w {\ matematyczny G}$ ${\ mathcal B} _ {J} \ cap (EM) \ neq \ emptyset$ $J \ w \ Phi (I)$ $b_ {J} \ w {\ mathcal B} _ {J} \ czapka (EM)$ $J \ w \ Phi (I)$ $(b_ {J}) _ {{J \ w \ Phi (I)}}$ ${\ matematyczny {F}}$ ${\ matematyczny {G}}$

Wniosek - niech będzie filtrem na przestrzeni topologicznej E i . Następujące warunki są równoważne: ${\ matematyczny {F}}$ $starszy$

(a) jest zbieżny do .

{\ matematyczny {F}}

(b) wszelkie elementarne drobniejsze niż filtr zbieżny do .

{\ matematyczny {F}}

{\ matematyczny {F}}

Demonstracja

Oczywiste jest, że (b) jest równoważne (c) i że (a) implikuje (b). I odwrotnie, jeśli warunek (b) jest spełniony, filtr przecięcia filtrów elementarnych drobniejszych niż , tj. zgodnie z twierdzeniem, jest zbieżny do (a), więc warunek (a) jest spełniony. ${\ matematyczny {F}}$ ${\ matematyczny {F}}$

Również:

Wniosek - niech będzie filtrem na przestrzeni topologicznej E i . Następujące warunki są równoważne: ${\ matematyczny {F}}$ $starszy$

(a) a jest punktem przylegającym do filtra .

{\ matematyczny {F}}

(b) Istnieje elementarną filtru mniejszej od , zbiegające się .

{\ matematyczny {G}}

{\ matematyczny {F}}

{\ matematyczny {G}}

Demonstracja

Widzieliśmy powyżej, że (a) jest równoważne (b). Z drugiej strony (b) jest równoważne (c) zgodnie z Lematem.

Ścisłość

Filtry pozwalają na prostą charakterystykę zwartych przestrzeni topologicznych .

Twierdzenie: Oddzielna przestrzeń topologiczna E jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każdy filtr z E dopuszcza punkt przylegania lub wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ultrafiltr z E jest zbieżny.

Ta charakterystyka, która uogólnia twierdzenie Bolzano-Weierstrassa, pozwala w elegancki sposób udowodnić twierdzenie Tychonova .

Demonstracja

Z definicji przestrzeń topologiczna jest zwarta, jeśli jest oddzielna i quasi-zwarta, a przestrzeń E jest quasi-zwarta, jeśli z dowolnej rodziny domkniętych z E pustego przecięcia możemy wyodrębnić skończoną rodzinę pustego przecięcia. Udowadniamy tutaj równoważność:

E jest quasi-kompaktowy wtedy i tylko wtedy, gdy jakikolwiek filtr na E dopuszcza punkt przylegania.

Niech E quasi-zwarte i ℱ będą filtrem na E . Dla każdej części skończonego J o ℱ, ∩ ∈ J ≠ ∅ (od ℱ jest filtrem) i a fortiori ∩ ∈ J ≠ ∅ zatem (w quasi zwartość) ∩ ∈ℱ ≠ ∅, jest to, że jest, ℱ ma przylegające punkty.
Przypuszczamy, że każdy filtr na E dopuszcza punkt przylegania. Niech ( F i ) i ∈ I będzie zamkniętą rodziną E, dla której nie da się wyodrębnić skończonej rodziny pustego przecięcia: dla dowolnej skończonej części J z I , zbiór F J określony przez F J = ∩ i ∈ J F I nie jest pusty. Następnie rodzina F J (indeksowane skończonych elementów J o I ) jest niepusty (ponieważ obejmuje co najmniej F ∅ , równy E umownie), składa się z niepustych zestawów i F J ∩ F K F = J ∪ K . W związku z tym podstawą filtra i filtr ℱ na E , że generuje się przyznaje z założenia punktu przylegającego: ∅ ≠ ∩ ∈ℱ ⊂ ∩ i ∈ I F I = ∩ i ∈ I F ı . Udowodniliśmy, że każda rodzina zamknięta skończonymi przecięciami nie jest pustymi nie jest pustym przecięciem, które wyraża prawie zwarte E .

Filtr Cauchyego

Przestrzeń metryczna

W przestrzeni metrycznej ciąg nazywa się Cauchy, jeśli dla dowolnej ściśle dodatniej rzeczywistej r , istnieje rząd, od którego wszystkie wyrazy ciągu są oddalone od siebie o mniej niż r .

Pojęcie to uogólnia się na filtry poprzez zdefiniowanie: w przestrzeni metrycznej filtrem jest Cauchy, jeśli dla dowolnej ściśle dodatniej rzeczywistej istnieje element filtra o średnicy mniejszej lub równej tej rzeczywistej.

Sprawdzamy, czy sekwencja to Cauchy wtedy i tylko wtedy, gdy powiązany filtr ( filtr obrazu później z filtru Frécheta na ℕ) to także Cauchy.

Mówi się, że przestrzeń metryczna jest kompletna, jeśli zbiega się do niej dowolna sekwencja Cauchy'ego. Pokazujemy, że jest to równoznaczne z stwierdzeniem, że każdy filtr Cauchy'ego jest tam zbieżny.

Z drugiej strony, w każdej przestrzeni metrycznej filtrem zbieżnym, podobnie jak sekwencją zbieżną, jest zawsze Cauchy.

Jednolita przestrzeń

W przestrzeni jednolitej ciąg Cauchy'ego jest zdefiniowany przez fakt, że dla każdego otoczenia istnieje ranga, od której wszystkie pary terminów w ciągu należą do otoczenia. Filtr Cauchy'ego jest zdefiniowany przez fakt, że dla dowolnego otoczenia istnieje element filtra, którego kwadrat kartezjański jest podzbiorem tego otoczenia.

Jeśli przestrzeń jednolita jest powiązana z przestrzenią metryczną, te dwie definicje są równoważne odpowiednim definicjom podanym powyżej dla przestrzeni metrycznych.

W jednolitej przestrzeni pojęcie kompletności nie może być już definiowane obojętnie przez zbieżność filtrów Cauchy'ego lub sekwencji Cauchy'ego. W przestrzeni jednolitej istnieją więc dwa pojęcia zupełności: mówimy, że przestrzeń jednorodna jest

zakończyć, jeśli zbiega się tam jakiś filtr Cauchy'ego,
sekwencyjnie kompletne, jeśli jakakolwiek sekwencja Cauchy'ego jest tam zbieżna.

Kompletność po prostu pociąga za sobą kompletność sekwencyjną; odwrotnie, jeśli przestrzeń jednolitą można powiązać z metryką, ale nie ogólnie.

W przestrzeni jednolitej, podobnie jak w przestrzeni metrycznej, zbieżne sekwencje i filtry są zawsze Cauchy'ego.

Ograniczone filtry

Lub E przestrzeń liniowo-topologiczna , filtr na E . Mówią, że jest ograniczony jeśli zawiera zbiór ograniczony z E . ${\ matematyczny {F}}$ ${\ matematyczny {F}}$

W szczególności, jeśli jest wątkiem E i jest powiązany z filtrem elementarnym, ten filtr jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki, który jest ograniczonym podzbiorem E . Tak jest w przypadku, gdy jest sekwencją Cauchy'ego (z . $(x_ {i}) _ {i \ w I}$ ${\ matematyczny {F}}$ $ja \ w ja$ $\ {x_ {k}: k \ geq i \}$ $(x_ {i}) _ {i \ w I}$ $I = \ mathbb {N})$

Niech E będzie przestrzenią lokalnie wypukłą. Następujące warunki są równoważne:

(a) Każda ograniczona i zamknięta część E jest zupełna (dla jednorodnej struktury wywołanej przez E ).

(b) Każdy ograniczony filtr Cauchy'ego z E jest zbieżny.

Mówi się, że lokalnie wypukła przestrzeń E jest prawie kompletna, jeśli spełniony jest jeden z powyższych warunków równoważnych.

Demonstracja równoważności : Załóżmy, że (a) spełnione lub filtr Cauchy'ego ograniczone E i ograniczony podzbiór E . Ślad na A w to filtr Cauchy- przyczepności A z A , który jest zamknięty, ograniczony podzbiór E . Tak jest zbieżny, a w konsekwencji zbieżny od ; dlatego (b) jest spełniony. I odwrotnie, załóżmy (b) spełnione lub A zamkniętą część ograniczoną przez A i filtr Cauchy'ego A . Ten filtr jest ograniczonym filtrem E , dlatego jest zbieżny i (a) jest zatem spełniony. ${\ matematyczny {F}}$ $A \ w {\ matematyczny F}$ ${\ matematyczny F} _ {A}$ ${\ matematyczny {F}}$ ${\ matematyczny F} _ {A}$ ${\ matematyczny {F}}$ ${\ mathcal F} _ {A} \ podzbiór {\ mathcal F}$ ${\ matematyczny {F}}$

Uwagi i referencje

Henri Cartan, „ Teoria filtrów ”, CR Acad. Nauka. , tom. 205,1937, s. 595-598 ( czytaj online ).
Henri Cartan, „ Filtry i ultrafiltry ”, CR Acad. Nauka. , tom. 205,1937, s. 777-779 ( czytaj online ).
N. Bourbaki , Elementy matematyki, księga III: Topologia ogólna [ szczegóły wydań ].
(w) Eliakim H. Moore i Herman L. Smith (w) , „ Ogólna teoria granic ” , Amer. J. Matematyka. , tom. 44 N O 21922, s. 101-121 ( czytaj online [PDF] ).
Bourbaki , rozdz. I, § 6, s. 126.
(w) E. Schechter, Handbook of Analysis and Its Foundations , San Diego, Academic Press ,1997, 883 s. ( ISBN 978-0-08-053299-8 , czytaj online ) , s. 160.
(w) John L. Kelley , Topologia ogólna , Springer,1995, s. 83.
(w) Stephen Willard , General Topology , Mineola, NY, Addison-Welsey,1970, 369 pkt. ( ISBN 978-0-486-43479-7 , czytaj online ) , s. 82.
Bourbakiego , rozdz. I, § 6, s. I.36.
Bourbaki , rozdz. I, § 1, s. I.1 lub Teoria zbiorów [ szczegóły wydań ] ( czytaj online ) , „II, § 4”, s. II.23.
Bourbaki , rozdz. I, § 6, s. 40 .
Bourbakiego , rozdz. I, § 6, s. 38 .
To właśnie ta charakterystyka została wybrana jako definicja podstawy filtra w Claude Wagschal , Topologia i analiza funkcjonalna , Hermann, coll. „Metody”,1995( ISBN 978-2-7056-6243-1 ) , s. 76.
(w) MG Murdeshwar , General Topology , New Age International,1990, 2 II wyd. , 357 s. ( ISBN 978-81-224-0246-9 , czytaj online ) , s. 95.
O. Brinon, „ Twierdzenie Tychonowa ” ( Archiwum • Wikiwix • Archive.is • Google • Co robić? )
Bourbaki , s. I.59 i Wagschal 1995 , s. 167-168 przyjmują charakterystykę przez filtry jako definicję zwartości, ale natychmiast wykazują równoważność z własnością Borela-Lebesgue'a. Przedstawione tutaj dowody są zasadniczo takie same.
(w) Helmut H. Schaefer (z) i Manfred P. Wolff , Topologiczne przestrzenie wektorowe , Springer , al. " GTM " ( N O 3)1999, 2 II wyd. ( ISBN 0-387-05380-8 , czytaj online )

Zobacz również

Powiązany artykuł

Idealny (teoria porządku)

Bibliografia

Laurent Schwartz , Analiza, ogólna topologia i analiza funkcjonalna , Hermann , Paryż, 1970 ( ISBN 9782705659004 )
Georges Skandalis , Topologia i analiza 3 rok , Dunod, Collection Sciences Sup, 2004 ( ISBN 9782100488865 )

Linki zewnętrzne