Root średni kwadrat

Korzeń średni kwadrat o MultiSet liczb jest pierwiastkiem kwadratowym z arytmetyczna z kwadratów tych liczb. Na przykład odchylenie standardowe w populacji jest średnią kwadratową odległości od średniej. Średnia kwadratowa jest większa lub równa średniej arytmetycznej. W szeregu wartości szczególnie wysoka wartość w stosunku do innych będzie miała większy wpływ na średnią kwadratową szeregu niż na średnią arytmetyczną. Jego odpowiednikiem dla sygnału stacjonarnego jest wartość skuteczna .

Ocena

Pozwolić skończona rodzina liczb. Następnie odnotowuje się średnią kwadratową $x$ (podobnie jak ogólnie średnie ), $Q$ $($ $x$ $)$ lub ponownie (notacja powszechnie stosowana w fizyce, gdzie ⟨⟩ oznacza średnią arytmetyczną). Często znajdujemy również RMS , skrót angielskiego pierwiastka kwadratowego , dosłownie „pierwiastek [z] średniej kwadratu”. ${\ Displaystyle x = (x_ {i}) _ {i \ w E}}$ ${\ displaystyle {\ overline {x}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ langle x ^ {2} \ rangle}}}$

Definicja

Niech będzie skończoną rodziną n liczb. Średnia kwadratowa $x$ jest wtedy równa: ${\ Displaystyle x = (x_ {i}) _ {1 \ równoważnik i \ równoważnik n}}$ ${\ displaystyle {\ overline {x}} = {\ sqrt {{\ frac {1} {n}} \ sum _ {ja \ in E} {x_ {i}} ^ {2}}}}$

Możemy również obliczyć średnią kwadratową ważoną według wzoru: ${\ displaystyle {\ overline {x}} = {\ sqrt {{\ Frac {1} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i}}} \ sum _ {i} ^ { n} \ lambda _ {i} {x_ {i}} ^ {2}}}}$

W analizy funkcjonalnej w teorii pomiaru The zbieżność korzeń średnią kwadratową jest zdefiniowana jako zbieżności z sekwencji w rozumieniu normy z $L 2$ .

Używa

Odchylenie standardowe w populacji oznacza średni pierwiastek kwadratowy z odległości od średniej.

Średnia kwadratowa ma być używana, gdy dąży się do uśrednienia wielkości, która wpływa na kwadrat w zjawisku. Tak jest na przykład w przypadku prędkości cząstek w ośrodku. Każda cząstka $p i$ porusza się z prędkością $v ı$ i wytwarza energię kinetyczną równą $1 / 2 mV i 2$ . Medium uwalnia energię kinetyczną ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} m \ sum _ {i = 1} ^ {n} v_ {i} ^ {2}.}$ Możemy spróbować oszacować prędkość $v,$ która przyłożona do tej samej liczby cząstek dałaby taką samą energię kinetyczną. Ta prędkość jest średnią kwadratową wszystkich prędkości.

W dziedzinie prądu stałego ten sam problem występuje przy obliczaniu efektywnej wartości prądu elektrycznego.

Przeciętna ciągłość procesu przestrzennego

Określenie - drugiego rzędu proces $X$ na zbiorze przestrzennego $S \subset ℝ d$ jest ciągła w średni kwadratowy , jeżeli dla każdej zbieżnej sekwencji $S$ $s N \to s$ , $E ( x ( y n ) - X ( y )), 2 \to 0$ .

Charakterystyka - wyśrodkowany proces $L 2$ jest ciągły w pierwiastku kwadratowym wszędzie tam, gdzie jego kowariancja jest ciągła na przekątnej zbioru przestrzennego.

Ciągłość na przekątnej oznacza, że $C ( s , s )$ jest ciągłe dla wszystkich $sw$ zbiorze przestrzennym, gdzie $C$ jest kowariancją.

Twierdzenie - Jeśli wewnętrzna Gaussa proces z wariogramów $y$ spełnia $y ($ $h$ $) \leq | log∥$ $godz$ $∥ |$ $- (1 + ε)$ w sąsiedztwie początku, to prawie na pewno jest ciągły .

Dotyczy to wszystkich standardowych modeli wariogramów, z wyjątkiem modelu efektu samorodka.

Twierdzenie - nieodłączny proces jest korzeń średnią kwadratową ciągły, jeżeli jego wariogramów jest ciągła w punkcie początkowym.

Drugiego rzędu stacjonarny sposób root średnią kwadratową ciągły, jeżeli jego kowariancji w sposób ciągły na początku układu współrzędnych.

Różniczkowalność średniokwadratowa procesu jednowymiarowego

Określenie - przestrzenny proces $X$ w jednowymiarowych przestrzennego $S \subset ℝ$ jest różniczkowalną w średniej kwadratowej w $s$ jeśli istnieje $X y$ w taki sposób, ${\ Displaystyle \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {X \ lewo (s + h \ prawo) -X \ lewo (s \ prawo)} {h}} = X_ {s} {\ tekst {w }} \ mathbf {L} ^ {2}}$ .

Obiekt - Jeżeli kowariancji $C$ procesu $X$ z $L 2$ jest wyśrodkowane, jest taka, że drugi przekrój pochodną $D ( s , t ) = \partial 2 / \partial s \partial t C ( s , t )$ istnieje i jest ograniczony do wszystkich $s = t$ , to $X$ jest różniczkowalną średnią kwadratową wszędzie, $D$ istnieje wszędzie, a kowariancja wyprowadzonego procesu to $Cov ( Ẋ ( s ), Ẋ ( t )) = D ( s , t )$ .

Pochodna - pole $X$ powyżej $ℝ$ jest średnią kwadratową różniczkowalną, jeśli istnieje druga pochodna $γ ″ (0)$ wariogramu. W tym przypadku $γ ″$ istnieje wszędzie, a $X$ jest stacjonarny z kowariancją $γ ″$ ; $X ( s )$ i $Ẋ ( s )$ są nieskorelowane dla wszystkich $s$ i niezależne, jeśli $X$ jest Gaussa .

Bibliografia

Średnia kwadratowa na obrazach matematyki - Cnrs
Średnia kwadratowa w serwisie Educatim.fr

Powiązany artykuł

Odchylenie standardowe