Pierwiastek kwadratowy

Funkcja pierwiastka kwadratowego Krzywa reprezentująca funkcję pierwiastka kwadratowego.

Ocena	${\ styl wyświetlania {\ sqrt {x}}}$
Odwrotność	$x ^ 2$
Pochodna	${\ displaystyle {1 \ ponad 2 {\ sqrt {x}}}}$
Prymitywy	${\ displaystyle {2 \ ponad 3} x ^ {3 \ ponad 2} + C}$

Główna charakterystyka

Zestaw definicji	${\ styl wyświetlania \ lewy [0, + \ infty \ prawy [}$
Zestaw ilustracji	${\ styl wyświetlania \ lewy [0, + \ infty \ prawy [}$

Wartości specjalne

Zerowa wartość	0
Limit w + ∞	$+ \ infty$
Minimum	0

Cechy szczególne

Zera	0
Punkty stałe	0 i 1

W matematyki elementarnej , pierwiastek kwadratowy z liczby rzeczywistej dodatniej $x$ jest wyjątkowy pozytywny prawdziwy która pomnożona przez siebie daje $X$ , to jest liczbą dodatnią, której kwadrat jest równy do $x$ . Oznaczamy to $\sqrt x$ lub $x 1/2$ . W tym wyrażeniu $x$ nazywamy radicand i znak nazywany jest radykalny . Funkcja , która kojarzy jej pierwiastek kwadratowy z każdej pozytywnej prawdziwe nazywamy funkcja pierwiastek kwadratowy . ${\ displaystyle {\ sqrt {\ quad}}}$

W Algebra i analizy , w pierścieniu lub pola $A$ , którą nazywamy pierwiastek kwadratowy z , dowolny element $A$ , której kwadrat jest równa . Na przykład, w dziedzinie kompleksów ℂ, to mówimy o $I$ (lub o $- I$ ), który jest pierwiastek kwadratowy $- 1$ . W zależności od charakteru pierścienia i wartości $a$ , możemy znaleźć 0, 1, 2 lub więcej niż 2 pierwiastki kwadratowe $a$ .

Znalezienie pierwiastka kwadratowego z liczby lub wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego daje początek wielu algorytmom. Natura pierwiastka kwadratowego z liczby naturalnej, która nie jest kwadratem liczby całkowitej, jest źródłem pierwszej świadomości istnienia liczb niewymiernych . Poszukiwanie pierwiastków kwadratowych dla liczb ujemnych doprowadziło do wynalezienia liczb zespolonych .

Historia

Najstarszy znany pierwiastek kwadratowy pojawia się około 1700 r . p.n.e. AD na tablecie YBC 7289 . Jest to reprezentacja kwadratu z po jednej stronie liczbą 30 i po przekątnej przybliżoną wartością √ 2 .

Geometryczna konstrukcja pierwiastka kwadratowego

Poniższa konstrukcja geometryczna jest wykonywana za pomocą linijki i cyrkla i pozwala, biorąc pod uwagę odcinek OB o długości $a$ i odcinek o długości 1, skonstruować odcinek o długości $\sqrt a$ :

Skonstruowanie segmentu [AB] o długości $1 +$ i zawierającej punkt O z AO = 1
Skonstruuj okrąg $c$ o średnicy [AB].
Skonstruuj linię $d$ prostopadłą do (OB) i przechodzącą przez O.
Nazwa H punktu przecięcia okręgu $C$ i linii $d$ .

Odcinek [OH] ma długość $\sqrt a$ .

Dowód polega na zauważeniu, że trójkąty OAH i OHB są podobne , skąd wnioskujemy, że $OH 2 = AO \times OB = a$ , a zatem $OH = \sqrt a$ .

Ta konstrukcja ma swoje znaczenie w badaniu liczb konstruowalnych .

Rzeczywista funkcja

Mapa jest bijekcją z ℝ + na ℝ + , której odwrotność jest zaznaczona . Ta funkcja jest nazywana funkcją pierwiastka kwadratowego . Geometrycznie możemy powiedzieć, że pierwiastek kwadratowy powierzchni kwadratu w płaszczyźnie euklidesowej jest długością jednego z jego boków. $x \ mapdo x ^ {2}$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ sqrt {x}}}$

Uwaga: powierzchnia jest wyrażona w systemie uniwersalnym w metrach kwadratowych, a długości w metrach. Wyciągając pierwiastek kwadratowy z ilości wyrażonej w metrach kwadratowych, otrzymujemy ilość wyrażoną w metrach. Fizycy przywiązują szczególną wagę do analizy jednostek; ten aspekt jest wymazany w matematyce. Liczby rzeczywiste są niemianowanymi stałymi, a pierwiastek kwadratowy dodatniej liczby rzeczywistej jest dodatnią liczbą rzeczywistą.

Funkcja pierwiastka kwadratowego weryfikuje następujące podstawowe właściwości ważne dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych x i y :

{\ displaystyle {\ sqrt {x}} = x ^ {\ frac {1} {2}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {x \ razy y}} = {\ sqrt {x}} \ razy {\ sqrt {y}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {x} {y}}} = {\ frac {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}}}}

(pod warunkiem

y > 0

)

{\ styl wyświetlania {\ sqrt {x ^ {2}}} = | x |}

Jest ściśle rosnąca , jako odwrotność rosnącej bijekcji na ℝ + .
jest $1 / 2$ -Höldérienne zatem jednolicie ciągłe .
Jest różniczkowalna w dowolnym ściśle dodatnim rzeczywistym $x$ , ale nie jest różniczkowalna w $x = 0$ . W tym punkcie, charakterystycznej krzywej przyznaje się pionową półtrwania stycznej . Jego funkcja pochodna dana jest wzorem: ${\ frac {{\ mathrm d}} {{\ mathrm d} x}} {\ sqrt {x}} = {1 \ ponad 2 {\ sqrt {x}}}$ .
Jest klasy $C \infty$ na ℝ + *: ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} {\ sqrt {x}} = {(-1)} ^ {n + 1} {(2n)! \ przez n! 2 ^ {2n} (2n-1)} {\ frac {1} {x ^ {n-1/2}}}.}$
Jego rozwinięcie w szeregu Taylora w punkcie 1 jest zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej $h$ takiej, że | $h$ | ≤ 1: ${\ sqrt {1-h}} = 1- \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} a_ {n} h ^ {n} {\ text {z}} a_ {n} = {( 2n)! \ ponad (n!) ^ {2} 2 ^ {{2n}} (2n-1)}> 0,$ z normalną zbieżnością na [–1, 1] (patrz § „Rozwój w szeregach całkowitych” artykułu „Pierwiastek liczby” ). Współczynniki są wyrażone jako iloraz liczb katalońskich przez potęgi 2 : $a_ {n} = {\ frac {C _ {{n-1}}} {2 ^ {{2n-1}}}}.$ Pierwsze wartości to $a_ {1} = {\ frac 12}, a_ {2} = {\ frac 18}, a_ {3} = {\ frac 1 {16}}, a_ {4} = {\ frac 5 {128}}.$

Ekstrakcja pierwiastka kwadratowego

Obliczenie pierwiastka kwadratowego z liczby dodatniej nie zawsze jest łatwe, szczególnie w przypadku dużych liczb. W związku z tym w historii opracowano kilka algorytmów w celu uzyskania tej liczby. Wśród metod ekstrakcji pierwiastka kwadratowego możemy wymienić w szczególności metodę Heron , która jest metodą historyczną, którą ze współczesnego punktu widzenia można postrzegać jako szczególny przypadek metody Newtona . Inne metody opierają się na ciągach sąsiednich , na ułamkach ciągłych lub na zasadzie dychotomii.

Specjalne pierwiastki kwadratowe

Złoty numer

Jeśli p jest ściśle dodatnią liczbą rzeczywistą ,

{\ displaystyle {\ sqrt {p + {\ sqrt {p + {\ sqrt {p + {\ sqrt {p + \ cdots}}}}}}} = {\ frac {1 + {\ sqrt {4p + 1}}} {2}}}

Dla p = 1 otrzymujemy złoty stosunek :

\ varphi = {\ sqrt {1 + {\ sqrt {1 + {\ sqrt {1 + {\ sqrt {1+ \ cdots}}}}}}}}

Liczby całkowite większe niż 1 jako pierwiastki kwadratowe

Ramanujan odkrył następujące formuły:

{\ displaystyle {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {1 + 3 {\ sqrt {1+ \ kropki}}}}}} = 3}

i .

{\ displaystyle {\ sqrt {6 + 2 {\ sqrt {7 + 3 {\ sqrt {8+ \ kropki}}}}}} = 4}

Wzory te są uogólnione, co daje w szczególności dla każdego rzeczywistego : $n \ geq 0$

{\ displaystyle n + 2 = {\ sqrt {1+ (n + 1) {\ sqrt {1+ (n + 2) {\ sqrt {1+ (n + 3) {\ sqrt {\ kropki}}}} }}}}}

i .

{\ displaystyle n + 3 = {\ sqrt {n + 5 + (n + 1) {\ sqrt {n + 6 + (n + 2) {\ sqrt {n + 7 + \ kropki}}}}}}}

Liczba Pi

Liczba π jest wyrażona jako nieskończona iteracja pierwiastków kwadratowych:

\ pi = \ lim _ {{k \ to \ infty}} \ lewo (2 ^ {{k}} \ cdot {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + \ cdots {\ sqrt {2 + {\ sqrt 2}}}}}}}}}} \ po prawej)

, gdzie k jest liczbą zagnieżdżonych pierwiastków kwadratowych

Lub :

\ pi = \ lim _ {{k \ to \ infty}} \ lewo (3 \ cdot 2 ^ {{k-1}} \ cdot {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2+ {\ sqrt {2+ \ cdots {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt 3}}}}}}}}}}}} \ po prawej)

(wzory, które są wykazywane przez bezpośrednie obliczenia trygonometryczne: na przykład prawy wyraz pierwszego ma wartość ). $2 ^ {k} \ grzech (\ pi/2 ^ {k})$

Ogólna koncepcja algebraiczna

Algebraiczna definicja pierwiastka kwadratowego

Niech $x$ i $a będą$ dwoma elementami pierścienia $A$ , takimi że $x 2 = a$ . Element $x$ jest więc pierwiastek kwadratowy . Oznaczenie $\sqrt$ jest jednak często odradzane, ponieważ może być kilka takich elementów $x$ .

Ogólnie (jeśli pierścień nie jest integralny lub nie jest przemienny), element może mieć więcej niż dwa pierwiastki kwadratowe. Na przykład, w pierścieniu ℤ / 9ℤ , kwadratowe korzenie 0 to 0 , 3 i - 3 , a w lewym obszarze z quaternions , co ściśle ujemny real nieskończoność pierwiastki.

W przypadku liczb rzeczywistych, autor mówiąc o pierwiastek kwadratowy z 2, dotyczy jednego z dwóch elementów √ 2 lub - √ 2 . Z drugiej strony, wyrażenie pierwiastek kwadratowy z dwóch zawsze wywołuje pozytywne rozwiązanie. Jako wyrażenie √ 2 jest zawsze dodatnia i określenie funkcji korzenia określono na dodatnich liczb rzeczywistych zawsze oznacza wartość dodatnią, unikamy tego zamieszania w nieco elementarnych nauki matematyki poprzez korzystanie jedynie z wyrażeniem: ten pierwiastek, a potem zawsze pozytywne.

Pierwiastki kwadratowe liczb zespolonych

Pierwiastek kwadratowy z ℝ jest zdefiniowany tylko dla liczb dodatnich. W efektywnym rozwiązywaniu równań wielomianowych wprowadzenie formalnego pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej w obliczeniach pośrednich daje dokładne wyniki. Tak wprowadzono ciało liczb zespolonych

Dla każdej niezerowej liczby złożonych $Z = A + i b$ (z i $b$ rzeczywistym), istnieją dokładnie dwa liczby zespolone $W$ taki sposób, że $w$ $2$ $=$ $Z$ . Są sobie przeciwstawne.

Jeśli $b$ nie jest zerem, są one dane wzorem: ${\ displaystyle w = \ pm \ left ({\ sqrt {\ frac {{\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} + a} {2}}} + \ mathrm {i} \ \ operatorname {znak} (b) {\ sqrt {\ frac {{\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} - a} {2}}} \ prawy)}$ ,
z . ${\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {znak} (b) = {\ frac {b} {| b |}}}$
Jeśli $b$ wynosi zero, a $a$ jest ujemne, ten wzór upraszcza się do: ${\ displaystyle w = \ pm \ mathrm {i} {\ sqrt {| a |}}}$ .
Z drugiej strony, jeśli $z$ nie jest ujemną rzeczywistością ( tj. Jeśli $b$ jest niezerowe lub jeśli $a$ jest dodatnie), ${\ displaystyle w = \ pm {\ frac {z + | z |} {\ sqrt {2 (a + | z |)}}}}$ .

Metoda obliczania pierwiastków kwadratowych

w

liczby zespolonej

z = a + i b

Aby znaleźć $w = x + i y$ takie, że $w 2 = a + i b$ , ustawiamy następujący system:

{\ początek {przypadki} w ^ {2} = z \\ | w | ^ {2} = | z | \ koniec {przypadki}}

{\ displaystyle {\ zacząć {przypadki} (x + \ mathrm {i} y) ^ {2} = a + \ mathrm {i} b \\ x ^ {2} + y ^ {2} = {\ sqrt { a ^ {2} + b ^ {2}}} \ koniec {przypadki}}}

{\ displaystyle {\ begin {przypadki} x ^ {2} -y ^ {2} + \ mathrm {i} 2xy = a + \ mathrm {i} b \\ x ^ {2} + y ^ {2} = { \ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ end {przypadki}}}

Identyfikując część rzeczywistą i urojoną otrzymujemy:

{\ displaystyle {\ begin {przypadki} x ^ {2} -y ^ {2} = a \\ 2xy = b \\ x ^ {2} + y ^ {2} = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}. \ end {przypadki}}}

Następnie dedukujemy $x 2$ i $y 2$ dodając i odejmując pierwsze i trzecie równanie. Znak iloczynu $xy$ jest znakiem $b$ , stąd pierwsze wyrażenie dwóch par rozwiązań dla $x$ i $y$ .

Ale mniej tradycyjnym sposobem rozwiązania tego układu jest wykonanie najpierw sumy (pierwszego i trzeciego równania):

{\ displaystyle 2x = \ pm {\ sqrt {2 (a + | z |)}}}

co, jeśli z nie jest liczbą rzeczywistą ujemną, prowadzi do ostatniej formuły.

Przykład:

Dwa pierwiastki kwadratowe z $i$ to

1 + ja / \sqrt 2

= ≈

0,707 + 0,707 i

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ frac {\ mathrm {i} \ pi} {4}} = \ cos {\ frac {\ pi} {4}} + \ mathrm {i} \ grzech {\ frac {\ pi} {4}}}

i jego przeciwieństwo.

Ze względów topologicznych niemożliwe jest rozszerzenie funkcji pierwiastka kwadratowego z ℝ + na ℝ + , na funkcję ciągłą weryfikującą $f$ $($ $z$ $)$ $2$ $=$ $z$ . ${\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}}$

Nazywamy determinację pierwiastka kwadratowego na otwartym U z ℂ dowolny funkcją ciągłą spełniającej . ${\ displaystyle f: U \ rightarrow \ mathbb {C}}$ $f (z) ^ {2} = z$

Głównym wyznaczeniem pierwiastka kwadratowego jest funkcja ℂ in ℂ tak zdefiniowana: jeśli z jest zapisane w postaci trygonometrycznej $z = r e i φ$ gdzie $-π < φ \leq π$ , to ustawiamy $f ( z ) = \sqrt r e i φ / 2$ . Ta zasadnicza determinacja nie jest ciągła w żadnym punkcie półlinii ściśle ujemnych liczb rzeczywistych i jest holomorficzna w swoim dopełnieniu.

Gdy liczba jest w postaci algebraicznej $z = a + i b$ , ta definicja przekłada się na:

{\ displaystyle f (a + ib) = {\ sqrt {\ frac {\ lewy | a + \ mathrm {i} b \ prawy | + a} {2}}} \ pm \ mathrm {i} {\ sqrt { \ frac {\ lewy | a + \ mathrm {i} b \ prawy | -a} {2}}}}

gdzie jest znak wyimaginowanej części korzenia

jeśli $b \neq 0$ : znak $b$
jeśli $b = 0$ i $a <0$ : znak +
jeśli $b = 0$ i $a \geq 0$ : brak znaku (liczba wynosi zero).

Zauważmy, że ze względu na nieciągły charakter podstawowego określenia pierwiastka kwadratowego na płaszczyźnie zespolonej, relacja ta na ogół staje się fałszywa . ${\ displaystyle {\ sqrt {zz '}} = {\ sqrt {z}} {\ sqrt {z'}}}$

Pierwiastki kwadratowe macierzy i operatorów

Jeśli A jest dodatnią macierzą samosprzężoną lub dodatnim skończonym operatorem samosprzężonym , to istnieje dokładnie dodatnia macierz samosprzężona lub dodatni operator samosprzężony B taki, że B 2 = A . Powstaje wtedy: $\sqrt A$ = B .

Mówiąc bardziej ogólnie, dla każdej macierzy normalnej lub normalnego operatora w skończonym wymiarze A istnieją normalne operatory B takie, że B 2 = A . Ta właściwość jest uogólniana na dowolny normalny operator ograniczony w przestrzeni Hilberta .

Ogólnie istnieje kilka takich operatorów B dla każdego A, a funkcja pierwiastka kwadratowego nie może być zdefiniowana dla normalnych operatorów w zadowalający sposób (na przykład ciągły). Operatory dodatnie odnoszą się do dodatnich liczb rzeczywistych, a operatory normalne do liczb zespolonych. Artykuły dotyczące teorii operatora rozwijają te aspekty.

Uwagi i referencje

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Pierwiastek kwadratowy ” ( zobacz listę autorów ) .

Mistral Collection, Matematyka 3 th , 1985, s. 20
Aby zapoznać się z podstawowym dowodem, zobacz na przykład „Funkcja pierwiastka kwadratowego” na Wikiversity .
Aby zobaczyć demonstrację, zobacz na przykład rozdział „Zwykłe pochodne” lekcji „Funkcja pochodna” na Wikiversity .
W rozwiązaniu równania trzeciego stopnia , metoda Cardana jest stosowana oficjalnie i daje wymierne rezultaty, jeśli ktoś przyjmuje wprowadzenie w niektórych przypadkach „urojone” pierwiastki kwadratowe z liczb rzeczywistych ujemnych. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz historię liczb zespolonych , a także opis wyników Bombelli .
Pakiet A010503 firmy OEIS .
W artykule „ Powierzchnia Riemanna ” znajdziemy jednak sposób na pokonanie tej trudności.

Zobacz również

Powiązane artykuły

Link zewnętrzny

(pl) Ciągi dotyczące pierwiastka kwadratowego w internetowej encyklopedii ciągów liczb całkowitych (m.in. rozwinięcia dziesiętne pierwiastków kwadratowych liczb całkowitych od 2 do 99)

Bibliografia

(en) David Eugene Smith , Historia matematyki , tom. 2
(w) George Gheverghese Józefa, grzbietu Peacock: Non-europejskich korzeni matematyki , 2 th red. Penguin Books , London, 2000 ( ISBN 0-691-00659-8 ) 3 e wyd. rozszerzona : Princeton University Press , 2010 ( ISBN 978-0-691-13526-7 )
(pl) PAJ Lewis, Essential Mathematics , Ratna-Sagar,2008, 440 pkt. ( ISBN 978-81-8332-367-3 , czytaj online ) , rozdz. 3 („Liczby niewymierne”) (ten rozdział, pomimo tytułu, dotyczy pierwiastków kwadratowych)
(pl) AV Vijaya, Rozwijanie matematyki , Dorling Kindersley ,2007( ISBN 978-81-317-0359-5 , czytaj online ) , s. 15