Kwadrat (algebra)

W arytmetycznych i Algebra The kwadrat jest praca z pomnożenia element sama. Pojęcie to odnosi się przede wszystkim do liczb , aw szczególności do liczb naturalnych , dla których kwadrat jest reprezentowany przez układ kwadratów w geometrycznym sensie tego terminu. Liczba, którą można zapisać jako kwadrat liczby całkowitej, nazywana jest kwadratem idealnym . Ale ogólnie, mówimy o kwadratowy funkcji , z matrycy , lub dowolnego typu matematycznego obiektu, dla którego nie jest operacja oznaczona rozmnażania , takiego jak kompozycja z endomorfizm lub produktu kartezjańskiej .

Ta operacja pojawia się w niezwykłych tożsamościach , umożliwia zdefiniowanie funkcji kwadratowej i równań kwadratowych , a także ingeruje w fundamentalny sposób w twierdzenie Pitagorasa i wiele innych wyników ze wszystkich dziedzin matematyki. W algebrze geometrycznej określa miarę pola kwadratu jako funkcję długości jego boku.

W informatyce obliczenie kwadratu umożliwia uproszczenie obliczeń innych potęg poprzez szybkie potęgowanie .

W fizyce kwadrat pojawia się w wielu formułach, takich jak kinetyka swobodnego spadku lub relacja Einsteina E = mc² .

Obsługa cyfrowa

Notacja i pierwsze przykłady

Kwadrat jest zdefiniowany dla dowolnej liczby $n$ w wyniku pomnożenia tej liczby przez samą siebie i oznaczamy ją liczbą 2 przez wykładnik : $n 2 = n \times n$ .

Kwadraty pierwszych naturalnych liczb całkowitych , zwane idealnymi kwadratami lub liczbami kwadratowymi , pojawiają się na głównej przekątnej tablicy mnożenia .

Pierwsze idealne kwadraty na głównej przekątnej tabliczki mnożenia

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

Kwadrat liczby ma taką samą wartość, jak kwadrat jej przeciwieństwa zgodnie z regułą znaków . Ale konwencje kolejności pierwszeństwa operacji oznaczają, że znak minus (-) (związany na przykład z zapisem względnej liczby całkowitej ) nie będzie brany pod uwagę w kwadracie bez nawiasów . Podobnie każde wyrażenie złożone z co najmniej jednego operatora (suma, iloczyn, ułamek…) musi zostać otoczone ogranicznikami (nawiasami kwadratowymi lub nawiasami kwadratowymi) przed zapisaniem do kwadratu.

Zasady obliczania

W przypadku sumy lub różnicy dwóch liczb kwadrat można obliczyć, stosując pierwsze niezwykłe tożsamości :

(a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}

{\ Displaystyle (ab) ^ {2} = a ^ {2} -2ab + b ^ {2}}

Trzecia niezwykła tożsamość pozwala na faktoryzację różnicy dwóch kwadratów:

{\ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) \ razy (ab)}

Kwadrat ułamka uzyskuje się, obliczając iloraz kwadratu licznika do kwadratu mianownika. Ta właściwość jest czasami błędnie przenoszona przy obliczaniu kwadratu liczb dziesiętnych .

Tożsamość Brahmagupta pozwala na ekspresję produktu dwóch sum dwóch kwadratów w postaci sumy dwóch kwadratów: odpowiednie numery , $b$ , $c$ , $d$ ,

(a 2 + b 2 ) (c 2 + d 2 ) = (a c - b d) 2 + (a d + b c) 2

Nierówność

Dowolna liczba naturalna $n$ jest mniejsza od jej kwadratu: $n \leq n 2$ , ze ścisłą nierównością, gdy tylko $n \geq 2$ .

Nierówność ta jest nadal ważna dla wszystkich liczb rzeczywistych większa niż 1, jak również dla wszystkich negatywów, ale to jest fałszywe dla liczb rzeczywistych między 0 a 1. To zjawisko jest wizualizowane na krzywej z funkcją kwadratową , która jest wyżej od pierwszy dwusiecznej na $] -\infty, 0] \cup [1 + \infty [$ ale poniżej w przedziale $] 0, 1 [$ .

Podobnie, podniesienie do kwadratu zachowuje nierówności między dodatnimi liczbami rzeczywistymi:

{\ displaystyle \ forall a, b \ geqslant 0, \ quad a \ leq b \ iff a ^ {2} \ leq b ^ {2}}

ale odwraca nierówności między ujemnymi liczbami rzeczywistymi i nie ma prostej zasady kwadratu dla nierówności między dowolnymi rzeczywistymi liczbami rzeczywistymi. Właściwości te odpowiadają temu, że funkcja kwadratowa rośnie na $R +$ i maleje na $R -$ .

Równanie

Równanie formy $x 2 =$ , nieznanego $X$ ma prawdziwe rozwiązanie tylko wtedy, gdy parametr dodatni.

Jeśli $a = 0$ , jedynym rozwiązaniem jest $x = 0$ .

Jeśli $a > 0$ , istnieją dwa przeciwstawne rozwiązania rzeczywiste określone za pomocą pierwiastka kwadratowego : lub . ${\ displaystyle x = {\ sqrt {a}}}$ ${\ displaystyle x = - {\ sqrt {a}}}$

Te rozwiązania są liczbami całkowitymi tylko wtedy, gdy $a$ jest idealnym kwadratem i są wymierne tylko wtedy, gdy $a$ jest ilorazem doskonałych kwadratów. W szczególności, ten implikuje irracjonalności na pierwiastek kwadratowy z 2 .

Jeśli $jest <0$ , istnieją dwa kompleksowe rozwiązania , które mogą być zapisywane i . Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli $a$ jest liczbą zespoloną zapisaną w postaci biegunowej $a$ $=$ $r.$ $E$ $i$ $θ$ , to równanie $x$ $2$ $=$ $a$ ma dwa przeciwne rozwiązania zespolone i . ${\ Displaystyle \ mathrm {i} {\ sqrt {\ lewo | a \ prawo |}}}$ ${\ Displaystyle - \ mathrm {i} {\ sqrt {\ lewo | a \ prawo |}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {r}}. \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta / 2}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {r}}. \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ theta / 2 + \ pi)}}$

Nierówność

Te nierówności w postaci $x 2 <$ , $x 2 \leq$ , $x 2 \geq$ , $x 2 > nie$ można rozwiązać za pomocą spisu znaków różnicy $x 2 -$ : ${\ displaystyle {\ początek {tablica} {| c | ccccccc |} \ hline x & - \ infty && - {\ sqrt {a}} && {\ sqrt {a}} && + \ infty \\\ hline x ^ {2} -a && + & 0 & - & 0 & + & \\\ hline \ end {tablica}}}$

Arytmetyka

W zbiorze liczb naturalnych

Idealne kwadraty tworzą bardziej nieskończoną liczbę całkowitą (kontynuacja A000290 z OEIS ) o zerowej gęstości, różnice między kolejnymi wyrazami tworzą ciąg liczb całkowitych nieparzystych, których szereg jest określony przez sumy częściowe:

{\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {2} = {\ Frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}}}

Kwadrat jest stosowany w niektórych równań diofantycznych jak odniesieniu $2$ $+$ $b$ $2$ $=$ $C$ $2$ z trójek Pitagorasa .

Te cztery kwadraty twierdzenia wynika, że każda osoba fizyczna całkowitą rozkłada się na sumę czterech doskonałych kwadratów.

Twierdzenie dwóch kwadratów Fermatem daje warunek konieczny i wystarczający dla liczb całkowitych $n$ dzieli się na sumę dwóch idealnych kwadratów, w zależności na czynniki pierwsze z $n$ .

Arytmetyka modularna

W arytmetyce modularnej , jeśli $p$ jest nieparzystą liczbą pierwszą , zbiór niezerowych kwadratów modulo $p$ tworzy podgrupę o wskaźniku 2 w grupie $F p *$ niezerowych reszt modulo $p$ , zwanych resztami kwadratowymi . Ustalenie, czy reszta $R$ jest kwadratem modulo $p$ jest formułowany z symbolem Legendre : . Wyznaczenie reszt kwadratowych modulo dowolnej liczby naturalnej $n$ opiera się na symbolu Jacobiego . ${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {r} {p}} \ prawej) = 1}$

Znalezienie rozwiązania równania $x 2 \equiv 1$ modulo liczba całkowita $n$ jest równoważna faktoryzacji liczby $n$ .

Inne obszary

Zestaw par

Dla danego zbioru $E$ , jego kwadratu $E 2 = E x E$ jest zestaw par pierwiastków $E$ . Jeśli $E$ jest skończone , jego liczność jest zapisana $karta (E 2 ) = (karta (E)) 2$ . W szczególności dla grafu z dużą liczbą wierzchołków $n$ zbiór krawędzi jest opisywany przez część zbioru $n 2$ elementów. Na przykład, jeśli każdy wierzchołek reprezentuje witrynę internetową , ponieważ w 2021 roku jest ich ponad miliard), powiązania między nimi mogą być reprezentowane przez macierz ponad miliarda miliardów elementów.

Zapis $R 2$ wskazuje płaszczyznę euklidesową wyposażoną w ortonormalny układ współrzędnych poprzez asymilację punktów z ich parami współrzędnych kartezjańskich w geometrii analitycznej .

Algebra liniowa

W przypadku endomorfizmu $u$ w przestrzeni wektorowej $E$ kwadrat generalnie reprezentuje jego iterację , tj. Związek $u 2 = u \circ u$ endomorfizmu z samym sobą. Jeśli endomorfizm jest reprezentowany przez kwadratową macierz $M$ , jego kwadrat $u 2$ jest reprezentowany przez $M 2$ .

Projektor jest $p$ idempotent endomorfizm , to znaczy spełniającą zależność $P 2 = s$ . Symetrii wektora jest involutive endomorfizm $y$ , to znaczy spełnia relację $s$ $2$ $= Id$ .

Rozwiązanie równania o postaci $u 2 = v$ w zbiorze macierzy kwadratowych może być ułatwione, jeśli endomorfizm $v$ jest diagonalizowalny . W tym przypadku, Eigen przestrzenie w $V$ są stabilne przez $U$ i jeśli wartości własne są kwadratów, z których każdy jest określony przez rozwiązanie rodziny symetrii tych wektorów w podprzestrzeni.

Prawdopodobieństwo i statystyka

Oczekiwanie kwadratu o rzeczywistym zmiennej losowej $X$ jest jego druga chwila $m 2 = E (x 2 )$ . Jej wariancja jest równa według wzoru Koeniga-Huygensa różnicy między oczekiwaniem kwadratu a kwadratem oczekiwania: $V (X) = E (X 2 ) - ( E (X)) 2$ , a następnie definiuje kwadrat odchylenia standardowego .

Postać

W Unicode , znak U + 00B2 ² wykładnik dwa ( HTML : ² ²) .

Uwagi i odniesienia

1,197,982,359 witryn według ankiety dotyczącej serwerów internetowych z 12 lutego 2021 r.

Główne źródło tego artykułu: klasa matematyczna na poziomie 3 e / 2 of

Zobacz też

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100