W matematyce , o ułamek jest sposobem napisać numer racjonalnego jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Frakcjawboznaczają iloraz a przez b ( b ≠ 0 ). W tej frakcji nazywa się licznik i b do mianownika .
Przykład:Frakcja 568jest równoważne liczbie 7, ponieważ 7 × 8 = 56 , więc iloraz 56 przez 8 wynosi 7.
Liczba, która może być reprezentowana przez ułamki liczb całkowitych, nazywana jest liczbą wymierną . Zbiór uzasadnień jest oznaczony przez ℚ.
Istnieje bardziej ogólna i bardziej abstrakcyjna definicja ułamków. Jeśli jest integralną domeny , można utworzyć korpus frakcji o A . Jej elementy są odnotowywane (przez analogię do ułamków względnych liczb całkowitych ) i mają takie same właściwości operacyjne (suma, iloczyn, uproszczenie, ...) jak ułamki ℚ.
Frakcja jest niezrealizowane podział między dwa stosunku liczb n i d ≠ 0. Jest to przedstawione następująco:
lub lub .Przykład : 3 ⁄ 7 oznacza, że dzielimy 3 przez 7; wymawiamy ten ułamek „ trzy siódme ”.
Jeśli jemy 3 ⁄ 7 ciasta, licznik 3 wskazuje liczbę porcji, które jemy, a 7 wskazuje całkowitą liczbę porcji, a więc jednostkę braną pod uwagę.
Czasami znajdujemy też notację
n : dlub
n ÷ dokrężnicy lub Obelus zastępując pasek frakcji.
Mówi się, że ułamek jest niewłaściwy, gdy wartość bezwzględna licznika jest większa niż wartość mianownika.
Alternatywne definicjeJeśli pojęcie ułamka jest ważnym etapem rozumienia matematycznego na poziomie elementarnym, ma niewielkie zastosowanie w ogólnej teorii.
Słownik Matematyczny określa frakcję jako „synonimem racjonalnego numer” .
Ta definicja ma kilka wad. Każdy wyraża zgodę na 3 / 4 jest frakcją i 6 / 8 jest inna część, co jednak oznacza to samo liczba wymierna. Równość wymiernego oznaczanego przez ułamek nie zawsze jest oczywista, jak dla 57 ÷ 437 i 3 ÷ 23 . Definicja ogranicza również przypadek, w którym licznik i mianownik są liczbami całkowitymi. Ale ta sama notacja jest powszechnie używana z liczbami rzeczywistymi, takimi jak π ⁄ 2 lub √3 ⁄ 2 ; wyrażenia te podlegają tym samym regułom łączenia i uproszczenia, co ułamki.
We Francji władze edukacyjne określić frakcję w następujący sposób: „jeśli i b oznaczają dwie liczby całkowite ( ∈ , b ∈ ), frakcja / b jest pisanie bytu matematycznego zwanego racjonalne , ale n 'nie jest matematycznym istota; pisanie jest zwany „licznik”, pismo b „mianownik”; kreska, pozioma lub ukośna, nazywana jest „linią ułamkową” i jest odpowiednikiem znaku podziału „
Definicja ta rodzi również pewne trudności pedagogiczne. Gdyby ułamek był prostym zapisem, nie moglibyśmy uczynić go jednym z warunków operacji na liczbach. Jednak musimy zrozumieć wyrażenie 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 4 = 3 ⁄ 4 .
Stella Baruk proponuje zmniejszyć te trudności, starając się mówić o równoważnych ułamkach, gdy oznaczają tę samą liczbę wymierną, oraz o zapisie ułamkowym, gdy licznik lub mianownik nie jest liczbą całkowitą, a zatem nie istnieje. .Aby zrozumieć i ustalić zasady postępowania z ułamkami, istnieją dwie różne metody. Pierwszym z nich jest wykorzystanie geometrii . Ułamek reprezentuje część obszaru figury geometrycznej lub długość jednego boku wielokąta , często trójkąta . Wykazanie praw rządzących ułamkami jest równoznaczne z wykonaniem geometrii i pomiarem powierzchni lub długości. To podejście zostało opisane w artykule Algebra geometryczna .
Inne podejście ma charakter czysto algebraiczny . Te liczby wymierne są skonstruowane w sposób abstrakcyjny z klas równoważności z liczb całkowitych . Dodawanie i mnożenie z liczb całkowitych jest zgodne z klasą równoważności, która wyposaża wszystkie ułamki w naturalne dodawanie i mnożenie. Taka konstrukcja umożliwia ustalenie praw rządzących zachowaniem się ułamków.
Wybrane tutaj podejście odpowiada pierwszemu opisanemu i jest czysto geometryczne. Zastosowane metody dotyczą ułamków liczb całkowitych. Geometria oferuje inną metodę, pozwalającą na uogólnienie wyników na przypadek ułamków dwóch dodatnich liczb rzeczywistych. Zostało to opisane w artykule Algebra geometryczna .
Celem jest tutaj wizualizacja ułamka n / d .
Ułamek może być reprezentowany przez rysunek. Często kształt geometryczny podzielony na kilka części.
Ułamki, których n < dMianownik d wskazuje liczbę równych części do narysowania w kształcie geometrycznym, a licznik n wskazuje liczbę użytych równych części.
Na przykład wybierzmy prostokąt jako kształt geometryczny i ułamek 3 ⁄ 4 . Mianownik to 4, więc prostokąt zostanie podzielony na 4 równe części.
Licznik to 3, więc zostaną użyte tylko 3 równe części.
Ten ułamek będzie równoważny ilorazowi n / d , (który będzie reprezentował liczbę jednostek), po którym nastąpi ułamek złożony z pozostałej części dzielenia dla licznika i d dla mianownika.
Na przykład dla ułamka 7/3 cały podział daje 2, pozostaje 1. Iloraz wynosi 2, więc 2 jednostki, reszta 1, więc 2 1/3. Niemożliwe jest przedstawienie tego rodzaju ułamka za pomocą jednego wykresu, dlatego użyjemy kilku podobnych kształtów geometrycznych:
Aby wziąć 2 ⁄ 3 z 750, dzielimy 750 przez 3, a następnie mnożymy wynik przez 2:
750 ÷ 3 = 250; 250 × 2 = 500. Czyli 2 ⁄ 3 z 750 = 500Biorąc do / b C wynosi jak podzielenie C przez B i mnożąc całość przez. Albo prościej, gdy znamy zasad obliczania ułamków, biorąc a / b o c jest jak pomnożenie a / b przez c. Mówiąc ogólniej, widzimy, że „z” zastępuje się mnożeniem. Tak samo jest, gdy obliczamy 75% c, musimy tylko obliczyć 75% pomnożone przez c. Rzeczywiście, 75% to ułamek: 75% = 75 ⁄ 100 = 0,75.
Jeśli pomnożymy lub podzielimy licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę, otrzymamy równoważny ułamek .
Przykład:
(mnożyliśmy 2/3 przez 2/2)
W ogólności, frakcje n / d i n / d " są równoważne, gdy jako N x D '= x d n.
ponieważ (te dwa produkty nazywane są produktami krzyżowymi).Niektóre ułamki można uprościć, tj. n i d można podzielić przez tę samą liczbę, ale tak duże, jak to możliwe. Liczba ta nazywana jest NWD ( największy wspólny dzielnik ) n i d . Po redukcji mówi się, że frakcja jest nieredukowalna .
Aby wykonać niektóre operacje między ułamkami, wszystkie mianowniki ułamków muszą być równe. Aby to zrobić, zastąp każdy ułamek ułamkiem równoważnym, upewniając się, że wszystkie mianowniki są takie same. Ten mianownik będzie najmniejszą możliwą liczbą podzielną przez każdy mianownik. Liczba ta nazywana jest PPCM ( najmniejsza wspólna wielokrotność ) mianowników. Operacja ta nazywana jest redukcją do tego samego mianownika .
Przykład:
Uwaga: Można również użyć zapisu dziesiętnego jak 1/4 i 2/5 = 0,25 = 0,25 <0,4, 0,4, tak 1 / 4 < 2 / 5 .
Każdy ułamek ma skończone lub nieskończone okresowe rozwinięcie dziesiętne, które uzyskuje się przez ustawienie dzielenia n przez d .
1/4 = 0,25 2/3 = 0, 6 66 ... (etap 6) 7/17 = 2, 428571 428571 ... (okres 428571)I odwrotnie, każda liczba, która jest dziesiętna lub ma okresowe rozwinięcie dziesiętne, może być zapisana jako ułamek.
Przypadek liczby dziesiętnejWystarczy przyjąć jako licznik liczbę dziesiętną pozbawioną kropki dziesiętnej i jako mianownik 10 n, gdzie n jest liczbą cyfr po przecinku:
Przypadek nieograniczonej ekspansji dziesiętnejZaczynamy od załatwienia całej części: 3, 45 45 ... = 3 + 0, 45 45 ...
Przypadek prostego okresowego rozwinięcia dziesiętnegoProsta liczba okresowa to liczba dziesiętna, w której okres rozpoczyna się bezpośrednio po przecinku. 0,666 ... lub 0,4545 ... lub 0,108108 ...
W przypadku licznika wystarczy użyć kropki, podczas gdy mianownik będzie składał się z 9, ile cyfr składa się na kropkę.
Na przykład dla 0,4545 ... okres wynosi 45 i składa się z dwóch cyfr, otrzymujemy ułamek 45/99 = 5/11.
Dlatego: 3,4545 ... = 3 + 5/11 = 38/11.
W przeciwnym razie niech x = 0,4545454545 ...
100 x = 45,4545454545 ... = 45 + x zatem 100 x - x = 45,4545454545 ... - 0.4545454545 ... = 45 więc 99 x = 45 więc x = 45/99.
Przypadek mieszanej okresowej ekspansji dziesiętnejMieszana okresowa liczba dziesiętna to liczba dziesiętna, w której okres nie rozpoczyna się bezpośrednio po przecinku, na przykład: 0,8333 ... lub 0,14666 ...
Aby znaleźć licznik ułamka, odejmij wartość mieszaną od wartości mieszanej, po której następuje pierwsza kropka. Jeśli chodzi o mianownik, będzie on składał się z tylu 9, ile jest cyfr składających się na okres, po których nastąpi tyle zer, ile jest cyfr po przecinku składających się na wartość mieszaną.
Przykład: 0.36981981 ...
wartość mieszana: 36
Wartość mieszana, po której następuje pierwszy okres: 36981
Licznik = 36981 - 36 = 36945
W wartości 0,36981981 ... okres 981 składa się z 3 cyfr, więc mianownik będzie składał się z serii trzech cyfr, po których następują dwa zera, ponieważ wartość mieszana 36 składa się z dwóch cyfr. Ostatecznie otrzymujemy 0,36981981 ... = 36945/99900 = 821/2220.
Przykład 2 .
Wystarczy dodać lub odjąć licznik każdego ułamka i zachować wspólny mianownik.
Przykład sumy:
Przykład różnicy:
Przed wykonaniem operacji każdy ułamek musi zostać przekształcony na ułamek równoważny, którego mianownik jest dla nich wspólny.
Przykład:
Mnożenie dwóch ułamków jest łatwe, ale nie jest łatwo zrozumieć, dlaczego to działa w ten sposób. Na przykład,
Oto wyjaśnienie oparte na intuicyjnym zrozumieniu ułamków. Możemy rozumieć cztery piąte jako cztery razy jedną piątą (patrz reprezentacje graficzne powyżej) lub jako . Tak więc pomnożenie przez jest wykonaniem .
Ale pomnożenie przez piątą daje dzielenie przez 5, to znaczy, że pomnożenie mianownika przez 5 (jednostki są 5 razy mniejsze), a mianowicie: .
Dzielenie jest odwrotnością mnożenia. Algorytmicznie, kiedy dzielimy przez ułamek, zastępujemy dzielenie mnożeniem, odwracając ułamek, który następuje. Na przykład :
W przypadku ułamków wymiernych, a ogólniej dla pola ułamków pierścienia przemiennego, pojęcie mianownika i licznika zachowuje to samo znaczenie.
Podczas gdy Francuzi chętnie posługują się liczbami dziesiętnymi, Anglosasi często wolą wyrażać części niecałe przez ułamki – bez wątpienia ze względu na różnice kulturowe (pomyśl na przykład o popularności systemu metrycznego i systemu imperialnego w dwóch kulturach). Na przykład powiedzą, że osoba ma 5 stóp 5 ⁄ 8, a nie 5,625 stopy.
Określenie frakcja pojawił się w języku na końcu XII p wieku, jest pochodną łacińskiego dolnej fractio - „działanie na przerw” - stosuje się w średniowiecznej terminologii matematycznej do „podziału”. Termin ten sam w sobie pochodzi od klasycznego łacińskiego frangere - "przełamać" - które pochodzi od indoeuropejskiego rdzenia ° bhreg, który ma to samo znaczenie i od którego pochodzi gotycki rdzeń brikan, który oznacza break w języku angielskim i brechen w języku niemieckim.
Frakcje kiedyś nazwał numery złamane , utrzymujące się nadal używany w 18 -tego wieku, na przykład w Encyklopedii .