Mediana (geometria)

W najbardziej zdrowym rozsądkiem, a mediana wyznaczają, w trójkącie , o linię łączącą jeden z trzech wierzchołków trójkąta w środku po stronie przeciwnej.

Co więcej, w geometrii płaskiej , środkowe czworoboku są segmentami łączącymi punkty środkowe dwóch przeciwległych boków.

Wreszcie, w geometrii w przestrzeni , mediany czworościanu to linie przechodzące przez jeden wierzchołek czworościanu i przez izobaryśrodek pozostałych trzech.

Geometria trójkąta

W trójkącie ABC mediana z wierzchołka A jest linią ( AI ), gdzie I oznacza środek odcinka [ B , C ]. Termin mediana czasami oznacza odcinek [ A , I ], a nie linię ( AI ).

Każda mediana oddziela trójkąt ABC na dwa trójkąty o równych powierzchniach: pole trójkąta ABI jest równe powierzchni trójkąta ACI .

Demonstracja

Rozważ dwa trójkąty ABI i ACI .

Nazywamy H rzutem ortogonalnym punktu A na prostą ( BC ).

Ponieważ I jest środkiem odcinka [ BC ], mamy BI = CI . W trójkącie środkowa z jednej strony jest linią przechodzącą przez środek tego boku i przez wierzchołek jego kąta.

Pole trójkąta ABI jest równe . Pole trójkąta ACI jest równe . Ponieważ BI = CI , te dwa obszary są równe. bja×WH.2{\ displaystyle {\ frac {BI \ times AH} {2}}}VSja×WH.2{\ displaystyle {\ frac {CI \ times AH} {2}}}

Udowadniamy w ten sam sposób, że mediany uzyskane z B i C weryfikują tę właściwość.

1. Innym podstawowym sposobem wykazania tego jest zauważenie, że te dwa trójkąty są połówkami dwóch równoległoboków strony wspólnej ( AI ) i są przesunięte względem siebie.

Twierdzenie o medianie

W trójkącie ABC , jeśli ja jest midpoint [ BC ] następnie Równość ta jest bezpośrednią konsekwencją definicji I jak isobarycenter z B i C (patrz § „Zmniejszenie” w artykule na temat środka ciężkości ). Wb→+WVS→=2Wja→.{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} + {\ overrightarrow {AC}} = 2 {\ overrightarrow {AI}}.}

Potwierdza to „  twierdzenie o pierwszej medianie  ”

Wb2+WVS2=12bVS2+2Wja2.{\ Displaystyle AB ^ {2} + AC ^ {2} = {1 \ ponad 2} BC ^ {2} + 2AI ^ {2}.}

Zostało ogłoszone przez Apoloniusza z Perge i Talesa .

Isobarycenter

Trzy mediany trójkąta są współbieżne. Ich punktem przecięcia jest izobaryśrodek trzech wierzchołków, często nazywany „środkiem ciężkości trójkąta”. Znajduje się dwie trzecie każdej środkowej od odpowiedniego wierzchołka. To izobarycentrum G spełnia relację wektora:

solW→+solb→+solVS→=0→.{\ displaystyle {\ overrightarrow {GA}} + {\ overrightarrow {GB}} + {\ overrightarrow {GC}} = {\ overrightarrow {0}}.}

Demonstracja

Środek I [ B, C ] jest określony przez równanie wektora:

bja→+VSja→=0→.{\ displaystyle {\ overrightarrow {BI}} + {\ overrightarrow {CI}} = {\ overrightarrow {0}}.}

Izobarycentrum G trzech punktów A , B i C jest określone równaniem wektorowym:

solW→+solb→+solVS→=0→.{\ displaystyle {\ overrightarrow {GA}} + {\ overrightarrow {GB}} + {\ overrightarrow {GC}} = {\ overrightarrow {0}}.}

Z tych dwóch równań wnioskujemy:

solW→+2solja→=0→.{\ displaystyle {\ overrightarrow {GA}} + 2 {\ overrightarrow {GI}} = {\ overrightarrow {0}}.}

Dlatego G , A i I są wyrównane, innymi słowy G należy do mediany ( AI ). Pokazujemy również, że należy do dwóch pozostałych median. Dlatego te trzy mediany są bardzo zbieżne. (Możemy również postrzegać tę własność jako szczególny przypadek twierdzenia Cevy .)

Jest jeszcze jeden dowód, nie wykorzystujący wiedzy o wektorach.

Demonstracja

Rozważamy dowolny trójkąt ABC i punkty I , J i K , odpowiednie punkty środkowe [ AB ], [ AC ] i [ BC ], a G punkt przecięcia median ( CI ) i ( AK ) (pokazujemy za pomocą rozumowanie na podstawie absurdu, że G jest dobrze zdefiniowana, ponieważ trzy mediany przecinają dwa na dwa).

Niech D symetrycznych G względem I . Zatem AGBD jest równoległobokiem, a zatem ( BD ) jest równoległe do ( AG ), to znaczy do ( KG ). Innymi słowy: G należy do równoległości do ( BD ) przechodzącej przez środek [ BC ]. Ponieważ również należy do ( CD ), na podstawie twierdzenia Thalesa wnioskujemy , że G jest środkiem [ CD ]. Z definicji D punkt G znajduje się w [ CI ], dwie trzecie od C .

Podsumowując, punkt przecięcia ( CI ) i ( AK ) jest [ CI ], dwie trzecie od C .

Z tego samego powodu przecięcie ( CI ) i ( BJ ) znajduje się w tym samym punkcie. Dlatego trzy mediany trójkąta są bardzo zbieżne.

1. Możemy tu włączyć dowód konkretnego przypadku, którego używamy, to znaczy odwrotności twierdzenia o punkcie środkowym , które przywraca równość ról między dwiema rozważanymi medianami: niech E będzie symetrią G względem K . Tak jak ( BD ) jest - jak widzieliśmy - równolegle do ( AG ), tak prosta ( BE ) jest równoległa do ( CG ), innymi słowy: czworokąt BDGE ma przeciwległe boki równoległe dwa na dwa. Jest to zatem równoległobok, tak że DG = BE = GC .

Cechy szczególne

Każda środkowa trójkąta, wynikająca z wierzchołka ( na przykład A ), tworzy z dwoma sąsiednimi bokami trójkąta, a równoległość przechodząca przez A na przeciwną stronę tworzy wiązkę harmoniczną

Dwie linie łączące wierzchołek pośrodku każdego środka od pozostałych dwóch wierzchołków przecinają przeciwną stronę na trzy równe części.

Największa elipsa wpisana w trójkąt ( elipsa Steinera ) jest styczna do boków trójkąta u stóp środkowych.

W każdym trójkącie suma kwadratów długości trzech środkowych , i jest równa trzy czwarte sumy kwadratów boków: mW{\ displaystyle m_ {A}}mb{\ displaystyle m_ {B}}mVS{\ displaystyle m_ {C}}

mW2+mb2+mVS2=34(w2+b2+vs2){\ Displaystyle m_ {A} ^ {2} + m_ {B} ^ {2} + m_ {C} ^ {2} = {\ frac {3} {4}} (a ^ {2} + b ^ { 2} + c ^ {2})}. Demonstracja

Zapisując twierdzenie o medianie trzy razy dla długości każdej mediany

2mW2=b2+vs2-12w2{\ Displaystyle 2m_ {A} ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} - {\ frac {1} {2}} a ^ {2}}, 2mb2={\ Displaystyle 2m_ {B} ^ {2} =} …, 2mVS2={\ Displaystyle 2m_ {C} ^ {2} =} …,

suma daje . 2(mW2+mb2+mVS2)=2(w2+b2+vs2)-12(w2+b2+vs2){\ Displaystyle 2 (m_ {A} ^ {2} + m_ {B} ^ {2} + m_ {C} ^ {2}) = 2 (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ { 2}) - {\ frac {1} {2}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2})}

Dzieląc przez 2, otrzymujemy wzór przez uproszczenie.

Mediana w poszczególnych trójkątach

W trójkącie równoramiennym środkowa względem podstawy trójkąta jest osią symetrii trójkąta. Uważane za segmenty, pozostałe dwie mediany mają jednakową długość. I odwrotnie, jeśli w trójkącie dwie środkowe są tej samej długości, trójkąt jest równoramienny.

W trójkącie prostokątnym środkowa z wierzchołka kąta prostego mierzy połowę przeciwprostokątnej. I odwrotnie, jeśli w trójkącie długość środkowej jest równa połowie długości odpowiedniego boku, trójkąt jest prostokątny.

W trójkącie mediany z B i C są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy mamy następującą relację między bokami trójkąta: b 2 + c 2 = 5 a 2 .

Jeśli mediana AM = , to pozostałe dwie mediany są ortogonalne. 32w{\ displaystyle {\ frac {3} {2}} a}

Pasy rozdzielające w kształcie czworoboku

Mediany czworoboku to odcinki łączące punkty środkowe przeciwległych boków.

• Mediany to przekątne równoległoboku Varignona , przecinają się one w środkowych punktach.
• Asocjatywność z barycenters umożliwia również, aby uzasadnić, że punkt środkowy median jest isobarycenter od wierzchołków czworokąta. Inaczej niż w przypadku trójkąta, to izobaryśrodek wierzchołków nie pokrywa się ze środkiem masy .

Geometria w przestrzeni

W geometrii w przestrzeni mediany czworościanu nazywa się liniami łączącymi jeden z wierzchołków czworościanu i izobaryśrodek trzech pozostałych. Dlatego w czworościanie znajdują się cztery mediany. Przecinają się w punkcie, który jest izobarycentrum czterech wierzchołków (patrz twierdzenie Commandino  (de) ). To samo dotyczy trzech bimedian (łączących punkty środkowe dwóch przeciwległych krawędzi).

Wszystkie te własności (trójkąta, czworokąta i czworościanu) są szczególnymi przypadkami następującego twierdzenia, będącego konsekwencją asocjatywności środka ciężkości:

Niech S będzie skończonym zbiorem punktów w przestrzeni afinicznej . Medianę S nazywamy dowolnym segmentem łączącym izobaryfikacje dwóch niepustych części S, które są wzajemnie uzupełniające . Więc wszystko mediany S przecinają się w isobarycenter S .

(Można nawet określić, na podstawie ilorazu liczb punktów obu części, położenie izobarysu na rozpatrywanym segmencie.)

W regularnym czworościanie (którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi), mediany są również wysokościami. Mówimy, że ten czworościan jest ortocentryczny  (w) , ponieważ jego wysokości są współbieżne (na ogół nie ma to miejsca w czworościanie, w przeciwieństwie do trójkąta).

CH 4 metan cząsteczka ilustruje to przypadku: wierzchołki są zajęte przez atomy wodoru; atom węgla znajduje się tam, gdzie spotykają się mediany.

Bibliografia

1. Pierre-François Compagnon, Elementy geometrii , Gauthier-Villars ,1868( czytaj online ) , s.  55-56, § 121.
2. Dowód równoważności przy użyciu twierdzenia o medianie znajduje się w ćwiczeniu 4.42 niniejszego dokumentu .
3. (w) Maria Flavia Mammana, Biagio Micale i Mario Pennisi, „  On the centroids of Polygons and Polyhedra  ” , Forum Geometricorum , tom.  8,2008, s.  121-130 ( czytaj online ).
4. (w) Robert B. Kirchner, "  Median Theorem for Polygons  " on Wolfram Demonstrations Project .