Elipsa Steinera

W geometrii The elipsy Steiner z pomocą trójkąta jest unikalny elipsy styczna z każdej strony w ich środkowym. Został nazwany na cześć szwajcarskiego matematyka Jakoba Steinera .

Demonstracja

W przypadku, gdy trójkąt jest równoboczny , ta elipsa jest wpisanym okręgiem . Jak każdy inny trójkąt jest obrazem trójkąta równobocznego na mapie afinicznej , tak obraz koła wpisanego w taką mapę jest elipsą, która spełnia warunki styczności w środku każdego boku.

Dowód ten jest analogiczny do twierdzenia pięciopunktowego , które obejmuje również warunki styczności i padania. W rzeczywistości sześć warunków wymaganych dla elipsy Steinera jest połączonych danymi z początkowego trójkąta.

Nieruchomości

Elipsa przecina każdą środkową trójkąta na jedną trzecią jej długości. Pozwala to na zbudowanie elipsy z sześcioma punktami.
Spośród wszystkich elips wpisanych w trójkąt elipsa Steinera jest tą, która ma maksymalną powierzchnię. Stosunek powierzchni elipsy do obszaru trójkąta jest równy . ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}}$
Środek elipsy jest izobaryśrodkiem trójkąta.
Jeśli $z 1$ , $z 2$ i $z 3$ są złożonymi afiksami wierzchołków trójkąta i jeśli $P ( z )$ jest wielomianem $( z - z 1 ) ( z - z 2 ) ( z - z 3 )$ , to ogniska l elipsy są dwa pierwiastki wielomianu $P$ , pochodne wielomianu $P$ . To jest twierdzenie Mardena .
Ogniska są sprzężone izogonalne względem trójkąta.
Linia przechodząca przez dwa ogniska elipsy jest taką linią, że suma kwadratów odległości od wierzchołków trójkąta do prostej jest minimalna (linia regresji ortogonalnej trzech wierzchołków).
Elipsa przecina okrąg Eulera (oprócz stóp środkowych) w punkcie $X115$ ( liczba Kimberlinga ) w środku odcinka łączącego dwa punkty Fermata . Styczna w $X115$ do elipsy jest $prostopadła$ do tego segmentu.
Niech K będzie punktem elipsy Steinera w trójkącie ABC. Jeśli narysujemy równoleżniki do boków trójkąta za pomocą K, tną one ABC na małe trójkąty i równoległoboki. Suma powierzchni małych trójkątów (na rysunku zaznaczonych na niebiesko) jest równa sumie powierzchni równoległoboków (w kolorze beżowym).

Uogólnienie

Mówiąc bardziej ogólnie, w trójkącie $( ABC )$ , jeśli $A '$ , $B'$ i $C '$ są punktami znajdującymi się odpowiednio na odcinkach $[ BC ]$ , $[ AC ]$ i $[ AB ]$ , to istnieje elipsa przechodząca przez $A'$ , $B '$ i $C '$ oraz styczną w każdym z tych punktów do jednego boku trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy proste $( AA' )$ , $( BB ' )$ i $( CC' )$ są współbieżne; w tym przypadku uzyskana elipsa jest niepowtarzalna.

Ten typ stwierdzenia jest modyfikowany poprzez wybór punktów styczności na liniach prostych podpierających boki trójkąta, przy czym otrzymane stożki mogą być hiperbolami lub parabolami .

Bibliografia

Yves Ladegaillerie, Geometry for Capes and Aggregation , rozdział 8, ćwiczenie 3.4.7.
D. Minda, S. Phelps, Trójkąty, elipsy i wielomiany sześcienne , Amer. Matematyka. Miesięcznie, 115 , nr 8 (październik 2008), 679-689.
J. Steiner, „ Czysta geometria. Opracowanie serii twierdzeń dotyczących przekrojów stożkowych ”, Ann.Math. Przecieru PCT , n O 19, 1828/1829, str. 37–64.

Uwagi i odniesienia

(w) Beniamin Bogosel, " A Geometric Proof of the Marden-Siebeck Theorem " , Amer. Matematyka. Miesięcznie , vol. 125 n O 4,2017, s. 459-463 ( DOI 10.4169 / amer.math.monthly.124.5.459 )
(w) A. Eydelzon, „ była nową własnością Steiner Inellipse ” , Amer. Matematyka. Miesięcznie , vol. 127 n O 10,2020, s. 933-935 ( DOI 10.1080 / 00029890.2020.1820795 )

Powiązane artykuły

Stożkowy opisany i wpisany w trójkąt
Elipsoida Jana (w)