Przestrzeń Banacha
W matematyce , w szczególności w analizie funkcji o nazwie miejsce Banacha wektor normalizowane miejsca na podpole K z ℂ (zwykle K = ℝ lub ℂ) pełni do zdalnego koniec jego normy . Ponieważ topologia indukowana przez jego odległość jest zgodne z jego strukturą z przestrzeni wektorowej jest przestrzeń liniowo-topologiczna . Przestrzenie Banacha mają wiele właściwości, które sprawiają, że są niezbędnym narzędziem analizy funkcjonalnej . Swoją nazwę zawdzięczają polskiemu matematykowi Stefanowi Banachowi .
Charakterystyka według serii
Znormalizowana przestrzeń wektorowa jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy w tej przestrzeni jakikolwiek absolutnie zbieżny szereg jest zbieżny .
Przykłady przestrzeni Banacha
- Dowolna skończona wymiarowa przestrzeń wektorowa na ℝ (odp. ℂ) wyposażona w jakąkolwiek normę , na przykład normę euklidesową (odp. Hermitowską ).
- Dla dowolnego zbioru X i dowolnej przestrzeni Banacha E , przestrzeń B ( X , E ) ograniczonych map od X do E , wyposażona w normę jednolitej zbieżności .
- Dowolna zamknięta podprzestrzeń wektorowa przestrzeni Banacha. Na przykład, jeżeli X jest przestrzenią topologiczną oraz e przestrzeń Banacha: podprzestrzeń z B ( x , e ) obu funkcji ciągłych i jest ograniczona, w szczególności w przestrzeni C ( K , E ) funkcji ciągłych na zwartej K . (W rzeczywistości, zgodnie z twierdzeniem Banacha-Alaoglu-Bourbaki , każda przestrzeń Banacha jest zamkniętą podprzestrzenią C ( K , ℝ).)
- Przestrzenie Hilberta .
-
Mówiąc bardziej ogólnie , dla 1 ≤ p ≤ ∞ , przestrzeń L p ( X ) klas funkcji mierzalnych (z wartościami rzeczywistymi lub zespolonymi) w mierzonej przestrzeni X , których moc p -th jest całkowalna (lub które są ograniczone, jeśli p = ∞ ).
- Dowolny znormalizowany iloraz przestrzeni wektorowej przestrzeni Banacha przez zamkniętą podprzestrzeń - dzięki scharakteryzowaniu za pomocą powyższego szeregu. (W rzeczywistości każda oddzielna przestrzeń Banacha jest takim ilorazem ℓ 1 ).
Twierdzenie o aplikacji otwartej i jego warianty
Niech E i F są dwie przestrzenie Banacha i F do ciągłego odwzorowania liniowego z E in F .
Właściwość zagnieżdżona zamknięta
Jak każda pełna przestrzeń metryczna, przestrzeń Banacha spełnia następującą właściwość:
Niech będzie malejącym ciągiem zamkniętych niepustych, których sekwencja średnicy zmierza do 0. Wtedy przecięcie zamkniętych jest niepuste i zredukowane do singletona .
Ta własność pozwala udowodnić, że każda kompletna przestrzeń metryczna (w szczególności każda przestrzeń Banacha) jest Baire'em i wydedukować poniższe twierdzenie Banacha-Steinhausa.
Twierdzenie Banacha-Steinhausa
Pozwolić przestrzeń Banach unormowanej przestrzeń wektor rodziny elementów ℒ ( E, F ) i zbiór wektorów w taki sposób, że . Następnie, albo jest suche , to znaczy przeliczalna związek o rzadkich zestawów (zestaw będący rzadko, jeśli jej przyczepność jest puste wnętrze ) i jego dopełnieniem jest zwarta lub (tam, gdzie wyznacza normę operatora o ). W szczególności, jeśli możliwa jest tylko druga możliwość.
mi{\ displaystyle E}fa{\ displaystyle F}(uja)ja∈ja{\ Displaystyle \ lewo (u_ {i} \ prawo) _ {i \ w I}}W{\ displaystyle A}x{\ displaystyle x}mi{\ displaystyle E}łykja∈ja‖uja(x)‖<+∞{\ Displaystyle \ sup _ {i \ in ja} \ lewo \ | u_ {i} (x) \ prawo \ | <{+ \ infty}}W{\ displaystyle A}łykja∈ja‖uja‖<+∞{\ Displaystyle \ sup _ {i \ in I} \ lewo \ | u_ {i} \ prawo \ | <{+ \ infty}}‖uja‖{\ Displaystyle \ lewo \ | u_ {i} \ prawo \ |}uja{\ displaystyle u_ {i}}W=mi{\ displaystyle A = E}
Uwaga
-
Aby zapoznać się z demonstracją, zobacz na przykład rozdział „Przestrzenie Banacha - kompletność” lekcji „Standardowe przestrzenie wektorowe” na Wikiversity .
Zobacz też
Bibliografia
-
Stefan Banach , Theory of Linear Operations , Warszawa 1932 (Monografie Matematyczne; 1) Zbl 0005.20901
- (en) Bernard Beauzamy , Introduction to Banach Spaces and their Geometry , North-Holland,1985, 2 II wyd. ( czytaj online )
- N. Bourbaki , Topologiczne przestrzenie wektorowe , Springer-Verlag,1987
- (en) William B. Johnson (de) and Joram Lindenstrauss , Handbook of the Geometry of Banach Spaces , vol. 1, Elsevier,2001, 1016 s. ( ISBN 978-0-08-053280-6 , czytaj online )
- (en) MI Kadets i BM Levitan (en) , „Banach space” , w: Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , czytaj online )
Powiązane artykuły
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">