Twierdzenie Dvoretzky-Rogers , ze względu na Arie Dvoretzky i Claude Ambrose Rogers , to matematyczne twierdzenie z analizy funkcjonalnej na serii w przestrzeniach Banacha .
Ten lemat na przestrzeń unormowana o skończonym wymiarze gwarantuje istnienie o zasadach , w których euklidesowa norma od współrzędnych daje pewną szacunkową z normą :
Lemat Dvoretzky'ego-Rogersa - W każdej znormalizowanej przestrzeni wektorowej o wymiarze n istnieją wektory jednostkowe x 1 ,…, x n takie, że dla 1 ≤ m ≤ n i dla wszystkich liczb rzeczywistych t 1 ,…, t m ,Jakość oszacowania zależy od liczby m warunków sumy. Maksymalna wartość współczynnika, równa 1+ √ n - 1 , zależy od wymiaru, ale wzrost niezależny od wymiaru otrzymamy, jeśli ograniczymy liczbę m wyrazów, jak w poniższym wniosku , który jest podstawowym składnikiem dowód twierdzenia Dvoretzky'ego-Rogersa:
Wniosek - W każdej znormalizowanej przestrzeni wektorowej o wymiarze większym lub równym m ( m - 1) istnieją wektory jednostkowe x 1 ,…, x m takie, że dla wszystkich liczb rzeczywistych t 1 ,…, t m ,Twierdzenie Dvoretzky'ego-Rogersa - Niech E będzie przestrzenią Banacha o nieskończonym wymiarze. Dla każdej sekwencji ( n ) n ∈ℕ z dodatnich liczb rzeczywistych z summable kwadratu , istnieje ciąg ( x n ), n ∈ℕ z wektorów w E tak, że ║ x n ║ = n a cykl x n jest przemiennie zbieżne .
Aby to zademonstrować, rozważamy szereg podprzestrzeni o odpowiednich skończonych wymiarach, w których wybieramy, korzystając z powyższego wniosku, pożądane wektory.
Stosując twierdzenie Dvoretzky'ego-Rogersa do dodatniego a n takiego, że suma a n 2 jest skończona, ale nie jest sumą a n - na przykład a n = 1 / n -, wnioskujemy, że jeśli przestrzeń Banacha ma nieskończony wymiar , to zawiera przemiennie zbieżne, ale nie absolutnie zbieżne szeregi . Ponieważ twierdzenie Riemanna o przegrupowaniu gwarantuje odwrotność , wnioskujemy następujący wniosek (czasami nazywany również „twierdzeniem Dvoretzky'ego-Rogersa”):
Przestrzeń Banacha E ma skończony wymiar wtedy i tylko wtedy, gdy w E dowolny przemiennie zbieżny szereg jest absolutnie zbieżny.
Zgodnie z twierdzeniem Władysława Orlicza , każdy przemiennie zbieżny szereg ∑ n x n w L p ([0, 1]) (przy 1 ≤ p < ∞ ) spełnia ∑ n ║ x n ║ r < + ∞ dla r = max (2, p ). Dlatego w L 2 ([0, 1]) szereg ∑ n x n taki, że ∑ n ║ x n ║ 2 = + ∞ nie może być przemiennie zbieżny. To pokazuje, że hipotezy twierdzenia Dvoretzky'ego-Rogersa nie można osłabić, ponieważ dla tej przestrzeni warunek dostateczny jest również konieczny.
I odwrotnie, twierdzenie Dvoretzky'ego-Rogersa czyni naturalne w twierdzeniu Orlicza ograniczenie do wykładników większych lub równych 2, ponieważ pokazuje, że dla dowolnej przestrzeni Banacha o nieskończonym wymiarze, jeśli liczba r jest taka, że szereg przemiennie zbieżny ∑ n x n zawsze spełnia ∑ n ║ x n ║ r < + ∞ , wtedy ℓ 2 ⊂ ℓ r zatem r ≥ 2.