Sekwencyjna zwartość

W matematyce sekwencyjnie zwarta przestrzeń to przestrzeń topologiczna, w której każda sekwencja ma co najmniej jeden zbieżny podciąg . Pojęcie zwartości sekwencyjnej pozostaje w ścisłym związku z pojęciem quasi-zwartości i zwartości oraz policzalności zwartości . W przypadku przestrzeni metrycznej (w szczególności znormalizowanej przestrzeni wektorowej ) te cztery pojęcia są równoważne.

Intuicyjnie zwarta całość jest „mała” i „zamknięta” w tym sensie, że nie można od niej „uciec”. Jeśli utworzymy serię punktów tego zbioru, jego elementy nie mogą się zbytnio od siebie oddalić i skoncentrować na określonych wartościach. W tym artykule zaproponowano podejście do zwartości w ograniczonych ramach przestrzeni metrycznych, gdzie jest to równoważne zwartości sekwencyjnej.

Porównanie ze zwartością

Mówi się, że przestrzeń jest zwarta, jeśli jest oddzielna i prawie zwarta . Jednak zwykła definicja quasi-zwartości jest równoważna następującej, która odpowiada słowo w słowo definicji zwartości sekwencyjnej, z jedną różnicą: sekwencje są zastępowane sekwencjami uogólnionymi :

Przestrzeń quasi-zwarta to przestrzeń topologiczna, w której każda uogólniona sekwencja ma co najmniej jeden zbieżny uogólniony podciąg.

Wystarczy kilka kontrprzykładów , aby przekonać się, że to dodanie słowa „uogólniony” jest bardzo ważne. Najbardziej znane to:

pierwszy niezliczona liczba porządkowa [0 omów 1 [(dostarczone z topologią rzędu ) i długiej linii kolejno zwartą i oddzielony, ale nie zwartej;
przestrzeń produkt {0, 1} ℝ i kamienny Čech compactified βℕ z ℕ , zwartą, ale nie kolejno (a więc nie zwartą sekwencyjne ). (Co więcej, te dwa kompakty są rozdzielne i jeszcze „bardzo duże”: mają nawet kardynał 2 ℭ jako zestaw części z ℝ ).

Istnieją jednak powiązania między tymi dwoma pojęciami poprzez wieloaspektową koncepcję policzalnej zwartości (czasami przy pewnych założeniach, zawsze weryfikowaną, gdy przestrzeń może być metrizowana ): patrz szczegółowy artykuł.

Z drugiej strony, każdy „wystarczająco mały” kompakt jest zwarty sekwencyjnie. Zgodnie z hipotezą kontinuum to „dostatecznie małe” tłumaczy się jako: „posiadające co najwyżej tyle elementów, ile ℝ”. Dokładniej (i bez założenia ciągłości):Każdy quasi-zwarty o liczności mniejszej lub równej ℵ 1 jest zwarty sekwencyjnie.

Nieruchomości

Każda skończona przestrzeń lub, bardziej ogólnie, każdy skończony związek podprzestrzenny sekwencyjnie zwartych części tej samej przestrzeni, jest wyraźnie sekwencyjnie zwarty.
Każda przestrzeń z policzalnymi bazami sąsiedztw, która jest ograniczona ω ( to znaczy w której adhezja dowolnej policzalnej części jest quasi-zwarta) jest sekwencyjnie zwarta.
W oddzielnej przestrzeni, tak jak każda zwarta część jest zamknięta , każda sekwencyjnie zwarta część K jest sekwencyjnie zamknięta , tj. Stabilna w granicach ciągów (każda sekwencja punktów K, która zbiega się, ma swoją granicę w K ), ale niekoniecznie zamknięta : dla przykład [0, ω 1 [ nie jest zamknięty w [0, ω 1 ].
Każda sekwencyjnie zamknięta część (i a fortiori każda zamknięta część) sekwencyjnie zwartej przestrzeni jest sekwencyjnie zwarta, tak jak każda zamknięta część (prawie) zwartej jest (prawie) zwarta .
Podobnie jak przecięcie dowolnej malejącej sekwencji niepustych zwartych, przecięcie dowolnej malejącej sekwencji niepustych sekwencyjnie zwartych części $F n$ jest niepuste. Rzeczywiście, wybierzmy dla wszystkich $n$ element $u n$ z $F n$ . Sekwencja $( u n )$ dopuszcza zbieżny podciąg w $F 0$ . Dla wszystkich $n$ podciąg ma wartości w $F n$ z pewnej rangi, a ponieważ ten zbiór jest sekwencyjnie zamknięty, zawiera granicę.
Podobnie jak quasi-zwartość , sekwencyjna zwartość jest zachowywana przez ciągłe obrazy.

Demonstracja

Niech f będzie ciągłą (lub nawet sekwencyjnie ciągłą ) mapą na sekwencyjnie zwartej przestrzeni K i ( y n ) sekwencją punktów f ( K ), gdzie y n = f ( x n ), a następnie ciąg ( x n) ) przyjmuje podciąg zbieżny do elementu X o K . Przez ciągłość ciąg obrazów zbiega się do f ( X ), która należy do f ( K ).

Sekwencyjna zwartość jest zachowywana przez produkty co najwyżej policzalne (podczas gdy quasi-zwartość jest zachowywana przez dowolne produkty ). Dla każdego kardynała κ większego lub równego potęgi kontinuum ℭ ( kardynała ℝ lub zbioru części ℕ), zwarta {0, 1} κ - iloczyn κ kopii przestrzeni dyskretnej {0 , 1} - nie jest zwarty sekwencyjnie.

Demonstracja i kontrprzykład

Niech X będzie iloczynem ciągu ( X i ) i ∈ℕ sekwencyjnie zwartych przestrzeni i niech ( x j ) j ∈ℕ będzie ciągiem elementów X (ciąg sekwencji). Z n 0 ( j ) = j , konstruujemy przez indukcję sekwencję ekstraktorów n p , każdy wyodrębniony z poprzedniego i tak, że w X p sekwencja zbiega się do pewnego x p (aby wyodrębnić z n p podciąg n p +1 spełniając ten warunek, stosujemy zwartość sekwencyjną X p ), następnie ustawiamy (dla dowolnej liczby naturalnej p ) φ ( p ) = n p ( p ) (w przypadku produktu gotowego X 0 ×… × X m –1 , nie jest konieczne stosowanie tego procesu diagonalnego : możemy po prostu przyjąć φ = n m ). Ten ekstraktor φ daje następnie ciąg wyodrębniony z ( x j ) j ∈ℕ, który jest zbieżny konstrukcyjnie w kierunku elementu ( x p ) p ∈ℕ z X , co uzupełnia dowód. ${\ Displaystyle (x_ {n_ {p + 1} (j)} ^ {p}) _ {j \ in \ mathbb {N}}}$
Niech S = {0, 1} ℕ będzie zbiorem sekwencji o wartościach w {0, 1}. Zwarta T = {0, 1} S nie jest sekwencyjnie zwarta. Rzeczywiście, T jest utożsamiane ze zbiorem, wyposażonym w topologię prostej zbieżności , odwzorowań S w {0, 1}, ale możemy zbudować ciąg ( f n ) n ∈ℕ takich odwzorowań, z których żaden podciąg ( f φ ( j ) ) nie ma ograniczeń. Wystarczy zdefiniować f n przez: f n ( s ) = s n dla wszystkich s . Dla dowolnego ekstraktora φ rozważ element s z S taki, że s n = 1, jeśli n = φ ( j ) dla parzystej liczby całkowitej j i s n = 0 dla wszystkich innych wartości n . Wówczas ciąg f φ ( j ) ( s ) = s φ ( j ) jest na przemian równy 1 i 0 nie ma więc granicy, co dowodzi, że podciąg ( f φ ( j ) ) z ( f n ) n ∈ ℕ nie ma granic w T .

Względnie sekwencyjnie zwarta część

Część przestrzeni topologicznej X nazywamy kolejno stosunkowo zwarty, jeśli wszystkie następujące wartości w A ma przynajmniej jeden sub-sekwencji, która zbiega się w X . Pojęcie to należy porównać z pojęciem względnej zwartości i względnej policzalnej zwartości, ale przyczepność względnie sekwencyjnej części zwartej lub nawet sekwencyjnej części zwartej niekoniecznie jest zwarta sekwencyjnie.

Kompaktowe przestrzenie metryczne

Bardzo duża liczba problemów związanych z topologią i analizą funkcjonalną pojawia się w kontekście znormalizowanych przestrzeni wektorowych o dowolnym wymiarze lub bardziej ogólnie przestrzeni metrycznych. Głównym narzędziem jest wtedy pojęcie zbieżnej sekwencji . Jeśli mamy odległość w przestrzeni, możemy wyprowadzić wiele informacji ze zwartości i scharakteryzować ją za pomocą następującego fundamentalnego twierdzenia.

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Twierdzenie Bolzano - Weierstrassa - Przestrzeń metryczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwarta sekwencyjnie.

Zamknięty ograniczony

W przestrzeni metrycznej:

zamknięte części to sekwencyjnie zamknięte części ;
mówi się, że część jest skrępowana, jeśli wchodzi w skład piłki ;
zamknięte kule stanowią proste przykłady ograniczonych zamkniętych, ale inne nie są „w jednym kawałku” (patrz powiązanie dla sformalizowania tego pojęcia). Zatem połączenie dwóch zamkniętych piłek jest nadal ograniczonym zamkniętym lub też zbiorem Cantora ;
Każda sekwencyjnie zwarta część jest zamknięta (zgodnie z jedną z właściwości przedstawionych powyżej ) i ograniczona, ale odwrotność jest fałszywa, nawet w znormalizowanej przestrzeni wektorowej .

Odwrotność jest jednak prawdziwa, gdy przestrzeń metryczna jest rzeczywistą linią, zwykłą płaszczyzną lub, bardziej ogólnie, rzeczywistą przestrzenią wektorową o skończonych wymiarach, wyposażoną w normę :

Twierdzenie Borela - Lebesgue'a - In ℝ n , zwarte są ograniczone do zamkniętych.

Artykuł „ Twierdzenie Borela-Lebesgue'a ” demonstruje to na podstawie pojęcia zwartości, ale możemy również podać jeden z tego, równoważny tutaj , zwartości sekwencyjnej:

Demonstracja poprzez sekwencyjną zwartość

Wiemy już, że w przestrzeni metrycznej wszystko sekwencyjnie zwarte jest zamknięte i ograniczone. W ℝ n , odwrotnie, jeśli K jest zamkniętą częścią ograniczoną, to jest zamkniętą częścią sześcianu [- M , M ] n dla M wystarczająco dużego. Z powodu słabej formy „twierdzenia Bolzano-Weierstrassa” w ℝ (każdy ograniczony ciąg rzeczywisty dopuszcza zbieżny podciąg), [- M , M ] jest sekwencyjnie zwarty, więc jego iloczyn (sześcian) również . Ponieważ K jest sekwencyjnie zamknięty w tej kostce, dziedziczy tę sekwencyjną zwartość .

Mówi się, że przestrzeń metryczna jest właściwa, jeśli wszystkie jej zamknięte kule są zwarte lub, co sprowadza się do tego samego, jeśli jej zwarte są jej zamkniętymi kulkami. Poprzednie twierdzenie jest optymalne w następującym sensie:

Twierdzenie Riesza o zwartości - Rzeczywista znormalizowana przestrzeń wektorowa jest właściwa (jeśli i) tylko wtedy, gdy ma skończony wymiar.

Część „jeśli” sprowadza się, przez równoważność norm , do charakteryzacji zwartych ℝ n , dostarczonej przez twierdzenie Borela-Lebesgue'a.

Część „tylko jeśli” jest właściwym twierdzeniem o zwartości Riesza i jest ponownie zademonstrowana, między innymi, za pomocą twierdzenia Bolzano-Weierstrassa .

Ograniczenia rozmiaru

O przestrzeni metrycznej X mówi się, że jest wstępnie zwarta, jeśli jakakolwiek sekwencja w X ma podciąg Cauchy'ego . Dlatego jest natychmiastowe, że X jest sekwencyjnie zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest wstępnie zwarty i kompletny .

W związku z tym, każdy (kolejno) zwarta metryzowalny jest homeomorficzny do zamkniętego sześcianu Hilberta [0, 1] ℕ (ponieważ każdy prezwarty dane są rozdzielne i każdy oddzielić metryzowalny przestrzeń homeomorficzny podprzestrzeni [0, 1], ℕ ) . W szczególności ma co najwyżej moc ciągłości .

Uwagi i odniesienia

(ps) Raymond Mortini, Topologia , twierdzenie 7.2 s. 32 (Mortini używa, podobnie jak anglojęzyczni, słowa „compact” na oznaczenie naszych quasi-kompaktów.)
Trudno jest zbudować wyodrębnioną sekwencyjnie zwartą przestrzeń dającą się oddzielić od kardynała ściśle większą niż potęga kontinuum : ZFC to za mało, ale nie wyklucza, że istnieje. (en) " Wielkość zamknięcia zbioru " , na matematyce. stackexchange .
(w) Norman Levine , „ My kompaktowość i sekwencyjna zwartość ” , Proc. Natl. Gorzki. Matematyka. Soc. , vol. 54,1976, s. 401-402 ( czytaj online ).
(w) Peter Nyikos , " Sekwencyjne rozszerzenia policzalnych zwartych przestrzeni " , Topology Proceedings , vol. 31 N O 22007, s. 651-665 ( czytaj online )oraz (en) Ofelia T. Alas i Richard G. Wilson , „ When is a Compact Space Sequently Compact? ” , Topology Proceedings , vol. 29 N O 22005, s. 327-335 ( czytaj online ) podać nowsze twierdzenia zapewniające, że quasi-zwarta lub „dostatecznie mała” zwarta liczba (w różnym znaczeniu) jest sekwencyjnie zwarta.
(w) David Gauld, Non-metrisable Manifolds , Springer ,2014( czytaj online ) , s. 51.
Dla przypadków pośrednich ω₁ ≤ kappa <ℭ patrz (w) Eric van Douwen (w) , „The Integers and Topology” , w: Kenneth Kunen i Jerry E. Vaughan, The Handbook of Set-Theoretic Topology , North Holland,1984( czytaj online ) , s. 111-167, Th 5.1 i 6.1.
(w) Charles Castaing , Paul Raynaud de Fitte i Michel Valadier , Young Measures were Topological Spaces: With Applications in Control Theory and Probability Theory , Springer ,2004, 320 s. ( ISBN 978-1-4020-1963-0 , czytaj online ) , str. 83.
Christian Samuel, „ The Eberlein-Šmulian theorem ” , University of Aix-Marseille , str. 2-3 .
W przeciwnym razie zawierałaby sekwencję elementów, których odległości od stałego punktu mają tendencję do nieskończoności, a zatem bez zbieżnego podciągu.
W szczególności (zapominając o strukturze) złożonej znormalizowanej przestrzeni wektorowej, której rzeczywisty wymiar będzie podwójny.
Mówiąc bardziej ogólnie, każda zwarta przestrzeń z policzalnymi bazami dzielnic ma co najwyżej moc ciągłości .

Zobacz też

Powiązane artykuły

Wprowadzenie do twierdzenia Banacha-Alaoglu w artykule Topologia słaba
Twierdzenie Eberleina-Šmuliana i sekwencyjna charakterystyka przestrzeni refleksyjnych

Link zewnętrzny

(en) Ronald Brown , „ O sekwencyjnie właściwych mapach i sekwencyjnej kompaktacji ” , J. Lond. Matematyka. Soc. , vol. 7, N O 21973, s. 515-522 ( czytaj online )