Otwarte zamknięte

W topologii An open zamknięty jest podgrupa o topologii przestrzeni X , która jest jednocześnie otwarty i zamknięty . Może się wydawać sprzeczne z intuicją, że takie zbiory istnieją, ponieważ w zwykłym sensie „otwarty” i „zamknięty” to antonimy . Ale w sensie matematycznym te dwa pojęcia nie wykluczają się wzajemnie : mówi się, że część X jest zamknięta, jeśli jej dopełnienie w X jest otwarte, a zatem otwarte-zamknięte jest po prostu otwartym, którego dopełnienie jest również otwarte.

Przykłady

W każdej przestrzeni topologicznej X zarówno pusty zbiór, jak i cała przestrzeń X są otwarte-zamknięte.

Przestrzeń jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej części są otwarte-zamknięte.

W przegrodzie przestrzeni otwartej wszystkie elementy przegrody są otwarte-zamknięte, a także każde (możliwie nieskończone) spotkanie takich elementów. Na przykład :

w przestrzeni X = ] 0, 1 [ ∪] 2, 3 [(wyposażone w topologię indukowaną przez zwykłą topologię ℝ ), dwa otwarte] 0, 1 [i] 2, 3 [są komplementarne względem siebie w związku z tym są również zamknięte;
w przestrzeni wymiernej ℚ (wyposażonej w topologię indukowaną przez ℝ), dwa zbiory i są otwarte-zamknięte; ${\ Displaystyle \ {r \ in \ mathbb {Q} \ mid r ^ {2}> 2 \}}$ ${\ Displaystyle \ {r \ in \ mathbb {Q} \ mid r ^ {2} <2 \}}$
w połączony lokalnie przestrzeni X , każdy związek połączonych składników z X jest otwarty zamknięty;
w grupie topologicznej każda otwarta podgrupa jest również zamknięta.

W przypadku partytury zamkniętej (podobnie jak połączone komponenty), jeśli partytura jest skończona, partytury są nadal otwarte-zamknięte. Na przykład: w grupie topologicznej każda zamknięta podgrupa o skończonym indeksie jest otwarta-zamknięta.

Nieruchomości

Przestrzeń X jest zwany połączony jeśli jego otwarty-zamknięty tylko są ∅ oraz X .
Mówi się, że niepusta przestrzeń jest zerowymiarowa, jeśli jej otwarta-zamknięta tworzy otwartą podstawę .
Część jest otwarta-zamknięta wtedy i tylko wtedy, gdy jej granica jest pusta.
Wszelkie otwarte-zamknięte X jest spotkanie (ewentualnie) odpowiednich elementów nieskończone X .
Otwarta zamkniętym X tworzą sub logiczny algebraiczne z zestawu podzbiory o X . Według twierdzenia z kamienia , każdy Boole'a można uzyskać w ten sposób, aby w pewnym zwartej przestrzeni X i wymiar zero (w ten sposób całkowicie nieciągły ).

Uwagi i odniesienia

( fr ) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Zestaw Clopen ” ( zobacz listę autorów ) .

Ponadto część często nie jest ani otwarta, ani zamknięta.
N. Bourbaki , Elements of mathematics, książka III: General topology [ szczegóły wydań ], s. I.5 , podgląd na Google Books .

Link zewnętrzny

(en) Sidney A. Morris, „ Topologia bez łez ” ,2011