W matematyce , affine przybliżenie jest przybliżeniem z funkcji w sąsiedztwie punktu za pomocą pokrewieństwa funkcji . Aproksymacja afiniczna służy głównie do uproszczenia problemu, dla którego można uzyskać przybliżone rozwiązanie.
Dwa klasyczne sposoby uzyskiwania afinicznego aproksymacji funkcji obejmują interpolację lub rozwinięcie ograniczone do rzędu 1.
Mając funkcję f określoną i ciągłą na przedziale [ a , b ], której wartość znamy na granicach, możemy przybliżyć krzywą funkcji za pomocą ciągu równań
.Jeżeli funkcja ta jest z klasy C 2 , różnica pomiędzy wartością funkcji, a afinicznej aproksymacji interpolacji jest sterowany przez górną granicę wartości bezwzględnej drugiej pochodnej: jeśli to dla wszystkich x ∈ [ , b ] my mieć
.To sformułowanie jak i nierówność są nadal aktualne poza przedziałem [ a , b ] , o ile obowiązuje również przyrost drugiej pochodnej . Przechodząc granicę z b do a , otrzymujemy przybliżenie afiniczne przez ograniczone rozwinięcie poniżej.
Interpolacja afiniczna jest wykorzystywana w szczególności do definiowania metody trapezowej w całkowaniu numerycznym .
Biorąc pod uwagę różniczkowalną funkcję f zmiennej rzeczywistej i rzeczywistą a , funkcja ε określona przez
sprawdzone
ε nazywa się resztą . Ta formuła pojawia się jako szczególny przypadek ( n = 1) formuły Taylora : jest to ograniczone rozwinięcie rzędu 1.
Przybliżenie afiniczne f uzyskuje się przez pominięcie tej reszty. Funkcja wówczas stanowi afinicznych przybliżenie f w .
Piszemy wtedy, dla x w sąsiedztwie a :
Wyrażenie po prawej odpowiada równaniu Y ' = f ( ) + F' ( ) ( x - ) od stycznej do charakterystycznej krzywej o f w punkcie ( , F ( )) , a na Z tego powodu niektórzy nazywają tę metodę przybliżeniem tangensa lub przybliżeniem tangensa afinicznego .
Jest również możliwe stosowanie przybliżenia do wektora funkcji o zmiennej wektora, w którym M ' ( ) jest zastąpiony przez jakobian matrycy . Aproksymacja odpowiada równaniu stycznej prostej lub płaszczyzny stycznej lub stycznej hiperpłaszczyzny . Dotyczy to również funkcji zmiennej zespolonej .
W bardziej ogólnym przypadku przestrzeni Banacha możemy napisać
gdzie D F ( ) jest różnica z F na . Tutaj odwzorowanie liniowe to nic innego jak D f ( a ) .
Przybliżenie afiniczne styczne jest używane w szczególności w metodzie Newtona do zbliżenia się do zer funkcji różniczkowalnej.
PrzykładAby znaleźć przybliżoną wartość z 3 √ 25 , możemy postępować w następujący sposób:
Optyka gaussowska to geometryczna technika optyczna , która opisuje zachowanie promieni świetlnych w układach optycznych przez przybliżenie przyosiowe , gdzie kąty między promieniami a osią optyczną są bardzo małe. W tym przypadku wyrażenia zależne od kątów, wyrażone funkcjami trygonometrycznymi, mogą być aproksymowane liniowo. W ten sposób można uzyskać prawidłowe przybliżenia ogniskowej, powiększenia i jasności.
Okres drgań wahadła ciężkiego zależy od jego długości, natężenia grawitacji i amplitudy drgań θ 0 , ale nie od masy. Okres T wahadła prostego, w idealnym przypadku, jest wyrażony w swojej dokładnej postaci przez szereg nieskończony:
gdzie L jest długością, a g lokalnym przyspieszeniem ziemskim.
Jednak w przypadku małych oscylacji, takich jak sin θ ≈ θ , uwzględnienie tego liniowego przybliżenia pozwala uzyskać:
iw tej formie nie zależy już od amplitudy. Ta właściwość izochronizmu jest podstawą pomiarów czasu trwania.