Cyfrowa interpolacja

W analizie numerycznej (w dyskretnych algorytmicznego zastosowania do obliczeń numerycznych ) interpolacji jest operacji matematycznej pozwalając na krzywej lub funkcję być zastąpiony przez inną krzywą (lub funkcji), który jest prostszy, lecz który zbiega się z pierwszym z nich. skończona liczba punktów (lub wartości) podana na początku. W zależności od rodzaju interpolacji, oprócz zbieżności w skończonej liczbie punktów lub wartości, krzywa lub skonstruowana funkcja mogą również zostać poproszone o zweryfikowanie dodatkowych właściwości. Wybór punktów początkowych (lub wartości) jest ważnym elementem z punktu widzenia konstrukcji.

Najprostszym rodzajem interpolacji krzywej jest interpolacja liniowa, która polega na „połączeniu punktów” wyznaczonych przez odcinki linii. Można go użyć do oszacowania punktów krzywej położonych między punktami podanymi na początku. Ta sama zasada służy do szacowania wartości pośrednich wartości podanych w tabeli trygonometrycznej.

Należy odróżnić interpolację funkcji od aproksymacji funkcji , która polega na szukaniu funkcji najbliższej, według określonych kryteriów, danej funkcji. W przypadku przybliżenia generalnie nie wymaga się już dokładnego przechodzenia przez punkty podane na początku. Pozwala to na lepsze uwzględnienie przypadku błędów pomiarowych, a tym samym wykorzystanie danych eksperymentalnych do poszukiwania praw empirycznych coraz częściej zależy od regresji liniowej , czy bardziej ogólnie od metody najmniejszych kwadratów .

Interpolacja liniowa

W przypadku interpolacji liniowej powstaje krzywa interpolacji będąca ciągiem segmentów . Pomiędzy dwoma punktami i odpowiednimi współrzędnymi a interpolację określa następujący wzór $p_1$ $p_2$ $(x_ {1}, y_ {1})$ $(x_ {2}, y_ {2})$

y = p \ cdot (x-x_ {1}) + y_ {1}

z nachyleniem p, które jest wyrażone jako

p = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}.

Interpolacja kosinusowa

Używamy tutaj funkcji cosinus do lokalnego modelowania krzywej. Do oceny funkcji zastępującej krzywą dyskretną potrzebne są tylko dwa punkty. Styczna do każdego piku jest pozioma, co oznacza, że każdy pik na krzywej w rzeczywistości odpowiada znanemu punktowi na dyskretnej krzywej.

Interpolacja wielomianowa

Interpolacja wielomianowa jest użycie wielomianu jedyny stopień tak duża jak to konieczne do lokalnego oszacowania równanie krzywej reprezentującej określenia wartości pomiędzy próbkami.

Rozkład punktów interpolacji

Aby przedstawić funkcję w informatyce, generalnie bierzemy „określoną liczbę” punktów i wykonujemy interpolację wielomianową, która pozwala uniknąć obliczania zbyt wielu punktów. Powstaje wtedy pytanie o wybór punktów.

Początkowo możemy zdobywać punkty regularnie rozdzielane w interwale. Może to jednak dawać „ efekty krawędziowe ” (wielomian dobrze przedstawia się w środku przedziału, ale zachowuje się inaczej na krawędziach, chociaż przechodzi przez punkty) i jest problematyczny w miejscach, w których zmiany nachylenia są ważne.

Aby uniknąć efektów krawędziowych, używamy punktów rozłożonych zgodnie z funkcją sinusoidalną (na krawędziach jest więcej punktów niż w środku), patrz wielomian Czebyszewa .

Możemy również użyć „ automatycznego ponownego tworzenia siatki ”: dla każdego przedziału obliczamy różnicę między wielomianem a funkcją w punkcie środkowym, a jeśli ta różnica jest większa niż próg tolerancji, dodajemy punkt w środku przedziału.

Interpolacja wielomianowa według części

Używamy tutaj równania wielomianowego do lokalnego modelowania krzywej.

W przypadku interpolacji sześciennej do oceny funkcji, która zastępuje krzywą dyskretną, potrzebne są cztery punkty. Wszystko zależy od zastosowanych warunków ciągłości , kształt sześcienny może się zmieniać i dawać inną interpolację, na przykład: sześcienna interpolacja Keys lub sześcienna interpolacja sklejana, interpolacja Akima.

Styczna do każdego punktu wskaźnika i ma takie samo nachylenie jak odcinek łączący punkty o indeksie i - 1 oraz i + 1, co oznacza, że każdy szczyt krzywej może zostać przekroczony przez interpolowaną krzywą.

Aplikacje

Kalibracja przyrządu metrologicznego : poprzez pomiar znanych punktów (wzorców) reguluje się parametry prawa odnoszące mierzone natężenie (generalnie prąd lub napięcie opuszczające detektor) do intensywności zjawiska; w związku z tym prawo jest używane do interpolacji między punktami norm.
Reprezentacja graficzna
Gotowe elementy
Obróbka interpolacyjna

Uwagi i odniesienia

(w) „ The Akima interpolation ” on IμE (Institute for Microelectronics, Technical University of Vienna ) (dostęp 15 stycznia 2018 )

Zobacz też

Powiązane artykuły

Link zewnętrzny

(en) Paul Bourke, „ Metody interpolacji ” ,Grudzień 1999

Claudia Negulescu, „ Interpolacja ” , 2007-2008