Przestrzeń ochronna

W matematyce , a dokładniej w algebrze liniowej , definiujemy przestrzeń bidualną w przestrzeni wektorowej E jako podwójnej przestrzeni E ** podwójnej przestrzeń E * z E .

Kanoniczne odwzorowanie liniowe

W dalszej części rozważymy ( E , +,.) K - przestrzeń wektorową , gdzie K oznacza pole przemienne .

Istnieje kanoniczne zastosowanie liniowe i e z e w bidual, łącząc je z wektorem X z e formę liniową w E * zdefiniowane dla każdej liniowej formy h o E . Innymi słowy : $x ^ {{**}}$ $x ^ {{**}} (h) = h (x)$

${\ Displaystyle i_ {E}: \ lewo \ {{\ początek {tablica} {lll} E & \ do i E ^ {**} \\ x & \ mapsto & \ lewo \ {{\ początek {tablica} { lll} E ^ {*} & \ to & K \\ h & \ mapsto & h (x) \ end {tablica}} \ right. \ end {tablica}} \ right.}$

Innymi słowy, liniowa mapa i E wiąże z dowolnym wektorem x E mapę x ** w E **, która ocenia formy liniowe na E w x .

Wymiar gotowy

Gdy przestrzeń wektorowa E ma skończony wymiar, i E jest izomorfizmem (patrz Baza podwójna ), a bidual jest kanonicznie izomorficzny z przestrzenią wektorową E, co pozwala w praktyce je zidentyfikować .

Nieskończony wymiar

W nieskończonym wymiarze aksjomat wyboru pozwala pokazać, że ta mapa i E jest iniekcyjna , ale i E nigdy nie jest izomorfizmem . Twierdzenie Erdős-Kaplansky zakłada, że istnieje jeszcze żaden izomorfizm między E i bidual .

Funkcjonalna konstrukcja

Konstrukcja i jest funktorem w następującym kierunku. Funkcjonalność jest bardziej precyzyjna niż „kanoniczność”. Functoriality dla izomorfizmów oznacza niezależność od wyboru podstawy. $fa$

W przypadku każdego zastosowania liniowego mamy aplikację podwójną, a zatem aplikację indywidualną . Więc aplikacje i sprawdź . Z moralnego punktu widzenia izomorfizm funktorski jest zgodny z każdą operacją liniową. $f: E \ do F$ $f ^ {{*}}: F ^ {*} \ do E ^ {*}$ $f ^ {{**}}: E ^ {{**}} \ do F ^ {{**}}$ $i_ {E}: E \ do E ^ {{**}}$ $i_ {F}: F \ do F ^ {{**}}$ $i_ {F} f = f ^ {{**}} i_ {E}$

Gdy E jest topologiczną przestrzenią wektorową , powinniśmy uważać na istnienie innego pojęcia dualizmu (następnie bidualności), które uwzględnia dodatkową strukturę; odsyłamy do artykułu Topologia podwójna , a dokładniej do sekcji zatytułowanej „Bidual (topologiczna)”.