Ograniczenie (matematyka)

W matematyce , ograniczenie z funkcji $f$ jest funkcja , często oznaczone $f |$ Lub , dla którego rozważa jedynie wartości podejmowanych przez $F$ w domenie zawartej w dziedzinie definicji z $f$ . ${\ displaystyle f {\ upharpoonright _ {A}}}$

Definicja

Niech $f : E \to F$ do funkcji na zbiorze $E$ do zbioru $F$ . Jeśli weźmiemy $A$ , podzbiór $E$ , to ograniczenie $f$ na $A$ jest funkcją:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {f |} _ {A} \ dwukropek i A i \ do i F \\ & x & \ mapsto & f | _ {A} (x) = f (x) \ koniec {aligned}}}

Ograniczenie $f$ na $A$ jest zatem równe $f$ na $A$ , ale nie jest zdefiniowane w pozostałej części domeny $f$ .

Przykłady

Ograniczeniem funkcji nieinjekcyjnej w domenie jest funkcja iniekcyjna . ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}, \ x \ mapsto x ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} = [0, + \ infty [}$ ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} _ {+} \ do \ mathbb {R}, \ x \ mapsto x ^ {2}}$
Silnia można traktować jako ograniczenia funkcji gamma na dodatnich liczb całkowitych, z odpowiednim przesunięciem: ${\ Displaystyle {\ Gamma |} _ {\ mathbb {Z} ^ {+}} \! (n) = (n-1)!}$

Nieruchomości

Ograniczenie funkcji do całej jej dziedziny definicji jest równe samej funkcji: $f | dom ( f ) = f$ .
Ograniczenie dwa razy jest tym samym, co ograniczenie raz: tak , w takim razie . ${\ Displaystyle A \ subseteq B \ subseteq \ operatorname {dom} f}$ ${\ displaystyle (f | _ {B}) | _ {A} = f | _ {A}}$
Ograniczenie tożsamości funkcji na zbiorze X do podzbioru A z X jest po prostu kanoniczny włączenie z A na X .
Ograniczenie zachowuje ciągłość.

Aplikacje

Funkcje wzajemne

Aby funkcja miała odwrotność, musi być bijektywna . Jeśli tak nie jest, możemy zdefiniować ograniczenie funkcji w dziedzinie, w której jest ona bijektywna, a zatem zdefiniować odwrotność. Na przykład funkcja square :

{\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, f (x) = x ^ {2}}

nie jest iniekcyjna (ponieważ mamy $f ( x ) = f (- x )$ . Jednak biorąc pod uwagę ograniczenie na półprostej dodatnich liczb rzeczywistych $[0, + \infty [$ , możemy zdefiniować odwrotność, pierwiastek kwadratowy :

{\ Displaystyle \ forall y \ in \ mathbb {R} _ {+}, f ^ {- 1} (y) = {\ sqrt {y}}.}

Funkcje pierwiastkowe potęgi parzystej, funkcje arcus cosinus i arc sinus , opierają się na tej samej zasadzie.

Bibliografia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Restriction (mathematics) ” ( zobacz listę autorów ) .

(w) Robert Stoll, Zbiory, teorie logiczne i aksjomatyczne , WH Freeman and Company , str. 5.
(w) Paul Halmos , Naive Set Theory , Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Przedruk przez Springer-Verlag, Nowy Jork, 1974 ( ISBN 0-387-90092-6 ) (wydanie Springer-Verlag). Przedrukowane przez Martino Fine Books, 2011. ( ISBN 978-1-61427-131-4 ) (wydanie w miękkiej oprawie).
(w) James R. Munkres, Topology , vol. 2, Upper Saddle River, Prentice Hall ,2000.
(w) Colin Conrad Adams i Robert David Franzosa , Wprowadzenie do topologii: czysta i stosowana , Prentice Hall ,2008.