Łuk zatokowy
Funkcja łuku sinusoidalnego
Graficzne przedstawienie funkcji arcus sinus.
| Ocena |
arcsin(x){\ Displaystyle \ arcsin (x)}
|
|---|
| Odwrotność |
grzech(x){\ Displaystyle \ sin (x)} pewnie [-π2,π2]{\ Displaystyle \ left [- {\ Frac {\ pi} {2}}, {\ Frac {\ pi} {2}} \ right]}![{\ Displaystyle \ left [- {\ Frac {\ pi} {2}}, {\ Frac {\ pi} {2}} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54381f086ac9ffe8306d413f813abcb616e95dee)
|
|---|
| Pochodna |
11-x2{\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
|
|---|
| Prymitywy |
xarcsin(x)+1-x2+VS{\ Displaystyle x \ arcsin (x) + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}
|
|---|
W matematyce The sinusoidalny łuk z liczby rzeczywistej włączone (w szerokim tego słowa znaczeniu) między -1 i +1 jest jedynie miarą kąta w radianach, którego sinus jest równa tej liczbie, a między i .
-π2{\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}
π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}
Funkcja , która kojarzy się z dowolnej liczby rzeczywistej zawarte w szerokim sensie pomiędzy -1 i 1 wartości jego łuku sinus zauważyć arcsin (Arcsin lub Asin w notacji francuskiego sin -1 , asin lub Asn w notacji anglosaskiej). Jest to odwrotność bijection z ograniczeniem w trygonometryczną funkcję sinus do przedziału .
[-π2,π2]{\ Displaystyle \ left [- {\ Frac {\ pi} {2}}, {\ Frac {\ pi} {2}} \ right]}
W kartezjańskim układzie współrzędnych z ortonormalnych do płaszczyzny The charakterystycznej krzywej otrzymano z funkcją sinusoidalną łukowego krzywą reprezentującą ograniczenia funkcji sinus do przedziału przez odbicie od osi linii równanie y = x .
[-π2,π2]{\ Displaystyle \ left [- {\ Frac {\ pi} {2}}, {\ Frac {\ pi} {2}} \ right]}
Pochodna
Jako pochodna odwrotnego bijekcji , arcsin jest różniczkowalny na ] –1, 1 [ i spełnia
arcsin′x=11-x2{\ Displaystyle \ arcsin 'x = {\ Frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
.
Wzór ten uzyskuje się dzięki twierdzeniu o pochodnej odwrotności bijekcji i relacji
sałata(arcsinx)=1-x2{\ Displaystyle \ cos (\ arcsin x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}
.
W przypadku ,
|z|≤1{\ displaystyle | z | \ leq 1}
arcsinz=z+12⋅z33+1⋅32⋅4⋅z55+1⋅3⋅52⋅4⋅6⋅z77+...=∑nie=0∞(2nie-1)!!(2nie)!!⋅z2nie+12nie+1=∑nie=0∞(2nienie)z2nie+14nie(2nie+1).{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ arcsin Z & = Z + {\ Frac {1} {2}} \ cdot {\ Frac {Z ^ {3}} {3}} + {\ Frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ cdot {\ frac {z ^ {5}} {5}} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ cdot {\ frac {z ^ {7}} {7}} + \ dots \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}} \ cdot {\ frac {z ^ {2n + 1}} {2n + 1}} \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ binom {2n } {n}} z ^ {2n + 1}} {4 ^ {n} (2n + 1)}}. \ end {aligned}}}
(Zobacz także Funkcja hipergeometryczna # Przypadki specjalne ).
Demonstracja
Rozwój pochodnych jest:
arcsin′(z)=(1-z2)-12=1+(-12)(-z2)+(-12)(-32)2(-z2)2+(-12)(-32)(-52)2⋅3(-z2)3+⋯=1+12z2+1⋅32⋅4z4+1⋅3⋅52⋅4⋅6z6+...,{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ arcsin '(z) & = (1-z ^ {2}) ^ {- {\ Frac {1} {2}}} \\ & = 1+ \ lewo (- {\ frac {1} {2}} \ right) (- z ^ {2}) + {\ frac {\ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) \ left (- {\ frac {3} {2}} \ right)} {2}} (- z ^ {2}) ^ {2} + {\ frac {\ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) \ left (- {\ frac {3} {2}} \ right) \ left (- {\ frac {5} {2}} \ right)} {2 \ cdot 3}} (- z ^ {2}) ^ {3} + \ cdots \\ & = 1 + {\ frac {1} {2}} z ^ {2} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} z ^ {4} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} z ^ {6} + \ dots, \ end {aligned}}}
stąd wynik, poprzez „ całkowanie ” terminu po członie .
Nieokreślona forma całkowa
Funkcję tę można zapisać w postaci całki nieoznaczonej :
arcsinx=∫0x11-t2ret{\ Displaystyle \ arcsin x = \ int _ {0} ^ {x} {\ Frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} t}
.
Prymitywy
Te prymitywy sinus łuku uzyskuje się poprzez integrację przez części :
∫arcsinxrex=xarcsinx+1-x2+VS{\ Displaystyle \ int \ arcsin x \, \ mathrm {d} x = x \ arcsin x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}
.
Zależność między arcus sinus i arc cosinus
Dla dowolnego rzeczywistego x między –1 a 1 :
arccosx+arcsinx=π2{\ Displaystyle \ arccos x + \ arcsin x = {\ Frac {\ pi} {2}}}
.
Postać logarytmiczna
Możemy wyrazić funkcję arcus sinus za pomocą logarytmu zespolonego :
arcsinx=-jaln(jax+1-x2){\ Displaystyle \ arcsin x = - {\ rm {i}} \ ln \ lewo ({\ rm {i}} x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ prawej)}
.
Odniesienie
-
Notacja z programu matematycznego w CPGE , str. 10 .
Zobacz też
Powiązane artykuły
Linki zewnętrzne
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">