Archimedesa

Pierwotnie stwierdzenie aksjomatu Archimedesa brzmiało następująco: „Dla dwóch nierównych wielkości zawsze istnieje całkowita wielokrotność mniejszej, większej od większej. "

O strukturze mówi się, że jest archimedesem, jeśli jej elementy weryfikują porównywalną właściwość.

Grupa

Grupa uporządkowany ( G +, ≤) mówi Archimedesa  (PL) , gdy dla wszystkich elementów i b z G spełniających 0 < a < b , istnieje wiele naturalnych n takie, że n > b .

Formalnie jest napisane:

∀w,b∈sol(0<w<b⇒∃nie∈NIEw+w+...+w⏟n razy>b).{\ displaystyle \ forall a, b \ in G \ quad (0 <a <b \ Rightarrow \ istnieje n \ in \ mathbb {N} \ quad \ underbrace {a + a + \ ldots + a} _ {\ text { n razy}}> b).}

Hipoteza a > 0 jest niezbędna, ale ograniczenie do b > a jest przypadkowe: jeśli a > 0, to dla wszystkich b ≤ a odpowiednia jest liczba całkowita n = 2 .

Każda w pełni uporządkowana grupa archimedesa pogrąża się w ( ℝ , +, ≤) - w szczególności jest abelowa .

Pierścień

Niech ( A , +, ×, ≤) będzie całkowicie uporządkowanym pierścieniem .

Mówimy, że ( A , +, ×, ≤) spełnia aksjomat Archimedesa lub jest Archimedesem, jeśli uporządkowana grupa ( A , +, ≤) jest archimedesowa.

Ciało

Niech ( K , +, ×, ≤) będzie całkowicie uporządkowanym polem (szczególny przypadek całkowicie uporządkowanego pierścienia). Podział przez a > 0 pokazuje, że jest Archimedesa wtedy i tylko wtedy

∀x∈K.,∃nie∈NIE Jak na przykład nie>x{\ Displaystyle \ forall x \ w K \ istnieje n \ w \ mathbb {N} {\ tekst {taki jak}} n> x}

innymi słowy, jeśli ℕ nie jest zwiększane . Takie pole jest izomorficzne (jako pole uporządkowane) do części podrzędnej pola rzeczywistego .

Dokładniej możemy pokazać, że następujące właściwości są równoważne:

1. K jest archimedesem.
2. ℚ ciało racjonalne jest gęsty w K .
3. Sekwencja (1 / n ) jest zbieżna do 0 (dla topologii rzędu ).
4. Sekwencja (1 / n ) jest zbieżna.
5. K jest zanurzone w polu ℝ liczb rzeczywistych, to znaczy jest izomorficzne (jako pole uporządkowane) do podpola ℝ.
6. Jeśli (A, B) jest odcięcie od K , następnie do wszystkich ε> 0, istnieje w element oraz b elementu B, w taki sposób, b - a <ε.
7. Każda rosnąca i zwiększona sekwencja pochodzi od Cauchy'ego .

Dowód równoważności między właściwościami 1, 2, 3 i 4

1 ⇒ 2: patrz § „Przykłady” artykułu Gęsta kolejność .

2 ⇒ 3: jeśli ℚ jest gęsta, to dla wszystkich ε> 0 w K istnieje wymierny dokładnie między 0 a ε, stąd istnienie liczb całkowitych q > 0 i p takich, że

∀nie≥q,ε>pq≥1q≥1nie>0.{\ displaystyle \ forall n \ geq q, \ quad \ varepsilon> {\ frac {p} {q}} \ geq {\ frac {1} {q}} \ geq {\ frac {1} {n}}> 0.}

3 ⇒ 4 jest oczywiste.

4 ⇒ 1: w K , jeśli (1 / n ) zbiega się wtedy

1nie(nie+1)=1nie-1nie+1→0+{\ Displaystyle {\ Frac {1} {n (n + 1)}} = {\ Frac {1} {n}} - {\ Frac {1} {n + 1}} \ do 0 ^ {+}}

w związku z tym

nie(nie+1)→+∞,{\ Displaystyle n (n + 1) \ do + \ infty,}

tak, że ℕ nie jest zwiększane.

Uwagi

Aksjomat ten występuje również jako aksjomat IV, 1 „grupy IV ciągłości” w aksjomatach geometrii euklidesowej zaproponowanych przez Hilberta w 1899 roku . Hilbert pokazuje na przykład, że dowód równości powierzchni między dwoma równoległobokami o tej samej podstawie i tej samej wysokości koniecznie wykorzystuje aksjomat Archimedesa.

Hilbert pokazuje również, że w dziedzinie, jeśli nie zakładamy przemienności mnożenia, to koniecznie ta przemienność iloczynu wynika z archimedesowego charakteru ciała. Aby pokazać, że ab = ba , chodzi o to, aby wziąć dowolnie mały element d i użyć archimedesa ciała, aby zawrzeć a między nd i ( n + 1) d i zamknąć b między md i ( m + 1) d , dla dwóch liczb całkowitych m i n . Używamy tego ograniczenia, aby wydedukować z niego dowolnie małe ograniczenie ab - ba i wyciągnąć wniosek, że ta różnica wynosi zero.

Jak każde pole Archimedesa, pole liczb rzeczywistych spełnia „multiplikatywną własność Archimedesa”: dla dowolnego rzeczywistego M i dowolnej liczby rzeczywistej y > 1 istnieje liczba naturalna n taka, że y n ≥ M (właściwość tę zademonstrowano w artykule „  Geometric sekwencja  ”).

Przykłady

Przykład 1

(ℚ, +, ×, ≤) i (ℝ, +, ×, ≤) są ciałami Archimedesa. Ponieważ ℚ jest to natychmiastowe; dla ℝ jest to część aksjomatów lub jest z nich wydedukowane, w zależności od wybranego aksjomatyki: por. „  Budowa liczb rzeczywistych  ”.

Przykład 2

Oto przykład pierścienia nie-archimedesa. Rozważmy pierścień ℝ [ X ] wielomianów nad ℝ. Powiemy, że R > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy R jest niezerowe i jego dominujący współczynnik jest dodatni, a P ≤ Q wtedy i tylko wtedy, gdy P = Q lub Q - P > 0.

Wtedy (ℝ [ X ], +, ×, ≤) jest całkowicie uporządkowanym pierścieniem, ale nie jest archimedesem.

Rzeczywiście, dla dowolnej liczby całkowitej n mamy X > n . W tym uporządkowanym pierścieniu X jest „nieskończenie dużym”.

Kanoniczne rozszerzenie tego porządku na pole ułamków ℝ [ X ] jest więc całkowitym niearchimedesowym porządkiem na ℝ ( X ) , w którym 1 / X jest „  nieskończenie małym  ”.

Przykład 3

Pomyśl o grupie wyposażonej w porządek leksykograficzny . Więc ta grupa nie jest archimedesem. Dla każdej ściśle dodatniej liczby całkowitej n otrzymujemy: Z×Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}}

0 < n (0, 1) = (0, n ) <(1, 0).

Uwagi i odniesienia

1. (w) Andrew W. Glass , Grupy częściowo uporządkowane , World Scientific ,1999( czytaj online ) , s.  56, Twierdzenie Höldera .
2. Glass 1999 , s.  55.
3. Por. Np. N. Bourbaki , Elementy matematyki - Algebra VI - 7. Uporządkowane ciała i grupy - §2- przykład. 26 lub Saunders Mac Lane i Garrett Birkhoff , Algebra [ szczegóły wydań ], T1 - V - 5 Pole liczb rzeczywistych - np. 12. Wyjaśnia to również uwaga w artykule Konstrukcja liczb rzeczywistych .
4. (w :) Holger Teismann , „  Toward a more Complete List of Axioms Completeness  ” , Amer. Matematyka. Miesięcznie , vol.  120 n O  2luty 2012( DOI  10.4169 / amer.math.monthly.120.02.099 ).
5. Jean-Pierre Ramis , André Warusfel i wsp. , Matematyka: wszystko w jednym dla licencji - poziom L1 , Dunod , pot.  "Sup Sciences",2013, 2 II  wyd. ( 1 st  ed. 2006) ( czytaj on-line ) , s.  526, propozycja 8.
6. (en) Serge Lang , Algebra , Addison-Wesley ,1974, 6 th  ed. , s.  272.
7. (in) PM Cohn , Podstawowa algebra: grupy, pierścienie i pola , Springer ,2004( czytaj online ) , s.  274, th. 8.6.2.
8. A. Bouvier , M. George i F. Le Lionnais , Słownik matematyki , PUF ,1979, s.  57.
9. Zanurza się w ℝ [ X ] podanym w poprzednim porządku przez mapę ( p , q ) ↦ pX + q .

Zobacz też

Bibliografia

David Hilbert , The Foundations of Geometry , Dunod, Paris 1971 lub Gabay, 1997

Powiązane artykuły

• Geometria nie Archimedesa  (en)
• Korpus rozkazał nie Archimedean  (en)
• Cała część
• Seria formalna

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">