Łączność za pomocą łuków

W matematyce , a dokładniej w topologii , łączność za pomocą łuków jest udoskonaleniem pojęcia łączności . Przestrzenią topologiczną mówi się, że połączone łukami jeśli dowolne dwa punkty mogą być zawsze połączone ścieżką . Chociaż łączność jest podstawowym pojęciem, łączność za pomocą łuków jest bardziej intuicyjna i bardzo często okazuje się, że jest najlepszym sposobem udowodnienia łączności.

Ścieżki

Przed zdefiniowaniem połączenia za pomocą łuków konieczne jest zdefiniowanie tego, co nazywa się „połącz ścieżką”. W zależności od otoczenia, w jakim się znajdujemy, można rozważyć poszczególne ścieżki.

Jeśli E jest przestrzenią topologiczną i jeśli x i y są dwoma punktami E , nazywamy początek x i końcową ścieżkę y dowolną ciągłą mapą, taką jak i . γ:[0,1]→mi{\ Displaystyle \ gamma: [0,1] \ rightarrow E}γ(0)=x{\ Displaystyle \ gamma (0) = x}γ(1)=y{\ Displaystyle \ gamma (1) = y}

Mówimy, że x i y są połączone, jeśli istnieje ścieżka początku x i końca y .

Stosunek „  x jest połączony Y  ” oznacza stosunek równoważności na E , której równoważność klasy są nazywane związanych elementów przez łuki o E .

Demonstracja

• x jest powiązane z x dzięki stałej ścieżce do wszystkiego;γ(t)=x{\ Displaystyle \ gamma (t) = x}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}
• jeśli x jest połączone z y, to y jest połączone z x , dzięki przeciwnej ścieżce dla wszystkiego  ;γ¯(t)=γ(1-t){\ Displaystyle {\ overline {\ gamma}} (t) = \ gamma (1-t)}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}
• jeśli x jest związane z y, a y jest związane z z, to x jest związane z z . Rzeczywiście, jeśli łączy x z y i łączy y z z, to ścieżka złożona zdefiniowana przez si i si łączy x z z .γ1{\ displaystyle \ gamma _ {1}}γ2{\ displaystyle \ gamma _ {2}} γ=γ2⋆γ1{\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {2} \ star \ gamma _ {1}}γ(t)=γ1(2t){\ Displaystyle \ gamma (t) = \ gamma _ {1} (2t)}0≤t≤1/2{\ Displaystyle 0 \ równoważnik t \ równoważnik 1/2}γ(t)=γ2(2t-1){\ Displaystyle \ gamma (t) = \ gamma _ {2} (2t-1)}1/2≤t≤1{\ Displaystyle 1/2 \ równoważnik t \ równoważnik 1}

Ścieżki w znormalizowanej przestrzeni wektorowej

Jeśli otaczająca przestrzeń E jest znormalizowaną przestrzenią wektorową , można określić charakter ścieżek, które łączą punkty.

• Proste ścieżki: mówi się, że ścieżka jest prosta, jeśli można ją napisać na wszystko . Wektorem nazywamy wektor dyrektora o . Wsparcie ścieżki jest wtedy odcinek.γ(t)=x+tu→{\ Displaystyle \ gamma (t) = x + t {\ vec {u}}}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}γ{\ displaystyle \ gamma}
• Ścieżki wielokątne: o ścieżce mówi się, że jest wielokątna, jeśli jest zapisana jako złożona ze skończonej liczby ścieżek prostoliniowych. Na przykład jazda na Manhattanie to wielokątna ścieżka.
• Ścieżki klas  : ścieżka może być klasą z . W rzeczywistości każda ścieżka jest klasowa, to znaczy ciągła, ale możemy mieć wyższe poziomy regularności. Ścieżka klasowa z będzie bardziej regularna, jeśli wszystko . Zwykła ścieżka klasowa to gładka ścieżka .VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}} VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}k∈NIE{\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N}}VS0{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0}}VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}k∈NIE∗{\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N} ^ {*}}γ′(t)≠0{\ Displaystyle \ gamma '(t) \ neq 0}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}

Łączność za pomocą łuków

Te różne typy ścieżek umożliwią zdefiniowanie różnych typów połączeń za pomocą łuków w zależności od przypadku.

Definicja

Przestrzeń topologiczna e mówi ścieżki podłączone jeżeli każda para punktów E jest połączony ścieżką, w których nośnik jest zawarta w E .

Część z E (dostarczone z topologią ) jest ścieżka połączone tylko wtedy, gdy każda para punktów A jest połączona przez ścieżkę pozostającego w .

Mówi się, że część A znormalizowanej przestrzeni wektorowej jest połączona wielokątnymi łukami (odpowiednio łukamiVSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}} ), jeśli dowolne dwa punkty A mogą być połączone wielokątną ścieżką (odpowiednio klasy ). VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}

Przykłady

• W znormalizowanej przestrzeni wektorowej część wypukła lub gwiazdowa jest połączona łukami.
• Koło jest połączone łukami , ale nie przez wielokątnych łuków.VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}
• Kwadrat jest podłączony przez wielokątnych łuków, ale nie przez łuki .VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}
• Płaszczyzny pozbawiony policzalnych części (lub nawet „  tylko  ” nie posiadający moc kontinuum ) jest połączony wielokątnych łuków i łuków C ∞ .
• Prostopadłe specjalną grupę SO ( N , ℝ) i ogólnie grupę liniową GL ( n , ℂ) są połączone za pomocą łuków (z topologią przez normę o M n (ℂ)).
• Ogólna grupa liniowa GL ( n , ℝ) ma dwa komponenty połączone łukami.

Powiązanie z łącznością

Każda przestrzeń połączona łukami jest połączona , ale odwrotność jest fałszywa. Oto klasyczny kontrprzykład. Definiujemy funkcję f przez

fa:]0,1]→Rx↦grzech⁡(1x).{\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} f: i] 0,1] i \ do i \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & \ sin \ left ({\ Frac {1} {x}} \ po prawej). \ end {matrix}}}

Ta funkcja jest włączona] 0, 1]. Oznaczmy przez gamma jego wykres i C adhezji z y: Γ={(x,fa(x))|x∈]0,1]},VS=Γ¯=Γ∪({0}×[-1,1]).{\ Displaystyle \ Gamma = \ {(x, f (x)) | x \ in] 0,1] \}, \ quad C = {\ overline {\ Gamma}} = \ Gamma \ cup \ left (\ { 0 \} \ times [-1,1] \ right).}

Następnie Γ jest połączone (jako wykres funkcji ciągłej w rzeczywistym przedziale ), więc jego przyczepność również C , ale C nie jest połączona łukami.

Podobnie, krzywa sinusoidalna topologa Γ ∪ {(0, 0)} jest połączona, ale nie jest połączona łukami.

Jednak:

• w ℝ , o typowej topologii, połączone części ( odstępy ) są połączone łukami;
• bardziej ogólnie, każda przestrzeń połączona i lokalnie połączona łukami (na przykład: każda połączona otwarta przestrzeń znormalizowanej przestrzeni wektorowej, takiej jak przestrzeń euklidesowa ) jest połączona łukami.

Połączenie z ciągłością

Łączność za pomocą łuków, podobnie jak łączność, jest chroniona przez ciągłe mapowanie . Jeśli jest ciągłą mapą między dwiema przestrzeniami topologicznymi i jeśli przestrzeń początkowa E jest połączona łukami, to jej obraz f ( E ) jest połączony łukami. fa:mi→fa{\ displaystyle f: E \ rightarrow F}

Demonstracja

Jeśli , to istnieje a i b w E takie, że i . Przestrzeń E jest połączona łukami, istnieje ścieżka łącząca a z b . Związek mapa jest ciągłe i łączy x do y , co pokazuje, że F ( x ) jest połączona łuków. (x,y)∈fa(mi)2{\ Displaystyle (x, y) \ w f (E) ^ {2}}x=fa(w){\ displaystyle x = f (a)}y=fa(b){\ displaystyle y = f (b)}γ:[0,1]→X{\ Displaystyle \ gamma: [0,1] \ rightarrow X} γ′=fa∘γ:[0,1]→fa(mi){\ Displaystyle \ gamma '= f \ circ \ gamma: [0,1] \ rightarrow f (E)}

Podobne wyniki mamy dla bardziej szczegółowych typów połączeń za pomocą łuków:

• połączenie za pomocą łuków wielokątnych jest zachowane przez mapy liniowe i mapy afiniczne  ;
• łączność za pomocą łuków jest zachowana przez - dyfeomorfizmy .VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}

Produkt

Każdy iloczyn przestrzeni połączonych łukami jest połączony łukami.

Rzeczywiście, jeśli x i y są dwoma punktami i jeśli są połączone łukami, dla każdego indeksu i istnieje ścieżka z wartościami takimi, że: , . Zdefiniowana wówczas ścieżka łączy x z y . mi=∏ja∈jamija{\ displaystyle E = \ prod _ {i \ in I} E_ {i}}mija{\ displaystyle E_ {i}}γja{\ displaystyle \ gamma _ {i}}mija{\ displaystyle E_ {i}}γja(0)=xja{\ Displaystyle \ gamma _ {i} (0) = x_ {i}}γja(1)=yja{\ Displaystyle \ gamma _ {i} (1) = y_ {i}}γ:[0,1]→mi{\ Displaystyle \ gamma: [0,1] \ do E}γ(t)=(γja(t))ja∈ja{\ Displaystyle \ gamma (t) = (\ gamma _ {i} (t)) _ {ja \ in I}}

Uwaga

1. Zobacz na przykład to poprawione ćwiczenie na Wikiwersytecie .

Zobacz też

Prosta łączność

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">