Funkcja wsparcia

Definicja

Funkcja pomocnicza części $P$ znormalizowanej przestrzeni $E$ jest funkcją oznaczoną $σ P$ i zdefiniowaną przez

${\ displaystyle \ sigma _ {P}: E '\ to {\ overline {\ mathbb {R}}}: s \ mapsto \ sigma _ {P} (s) = \ sup _ {x \ w P} \, \ langle s, x \ rangle,}$

gdzie $E "$ jest topologiczna podwójnego od $E$ i ma wartość w postaci ciągłej liniowej $s$ w $x$ . ${\ displaystyle \ langle s, x \ rangle}$

W szczególności ( $sup (\emptyset) = -\infty$ ). ${\ Displaystyle \ sigma _ {\ varnothing} (s) = - \ infty}$

Funkcja wsparcia występuje naturalnie w pewnej liczbie konstrukcji w analizie i analizie wypukłej.

Funkcja połączony z funkcji wskaźnikowej z części $P$ o $E$ jest funkcją wsparcie $P$ .
Funkcja wsparcie kuli jednostkowej w $E$ jest kanoniczny normą podwójnego $E '$ .
Jeżeli $E$ jest euklidesowa przestrzeń jeśli $f$ jest funkcją wypukłą wĹ,asny zdefiniowane w $E$ o wartościach w jego kierunkowy pochodną w punkcie $X,$ w stosunkowo wnętrza części domeny jest funkcją wspierania różnicowego sous o $f$ w $X$ (patrz „ Max Formula ”). $\ R \ cup \ {+ \ infty \}$ $f '(x; \ cdot)$

Funkcja wsparcia dowolnej części jest wypukła jak podlinia .
Poniżej jest bardziej „zamknięty”, czyli półciągły .
Każda część $P$ ma taką samą funkcję pomocniczą jak jej zamknięta wypukła powłoka $co ( P )$ . Dokładniej : ${\ displaystyle \ sigma _ {P} \ leqslant \ sigma _ {Q} \ Leftrightarrow {\ overline {\ operatorname {co}}} (P) \ subset {\ overline {\ operatorname {co}}} (Q)}$ .
A fortiori każda część pełni tę samą funkcję podparcia, co jej przyczepność i wypukła powłoka : ${\ displaystyle \ sigma _ {P} = \ sigma _ {\ overline {P}} = \ sigma _ {\ operatorname {co} (P)}}$ .

Ważona suma zbiorów Dla wszystkich części

P , Q

E

i wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych

α , β

{\ Displaystyle \ sigma _ {\ alfa P + \ beta Q} = \ alfa \ sigma _ {P} + \ beta \ sigma _ {Q}}

. Transformacja za pomocą mapy liniowej Niech

F

inny unormowanej przestrzeni, z liniową funkcję ciągłą , jego asystent i

P

częścią

E

{\ displaystyle A: E \ do F}

{\ Displaystyle A ^ {*}: F '\ do E'}

Tak jest napisane

{\ displaystyle \ sigma _ {A (P)}: F '\ to {\ overline {\ mathbb {R}}}}

{\ Displaystyle \ Sigma _ {A (P)} = \ Sigma _ {P} \ Circ A ^ {*}}

(en) Charalambos D. Aliprantis and Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide , Springer ,2007, 3 e ed. ( 1 st ed. 1999) ( czytaj on-line )
(en) JM Borwein i AS Lewis, Convex Analysis and Nonlinear Optimization , Nowy Jork, Springer,2006, 2 II wyd. ( 1 st ed. 2000) ( odczyt linii )
(en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty i Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis , Springer,2004( 1 st ed. 2001), 259 , str. ( ISBN 978-3-540-42205-1 , czytaj online )
(en) R. Tyrrell Rockafellar , Convex Analysis , Princeton, New Jersey, Princeton University Press , pot. "Princeton serii matematyczny" ( N O , 28),1970( czytaj online )