Aplikacja Sublinear

Pozwolić przestrzeń wektor na ℝ . Mówimy, że aplikacja jest podliniowa, gdy: V{\ displaystyle V}s:V→R∪{+∞}{\ Displaystyle s \, \ dwukropek \, V \ do \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}}

• dla wszystkich wektorów i stanowi , (mówimy, że jest subadditive )x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}V{\ displaystyle V}s(x+y)≤s(x)+s(y){\ Displaystyle s (x + y) \ równoważnik s (x) + s (y)}s{\ displaystyle s}
• dla dowolnego wektora i wszystko , (mówimy, że jest dodatnio jednorodna ).x{\ displaystyle x}λ≥0{\ Displaystyle \ lambda \ geq 0}s(λx)=λs(x){\ Displaystyle s (\ lambda x) = \ lambda \, s (x)}s{\ displaystyle s}

Mapy podliniowe są wypukłe .

Jako przykłady zastosowań nieliniowych przytoczmy półnormy lub, bardziej ogólnie, dowolny miernik wypukłości zawierający pochodzenie.

Uwagi i odniesienia

1. Por. (En) Eric Schechter  (en) , Handbook of Analysis and Its Foundations , Academic Press ,1997( czytaj online ) , s.  313-314. W tym konkretnym przypadku równoważną definicję znajdujemy w (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty i Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis , Springer , wyd.  „Grundlehren Text Editions”,V=Rnie{\ Displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {n}}2004( 1 st  ed. 2001) ( ISBN  978-3-540-42205-1 ) , str.  124oraz w (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty i Claude Lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithms I: Fundamentals , Springer, coll.  „Grundlehren Text Editions”,1993( ISBN  3-540-56850-6 ) , str.  198.
2. W przypadku (z konwencją ) warunek ten implikuje .λ=0{\ displaystyle \ lambda = 0}0×∞=0{\ Displaystyle 0 \ razy \ infty = 0}s(0)=0{\ Displaystyle s (0) = 0}
3. Lub „pozytywnie jednorodny stopnia 1”.