Sześcian | |
Rodzaj | Bryła platońska |
---|---|
Twarze | 6 kwadratów |
Krawędzie | 12 |
Wierzchołki | 8 |
Twarze/wierzchołki | 3 |
Funkcja | 2 |
Symbol Schläfli | {4.3} |
Symbol Wythoffa | 3 |
Wykres Coxetera-Dynkina | |
Podwójny | Regularny ośmiościan |
Grupa symetrii | O H |
Tom | a³ |
Powierzchnia | 6a² |
Kąt dwuścienny | 90 ° |
Nieruchomości | wypukły zonohedron |
W geometrii euklidesowej , A kostka jest w porządku pryzmat których twarze są kwadratowe i dlatego równa i nakładają. Sześcian to jedna z najbardziej niezwykłych brył w kosmosie . Jest to jedyna z pięciu brył Platona , mająca dokładnie 6 ścian, 12 krawędzi i 8 wierzchołków. Jego inna nazwa to „ regularny sześcian ”.
Ponieważ ma cztery wierzchołki na ścianę i trzy ściany na wierzchołek, jego symbol Schläfliego to {4.3}.
Etymologia słowa sześcian jest grecka ; kostka pochodzi z kubos , kości .
Termin cube , zastosowany do liczby , oznacza wartość uzyskaną przez pomnożenie tej liczby przez samą liczbę i pomnożenie wyniku przez liczbę początkową. Wyrażenie to pojawiło się w okresie, gdy algebra geometryczna była wszechobecna, kwadrat liczby był postrzegany jako pole kwadratu poza liczbą początkową, a sześcian liczby jako objętość sześcianu poza pierwotną liczbą. Wyrażenie „ 3 ” można przeczytać „a sześcianu” i „kostka”.
1 szkieletu sześcianu - zbiór wierzchołków połączonych krawędzi - tworzy wykres zwany sześciokątne wykres .
Sześcian jest jedną z pięciu brył Platona . Sześcian należy do rodziny pryzmatów prawostronnych . Ma 8 wierzchołków i 12 krawędzi . W przypadku wierzchołków można wziąć np. punkty o współrzędnych . Ponadto :
Ale z definicji wszystkie jego krawędzie są równej długości, powiedzmy a . Jego ściany są więc kwadratami o polu a 2 .
To właśnie wyraz jego objętości doprowadził do użycia w algebrze słowa sześcian .
Istnieją inne równoważne definicje sześcianu:
Grupa izometrii sześcianu, oznaczona O h , i podgrupa jego dodatnich izometrii (jego obrotów ), oznaczona jako O, są również nazywane ośmiościennymi grupami symetrii , ponieważ są takie same jak te z jego podwójnego wielościanu , l ' regularny ośmiościan .
Sześcian jest jednym z wielościanów oferujących najwięcej symetrii:
Izometria sześcianu ustala jego środek. Jest więc całkowicie określony przez obraz wierzchołka A i dwóch (B i C) jego trzech sąsiadów (ponieważ te trzy punkty tworzą wraz ze środkiem punkt odniesienia w przestrzeni ). Wierzchołek A może mieć jako obraz dowolny, A ', z 8 wierzchołków sześcianu. Dla wierzchołka B są wtedy 3 możliwe obrazy, wśród trzech sąsiadów A', a następnie dla obrazu C, 2 obrazy wśród dwóch pozostałych sąsiadów. Dowodzi to, że izometrie opuszczające sześcian są globalnie niezmienne 8 × 3 × 2 = 48, w tym 24 obroty, tylko jeden z dwóch obrazów C dających tę samą orientację A'B'C 'w stosunku do ABC. 24 rotacje to:
O grupa tych 24 obrotów jest izomorficzny z grupy symetryczne S 4 . Każdy obrót w rzeczywistości permutuje cztery przekątne sześcianu i odwrotnie, każda permutacja czterech przekątnych definiuje pojedynczy obrót.
Ujemne izometrie sześcianu są antyrotacjami składającymi się z tych obrotów przez centralną symetrię i z nią komutują . Grupa O H dlatego jest bezpośrednim produktem wewnętrzny podgrupy O przez cykliczny podgrupie rzędu 2 generowanych przez centrum symetrii. Jest to największa z 7 ortogonalnych grup sieci trójwymiarowych .
24 ujemne izometrie to odpowiednio:
Wreszcie osiem wierzchołków sześcianu można podzielić na dwa regularne czworościany symetryczne względem siebie dzięki symetrii centralnej. Wynika z tego, że z 48 izometrii sześcianu 24 pozostawia każdy z tych czworościanów niezmienny, a 24 zamienia dwa czworościany. 24 izometrie sześcianu opuszczającego czworościany niezmiennik tworzą grupę izometrii czworościanu: 12 to rotacje, a 12 to izometrie pośrednie. Te 24 izometrie permutują cztery wierzchołki czworościanu.
Istnieje jedenaście wzorów kostek; oto cztery:
Krzyż rozwojowy , kwadraty boczne mogą być umieszczone niżej lub wyżej
Rozwijanie zygzaka
To rozwiązanie mieści się w prostokącie dwa na pięć i minimalizuje zmarnowaną przestrzeń
Lewy kwadrat można umieścić niżej lub wyżej
Samolot i sześcian mogą się spotkać lub nie. Jeśli się spotkają, ich skrzyżowanie może narysować
Ponieważ sześcian ma tylko sześć boków, nie ma możliwości uzyskania przekroju z więcej niż 6 bokami.
Sekcja po trójkącie
Sekcja po trapezie
Sekcja po rombie
Sekcja po prostokącie o maksymalnej powierzchni
Przekrój następujący po pięciokącie z dwiema parami równoległych boków
Przekrój następujący po sześciokącie z trzema parami równoległych boków
Przecięcie płaszczyzny i sześcianu może dać trzy typy wielokątów foremnych:
Przekątna sześcianu rozłożona na dwie części w stosunku 2:1 przez przekrój trójkąta równobocznego
Przekrój sześcianu według kwadratu. Górne wierzchołki znajdują się w odległości od A równej połowie AC
Sześciokątny przekrój sześcianu przez płaszczyznę mediatora [AG}
Nie jest możliwe uzyskanie pięciokąta foremnego, ponieważ przy przekroju mającym 5 boków płaszczyzna koniecznie przecina dwie przeciwległe ściany sześcianu, dlatego figura ma dwa równoległe boki, co nie ma miejsca w pięciokątie foremnym. Nie jest możliwe uzyskanie przekroju w postaci trójkąta prostokątnego, ponieważ wszystkie kąty trójkąta otrzymane przez przekrój są ostre. Nie jest możliwe uzyskanie przekroju, który jest trapezem prostokąta, nie będąc prostokątem.
Maksymalna powierzchnia przekroju sześcianu o boku a wynosi . Obszar ten jest uzyskiwany przez sekcję podążającą za płaszczyzną zawierającą dwie przeciwległe krawędzie sześcianu.
Podwójnego sześcianu jest regularny ośmiościan . To wyjaśnia, dlaczego obie bryły mają tę samą grupę izometrii.
Sześcian pasuje do dwunastościanu foremnego : wierzchołki sześcianu są wierzchołkami dwunastościanu, a krawędzie sześcianu są utworzone z segmentów łączących dwa niekolejne wierzchołki w pięciokątnej powierzchni dwunastościanu. Istnieje zatem pięć sposobów wpisania sześcianu w dwunastościan foremny.
Możemy też wpisać sześcian w dwunastościan rombowy . Wierzchołki sześcianu odpowiadają wierzchołkom rzędu 3 dwunastościanu rombowego, a krawędzie sześcianu odpowiadają przekątnym rombu.
Sześcian odegrał ważną rolę w greckiej geometrii i kosmologii. Platon klasyfikuje ją jako czwartą bryłę, pierwszą zbudowaną przy użyciu trójkątów równoramiennych prawych :
„Pogrupowane po cztery, z kątami prostymi spotykającymi się w środku, te równoramienne trójkąty tworzą czworokąt. Sześć z tych czworokątów przez połączenie razem dało osiem stałych kątów, z których każdy składa się z trzech prostych kątów płaszczyzny, a wynikowa figura jest sześcianem ( Timee , 54c - 55 d) ”
Jak każda bryła platońska, sześcian kojarzy się z elementem. Jako najbardziej stabilny pierwiastek związany jest z Ziemią .
W innym symbolicznym kluczu symbolizuje świat materialny i wszystkie cztery elementy. Symbol stabilności, często znajduje się u podstawy tronów.
Sześcian był przedmiotem problemu, który okazał się nie do rozwiązania: duplikacja sześcianu z linijką i cyrklem.
W kosmologii Keplera sześcian związany jest z planetą Saturn .
Sześcian znajdujemy również w symbolice wolnomularskiej . Sześcian symbolizuje postęp, jaki musi poczynić towarzysz, aby przejść od surowego kamienia do idealnej bryły.
Cube jest częścią sekwencji trzech kanadyjskich filmów. Jabłko wyprodukował Cube komputer, Nintendo na GameCube konsolę. Przez Kostka Rubika jest logiczna , której odzwierciedleniem jest oparta na skojarzeniach koloru. Zrozumienie rozwiązania obejmuje grupę permutacji .
Jeden znajdzie sześcian ścięty w tabeli Melencolia od Albrechta Dürera . Bruksela Atomium jest kostka. Rzeczywiście, kostka jest jedną z możliwych sieci w krystalografii dla srebra , złota , miedzi , platyny , diamentu , soli , między innymi.
Matthieu Aubry, „ Najkrótsza droga na sześcianie ” , na matthieu.net
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">