Polytope jest matematycznym obiektu.
Termin polytop dopuszcza kilka definicji w matematyce. Głównie dlatego, że zastosowania różnią się w kilku punktach w zależności od kraju, ale amerykańskie użycie ma tendencję do narzucania się, znajdujemy się w obliczu sprzecznych zastosowań w tym samym kraju. Możemy znaleźć tego rodzaju problem dla definicjach twarze i aspektów wielościanu (na wielościan wymiaru n , Bourbaki definiuje aspekty jak twarze wymiaru < n - 1, przyrostek sugerując małość, natomiast Amerykanie określają aspekt jako twarz o wymiarze n - 1, jak mówimy po francusku o fasetach diamentu ).
Pewne jest to, że wielościan jest rodzajem wielościanu .
Najbardziej powszechne stosowanie jest, że w przestrzeni euklidesowej ℝ n , wyróżniamy wielościan z Polytope następująco. Wielościan jest przecięciem na skończoną liczbę pół-przestrzeni ograniczonej przez afinicznych hiperplaszczyzn , tj
gdzie a ,
podczas gdy polytope jest wypukłą kopertą , tj.
gdzie dla skończonej liczby indeksów .
Podstawowy wynik stanowi, że:
Każdy wielościan jest ograniczonym wielościanem.
Wynik ten ma zasadnicze znaczenie dla podejścia wielościennego w optymalizacji kombinatorycznej .
Jednak znajdziemy również następujące rozróżnienie między wielościanem a wielościanem. Czasem zrozumieć w geometrii , Polytope jako uogólnienie do wszystkich wymiarów pojęcia wielokąta o dwóch wymiarach i wielościanu dla trzech wymiarach. W każdym razie, ogólnie zakładamy, że polytope jest wypukłym i ograniczonym polytopem . Najprostszym, jaki możemy skonstruować, jest simplex składający się z n + 1 wierzchołków w przestrzeni o wymiarze n . Dla dowolnej wypukłej obwiedni w przestrzeni o wymiarze n możemy wziąć podzbiory liniowo niezależnych wierzchołków i zdefiniować n - uproszczenia z tych wierzchołków. Zawsze jest możliwe rozłożenie wypukłego polytopu na simplexy, tak że ich suma jest oryginalnym polytopem, a ich przecięcia dwa na dwa są zbiorem pustym lub s -simpleksem (z s < n ). Na przykład: w płaszczyźnie kwadrat (wypukła obwiednia jego wierzchołków) jest połączeniem dwóch trójkątów (2-simplexy), których przecięcie jest przekątną kwadratu (1-simplex).
Termin polytope został wymyślony przez Alicię Boole Stott , córkę logika George'a Boole'a .
Regularne wielościany były głównym przedmiotem badań starożytnych greckich matematyków (głównie Euklidesa ), prawdopodobnie ze względu na ich walory estetyczne. Obecnie znajdują zastosowanie w wielu zastosowaniach optymalizacji liniowej lub w szczególności w grafice komputerowej .
Wśród polytopów można wymienić polytop Gosseta , który ilustruje jedną z właściwości grupy Lie E8 . Wymienić można także z Fabytopes cząstki stałe powstałe z agregatów lub agregatów z cementem na obwodzie betonu .
(en) HSM Coxeter , Regular Polytopes , Nowy Jork, Dover, 1973 ( ISBN 978-0-486-61480-9 )
Olivier Debarre, „ Polytopes et points whole ” , na www.math. ens.fr
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">