Zonohedron

Zonohedron jest wypukły wielościan , gdzie każda powierzchnia jest wielokąt z centrum symetrii . Każdy zonoedr można opisać równoważnie jako sumę Minkowskiego zbioru odcinków linii w przestrzeni trójwymiarowej lub jako trójwymiarowy rzut hipersześcianu . Zonohedra zostały pierwotnie zdefiniowane i badane przez Jewgraf Fiodorow , o rosyjskiej krystalografii .

Zonoedry, które torują przestrzeń

Oryginalny motywacja do badania leży zonohedra na tym, że schemat Woronoja z sieci jeden tworzy wypukły jednolitej strukturze plastra miodu  (w) , przy czym komórki są zonohedra. Każdy utworzony w ten sposób zonoedr może utorować trójwymiarową przestrzeń i jest nazywany paralléloèdre  (en) prymarnym . Każdy podstawowy równoległościan jest kombinatorycznie równoważny jednemu z pięciu typów: sześcian , sześciokątny pryzmat , ośmiościan ścięty , dwunastościan rombowy i dwunastościan rombowo-heksagonalny  (en) .

Zonohedra z sum Minkowskiego

Niech {v 0 , v 1 , ...} będzie zbiorem trójwymiarowych wektorów . Z każdym wektorem v i możemy skojarzyć odcinek {x i v i | 0≤x i ≤1}. Suma Minkowskiego  : {Σx I v I | 0≤x i ≤1} tworzy zonohedron, a wszystko zonohedra które zawierają pochodzenie mają ten formularz. Wektory, z których powstaje zonoedr, nazywane są jego generatorami . Ta charakterystyka pozwala na uogólnienie definicji zonoedrów na wyższe wymiary, dając zonotopy .

Każda krawędź w zonoedrze jest równoległa do co najmniej jednego z generatorów i ma długość równą sumie długości generatorów, z którymi jest równoległa. Dlatego wybierając zestaw niesparowanych generatorów równoległych wektorów i ustawiając równe długości wszystkich wektorów, możemy utworzyć równoboczną wersję zonoedru dowolnego typu kombinatorycznego.

Wybierając zbiory wektorów o wysokich stopniach symetrii, możemy w ten sposób tworzyć zonoedry z co najmniej taką samą liczbą symetrii. Na przykład, generatory równo rozmieszczone wokół równika na sferze , umieścić wraz z inną parą biegunów generatorów całej formy kuli prism- ukształtowanej zonohedra na regularnym 2K Gones: na kostce , na sześciokątny pryzmat tego, ośmioboczną pryzmat tego, decagonal pryzmat The dwunastoboczny pryzmat , itp Generatory równoległe do krawędzi ośmiościanu tworzą ośmiościan ścięty , a generatory równoległe wzdłuż przekątnych sześcianu tworzą dwunastościan rombowy .

Suma Minkowskiego dowolnych dwóch zonoedrów to kolejny zonoedr, generowany przez połączenie generatorów dwóch danych zonoedrów. Zatem suma Minkowskiego sześcianu i ośmiościanu ściętego tworzy duży rombikuboktaedr , podczas gdy suma sześcianu z dwunastościanem rombowym tworzy dwunastościan ścięty rombowy . Te dwa zonoedry są proste (trzy ściany, które spotykają się na każdym wierzchołku), jak mały ścięty rombikuboktaedr utworzony z sumy Minkowskiego sześcianu, ośmiościanu ściętego i dwunastościanu rombowego.

Zonohedra z aranżacji

Mapa Gauss z jednego wielościanu dotyczy każdej powierzchni wielokąta do punktu na sferze jednostkowej i dotyczy każdej krawędzi wielokąta oddzielając pary twarzami do łuku koła wielkiego łączącego dwa odpowiednie punkty. W przypadku zonoedru krawędzie otaczające każdą ścianę można pogrupować w pary równoległych krawędzi, a gdy są one tłumaczone za pomocą mapowania Gaussa, każda taka para staje się parą ciągłych segmentów na tym samym dużym okręgu. W ten sposób krawędzie zonoedru można pogrupować w obszary o równoległych krawędziach, które odpowiadają segmentom wspólnego wielkiego koła na mapie Gaussa, a 1- zonoedrowy szkielet można postrzegać jako podwójny planarny wykres układu dużych okręgi na kuli. I odwrotnie, dowolny układ dużych okręgów można utworzyć z mapowania Gaussa zonoedru generowanego przez wektory prostopadłe do płaszczyzn przechodzących przez okręgi.

Każdy prosty zonoedr odpowiada w ten sposób prostemu układowi , w którym każda ściana jest trójkątem. Uproszczone układy dużych okręgów poprzez rzut środkowy odpowiadają prostym układom linii na płaszczyźnie rzutowej , które badał Branko Grünbaum (1972). Wymienił trzy nieskończone rodziny prostych zonoedrów, z których jedna prowadzi do pryzmatów po przekształceniu w zonoedry, a dwie pozostałe odpowiadają dodatkowym rodzinom prostych zonoedrów. Istnieje również wiele znanych przykładów, które nie pasują do tych trzech rodzin.

Rodzaje zonoedrów

Widzieliśmy już, że każdy graniastosłup na regularnym wielokącie o parzystej liczbie boków tworzy zonoedr. Pryzmaty te można uformować, jeśli wszystkie ściany są regularne: dwie przeciwległe ściany są równe regularnemu wielokątowi, z którego został utworzony pryzmat, i są one połączone szeregiem kwadratowych ścian. Zonoedry tego typu to sześcian , sześciokątny pryzmat , ośmiokątny pryzmat , dziesięciokątny pryzmat , dwunastoboczny pryzmat itp.

Oprócz tej nieskończonej rodziny zonoedrów o regularnych ścianach istnieją trzy bryły Archimedesa , wszystkie omnitroncatures o regularnych kształtach:

Ponadto niektóre katalońskie ciała stałe (podwójne bryły Archimedesa) są nadal zonoedrami:

Inne wielościany ze wszystkimi rombowymi ścianami:

Zonohedron Zwykłe twarze Isoédral  (en) Izotoksal Izogonalne Utoruj przestrzeń
Cube
4.4.4 		Sześcian tak tak tak tak tak  (w)
Pryzmat sześciokątny
4.4.6 		Pryzmat sześciokątny tak Nie Nie tak tak  (w)
2n-pryzmat (n> 3)
4.4.2n 		Pryzmat 2n tak Nie Nie tak Nie
Ośmiościan ścięty
4.6.6 		Ścięty ośmiościan tak Nie Nie tak tak  (w)
Duży rombikuboktaedr

4.6.8 		Sześcian ścięty tak Nie Nie tak Nie
Duży rombikozydekościan
4.6.10 		Obcięty icosidodecahedron tak Nie Nie tak Nie

Dwunastościan rombowy (Keplera) V3.4.3.4 		Dwunastościan rombowy Keplera Nie tak tak Nie tak  (w)

Dwunastościan Bilińskiego V3.4.3.4 		Dwunastościan rombowy Bilińskiego Nie Nie Nie Nie tak

Trójkąt rombowy V3.5.3.5 		Trójkąt rombowy Nie tak tak Nie Nie
Dwunastościan romb sześciokątny  ( cal ) Dwunastościan rombo-sześciokątny Nie Nie Nie Nie tak
Dwunastościan rombowy ścięty Dwunastościan rombowy ścięty Nie Nie Nie Nie Nie

Rozwarstwienie zonohedry

Chociaż generalnie nie jest prawdą, że jakikolwiek wielościan można podzielić na inny wielościan o tej samej objętości (patrz trzeci problem Hilberta ), wiadomo, że dowolne dwa zonoedry o tej samej objętości mogą być podzielone jeden po drugim.

Bibliografia

Link zewnętrzny

http://www.ac-noumea.nc/maths/polyhedr/index.htm