Funkcja holomorficzna

W złożonej analizy , A holomorficzny funkcją jest funkcja o złożonych wartości , określonych i różniczkowalną w dowolnym miejscu na otwartej podzbioru w płaszczyźnie zespolonej ℂ.

Warunek ten jest znacznie silniejszy niż rzeczywista wyprowadzalność . Oznacza to (poprzez teorię Cauchy'ego), że funkcja jest analityczna : jest nieskończenie różniczkowalna i równa sąsiedztwu dowolnego punktu otwartego na sumę jego szeregu Taylora . Nasuwa się niezwykły fakt: pojęcia złożonej funkcji analitycznej i funkcji holomorficznej są zbieżne. Z tego powodu funkcje holomorficzne stanowią centralny filar analizy złożonej.

Definicja

Definicja - Pozwolić zbiór otwarty zbioru liczb zespolonych i mapa w . $U$ $\ mathbb {C}$ $fa$ $U$ $\ mathbb {C}$

Mówimy, że jest różniczkowalna (w złożonym znaczeniu) lub holomorficzna w punkcie, w razie w następnym granicy , zwanej pochodną od w istnieje: $fa$ $z_0$ $U$ $fa$ $z_0$
${\ displaystyle f '(z_ {0}) = \ lim _ {z \ do z_ {0}} {f (z) -f (z_ {0}) \ ponad z-z_ {0}}.}$
Mówimy, że jest holomorficzny na podstawie tego, czy jest holomorficzny w dowolnym punkcie . $fa$ $U$ $U$
W szczególności nazywamy funkcję całkowitą funkcją holomorficzną on . $\ mathbb {C}$

Należy zauważyć, że niektórzy autorzy wymagają, aby otrzymana w ten sposób funkcja była ciągła. W rzeczywistości jest to tylko sposób na uproszczenie demonstracji; w rzeczywistości przedstawiona tu definicja i tak implikuje jej ciągłość (na mocy twierdzenia Morery ). $f '$

Przykłady

Funkcje wymierne

Każda funkcja wielomianowa ze złożonymi współczynnikami jest kompletna.

Każda funkcja wymierna o współczynnikach zespolonych jest holomorficzna na dopełnieniu zbioru jej biegunów (to znaczy zer jej mianownika, gdy jest zapisana w formie nieredukowalnej). Na przykład funkcja odwrotna jest holomorficzna na *. ${\ styl wyświetlania z \ mapsto 1 / z}$ $\ mathbb {C}$

Funkcje zdefiniowane przez całą serię

Pozwolić stanowi całą serię o złożonych współczynników o niezerowej odległości zbieżności (Finite lub nie); oznaczamy jego dysk zbieżności. Funkcja z w definiowane jest holomorficzna na zawsze , .W rzeczywistości, ta funkcja jest nieskończenie różniczkowalna na . ${\ styl wyświetlania \ suma _ {n \ geq 0} a_ {n} z ^ {n}}$ $re$
$fa$ $re$ $\ mathbb {C}$ ${\ displaystyle f (z) = \ suma _ {n \ geq 0} a_ {n} z ^ {n}}$ ${\ styl wyświetlania z \ w D}$ ${\ displaystyle f '(z) = \ suma _ {n \ geq 1} na_ {n} z ^ {n-1}}$ $re$

Funkcja wykładnicza jest liczbą całkowitą. To samo dotyczy funkcji trygonometrycznych (które można zdefiniować z funkcji wykładniczej za pomocą wzorów Eulera ) i funkcji hiperbolicznych .

Logarytm zespolony

Nazywamy wyznaczeniem logarytmu zespolonego na otwartym U z ℂ * dowolną holomorficzną funkcję $L$ z U w ℂ taką, że dla wszystkich $z \in U$ , $exp ( L ( z )) = z$ lub to, co jest równoważne (w przypadku otwartego podłączony ) każda holomorficzny $L$ funkcyjny U z pochodnej $z \mapsto1 / z$ , dla którego istnieje $ź 0 \in U$ tak, że $exp ( L ( ź 0 )) = oo 0$ .

Na dowolnym otwartym U z ℂ *, gdzie istnieje wyznaczenie $L$ logarytmu, możemy zdefiniować, dla dowolnej względnej liczby całkowitej $k$ , funkcję $z \mapsto L ( z ) + 2 k πi$ . Każda z tych funkcji jest wyznaczeniem logarytmu nad U , a jeśli U jest połączone , to są one jedyne.

Nie ma określenia logarytmu na otwartym *.

Istnieje wyznaczenie logarytmu na dowolnym otwarciu typu ℂ * \ D, gdzie D jest półprostą ℂ końca 0 (mówimy o " przekroju "), w szczególności na zbiorze prywatnych liczb zespolonych połowy -linia ujemnych lub zerowych liczb rzeczywistych. Wśród wszystkich określeń logarytmu na tej otwartej przestrzeni jest tylko jedno, które rozszerza logarytm naturalny rzeczywisty.

Bardziej ogólnie, istnieje określenie logarytmu na dowolnym otwartym logarytmie, który jest po prostu połączony i nie zawiera 0.

Funkcje mocy i n-tego pierwiastka

Na dowolnym otwartym U z ℂ *, gdzie istnieje wyznaczenie $L$ logarytmu, możemy zdefiniować, dla dowolnej liczby zespolonej $a$ , holomorficzne wyznaczenie na U potęgi wykładnika $a$ przez ustawienie, dla wszystkich $z \in U$ , $z a = exp ( aL ( z ))$ .

W szczególności, dla każdej liczby całkowitej $n > 0$ , funkcja $z \mapsto z 1 / n = Exp ((1 / n ), l ( z ))$ weryfikuje tożsamość ∀ $z \in U , ( Ż 1 / n ), n = Ż$ . Uważa się, że funkcja ta jest wyznaczenie U z korzenia $n$ -tej . Możemy oznaczać $n \sqrt z$ zamiast $z 1 / n$ (jeśli ściśle dodatnie liczby rzeczywiste należą do U , może wtedy wystąpić konflikt między tym zapisem a jego zwykłym znaczeniem, służącym do oznaczenia dodatniego $n-$ tego pierwiastka ).

Podobnie odwrotne funkcje trygonometryczne mają cięcia i są holomorficzne wszędzie z wyjątkiem cięć.

Złożona pochodna

Zasady obliczania pochodnych w sensie zespolonym są identyczne jak dla pochodnych funkcji zmiennej rzeczywistej : liniowości , pochodnej iloczynu , ilorazu, funkcji złożonej. Wynika z tego, że sumy, iloczyny lub złożone z funkcji holomorficznych są holomorficzne, a iloraz dwóch funkcji holomorficznych jest holomorficzny na dowolnym otwartym, gdzie mianownik nie znika.

Funkcja holomorficzna w punkcie jest w tym punkcie fortiori ciągła .

W pobliżu punktu $z 0,$ gdzie pochodna funkcji holomorficznej $f$ jest niezerowa, $f$ jest przekształceniem konforemnym , tj. zachowuje (zorientowane) kąty i kształty małych figur (ale ogólnie nie długości).

Rzeczywiście, jej różniczką w punkcie $z 0$ jest odwzorowanie ℂ-liniowe , gdzie : różniczka jest więc utożsamiana z bezpośrednim podobieństwem płaszczyzny, ponieważ A nie jest zerem. ${\ displaystyle df_ {z_ {0}}: \ mathbb {C} \ do \ mathbb {C}, \, u \ mapsto A \, u}$ $A = f '(z_ {0})$

Nieruchomości

równania Cauchy'ego-Riemanna

Jeśli utożsamiamy ℂ z ℝ 2 , to funkcje holomorficzne na otwartym zbiorze ℂ pokrywają się z funkcjami dwóch zmiennych rzeczywistych, które są ℝ-różniczkowalne na tym otwartym zbiorze i weryfikujemy tam równania Cauchy-Riemanna, układ dwóch równań z pochodne cząstkowe :

Rozważamy funkcję zmiennej zespolonej, gdzie $U$ jest zbiorem otwartym płaszczyzny zespolonej ℂ. Stosowane są tutaj następujące zapisy: ${\ displaystyle f: U \ do \ mathbb {C}}$

zmienną zespoloną oznaczono , gdzie x , y są rzeczywiste; $z$ $x + {{\ rm {i}}} \, y$
części rzeczywiste i części urojone oznaczono odpowiednio i , to znaczy: gdzie są dwie funkcje rzeczywiste dwóch zmiennych rzeczywistych. $f (z) = f (x + {{\ rm {i}}} \, y)$ $P (x, y)$ $Q (x, y)$ $f (z) = P (x, y) + {{\ rm {i}}} \, Q (x, y)$ $P, \, Q$

Równania Cauchy- Riemanna - Jeżeli $f$ jest ℝ różniczkowalnymi w punkcie $Z, 0$ o $U$ cztery następujące właściwości są równoważne

$f$ jest holomorficzny w $z 0$
${\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (z_ {0}) = i \, {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z_ {0})$
${\ frac {\ częściowe P} {\ częściowe x}} (x_ {0}, y_ {0}) = {\ frac {\ częściowe Q} {\ częściowe y}} (x_ {0}, y_ {0} )$ i ${\ frac {\ częściowe P} {\ częściowe y}} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {\ częściowe Q} {\ częściowe x}} (x_ {0}, y_ {0 })$
$\ overline \ częściowe f (z_ {0}) = 0$ , gdzie operator różniczkowy jest z definicji równy . $\ nadkreślenie \ częściowe$ ${\ frac 12} \ po lewej ({\ frac \ częściowe {\ częściowe x}} + {{\ rm {i}}} {\ frac \ częściowe {\ częściowe y}} \ po prawej)$

Uwaga, gdy $f$ jest holomorficzne w $z 0$ :

{\ displaystyle \ f '(z_ {0}) = {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z_ {0}) = - {\ rm {i}} \, {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowy y}} (z_ {0})}

{\ displaystyle f '(z_ {0}) = \ częściowe f (z_ {0})}

, gdzie operator różniczkowy jest z definicji równy .

\ częściowe

{\ frac 12} \ po lewej ({\ frac \ częściowe {\ częściowe x}} - {{\ rm {i}}} {\ frac \ częściowe {\ częściowe y}} \ po prawej)

Powiązania między funkcjami holomorficznymi i harmonicznymi

Pokazujemy dalej, że funkcje holomorficzne są klasy (patrz wzór całkowy Cauchy'ego). $C ^ {\ infty}$

Konsekwencją równań Cauchy'ego-Riemanna jest to, że Laplace'owie części rzeczywistej i części urojonej funkcji holomorficznej $f$ wynoszą zero:

Jeżeli części rzeczywiste i części urojone oznaczymy odpowiednio i , czyli jeśli:, gdzie są dwie funkcje rzeczywiste dwóch zmiennych rzeczywistych, to mamy: $f (z) = f (x + {{\ rm {i}}} \, y)$ $P (x, y)$ $Q (x, y)$ $f (z) = P (x, y) + {{\ rm {i}}} \, Q (x, y)$ $P, \, Q$

\ \ Delta P = \ Delta Q = 0

Mówimy, że i są funkcjami harmonicznymi . $P$ $Q$

Mamy też:

{\ częściowe P} {\ częściowe x}} {\ częściowe Q} {\ częściowe x}} + {\ częściowe P} {\ częściowe y}} {\ częściowe Q} } {\ częściowe y}} = 0

$P$ i nazywane są harmonicznymi sprzężonymi . $Q$

Mamy odwrotność:
każda rzeczywista funkcja harmoniczna zmiennej zespolonej jest lokalnie rzeczywistą częścią funkcji holomorficznej.

Twierdzenie całkowe Cauchy'ego

Równania Cauchy'ego-Riemanna umożliwiają udowodnienie lematu Goursata , który jest zasadniczo poniższym twierdzeniem całkowym Cauchy'ego w konkretnym przypadku wielokątnej koronki, i wywnioskowanie z niego:

Cauchy- integralną tw - Niech $gamma być$ naprawienia pętli w ℂ i $f$ funkcji holomorficznej na wprost połączony otwarty zestaw zawierający $y$ , po czym krzywoliniowe integralną z $f$ o $y$ wynosi zero:

\ int _ {\ gamma} f (z) ~ {\ mathrm d} z = 0.

Twierdzenie to pozostaje ważne, jeśli w skończonej liczbie punktów otwarcia funkcja nie ma być holomorficzna, a jedynie ciągła.

W szczególności :

Jeśli $γ$ jest prosty w pętli wówczas, zgodnie z twierdzeniem Jordan-Schoenfliesa , to na granicy z połączonych i po prostu połączone zwartej K i twierdzenie następnie stosuje się (w przypadku $γ$ jest naprawienia) do każdej funkcji holomorficznej na otwartym jeden zawierający K ;
jeśli $f$ jest holomorficzne na otwartym $U$ i jeśli $γ$ i $Γ$ są dwiema ściśle homotopowymi prostszymi ścieżkami w $U,$ to całki z $f$ na $γ$ i $Γ$ są równe.

Możemy uniknąć stosowania lematu Goursata, ale za cenę dodatkowej hipotezy:

Dowód bezpośredni w ramach dodatkowej hipotezy, że

f

należy do klasy C 1 odcinkowo

Podobnie jak w dowodzie wykorzystującym lemat Goursata, redukujemy (przez aproksymację, a następnie wycinanie ) do przypadku, w którym pętla $γ$ jest prostym wielokątem . Twierdzenie Greena , dołączyło do Cauchy'ego-Riemanna , a następnie konkludując: jeśli $D$ oznacza wnętrze wielokąta,

\ int _ {\ gamma} f (z) ~ {\ matematyczne d} z = \ int _ {\ gamma} (f {\ matematyczne d} x + jeśli {\ matematyczne d} y) = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ częściowe if} {\ częściowe x}} - {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} \ po prawej) ~ {\ matematyczne d} x {\ matematyczne d} y = \ iint _ {D} 0 ~ {\ matematyczne d} x {\ matematyczne d} y = 0.

Twierdzenie to jest uogólnione przez twierdzenie o resztach do funkcji holomorficznych o izolowanych osobliwościach .

Prymityw funkcji holomorficznej

Z powyższego twierdzenia wyprowadzamy :

Własność - Niech

f będzie

funkcją holomorficzną na otwartym U połączonym i po prostu połączonym,

z 0

punktem U i

F

funkcją zdefiniowaną na U przez

F (z) = \ int _ {{P (z)}} f (\ xi) ~ {\ mathrm d} \ xi,

gdzie

P ( z )

jest dowolną możliwą do skorygowania ścieżką w U od

z 0

z

. Wtedy

F

jest pierwotnym kompleksem

f

na U .

Twierdzenie to pozostaje ważne, jeśli w skończonej liczbie punktów otwarcia funkcja nie ma być holomorficzna, a jedynie ciągła.

Ważne jest, aby otwarty był po prostu połączony, więc całka $f$ między dwoma punktami nie zależy od drogi między tymi dwoma punktami.

Na przykład funkcja $h : z \mapsto 1 / z$ jest holomorficzna nad ℂ *, która jest połączona, ale nie po prostu połączona. Całka $h$ na okręgu o środku 0 i promieniu 1 ( $przebytym$ w kierunku trygonometrycznym) jest warta $2πi$ , ale jest warta 0 na zamkniętej ścieżce łączącej 1 ze sobą, a nie otaczającej 0. Z drugiej strony można zdefiniować funkcja pierwotna $h$ na dowolnym prosto połączonym otwartym zbiorze * (por. określenia logarytmu zespolonego w sekcji „Przykłady” powyżej ).

Wzór na całkę Cauchy'ego i zastosowania

Wzór całkowy

Niech $f będzie$ funkcją holomorficzną na otwartym $U$ z ℂ, to jeśli C jest dodatnio zorientowanym kołem, wyśrodkowanym w z i zawartym (jak również jego wnętrzem) w U.

f (z) = {1 \ ponad 2 \ pi i} \ int _ {C} {f (\ xi) \ ponad \ xi -z} ~ {\ mathrm d} \ xi.

Pełna reprezentacja serii

Twierdzenie - Niech $K będzie$ funkcją holomorficzną na otwartej $litery U$ z ℂ, a $f$ jest analityczny o $U$ i dla dowolnego punktu $Z 0$ do $U$ , oznaczające $R$ w (euklidesową) odległość od $Z 0$ do ℂ \ $U$ :

\ forall z \ in D (z_ {0}, R), ~~ f (z) = \ suma _ {{n = 0}} ^ {\ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {nie}

\ forall r \ in] 0, R [, \ quad c_ {n} = {\ frac 1 {2 \ pi i}} \ int _ {{C (z_ {0}, r)}} {\ frac {f (w)} {(w-z_ {0}) ^ {{n + 1}}}} ~ {\ mathrm d} w.

Dlatego $f$ jest nieskończenie różniczkowalna na $U$ , gdzie

{\ displaystyle \ forall z_ {0} \ in U, f ^ {(n)} (z_ {0}) = c_ {n} .n! = {\ frac {n!} {2 \ pi i}} \ int _ {C (z_ {0}, r)} {\ frac {f (w)} {(w-z_ {0}) ^ {n + 1}}} ~ \ matematyka {d} w.}

Uwagi:

W szeregu Taylora w $Z 0$ zbieżny w każdym otwartym płyty ze środkiem $Z 0$ , a zawarte w $U$ , ale może być oczywiście zbiegają się w większej tarczy; na przykład szereg Taylora głównego wyznaczenia logarytmu jest zbieżny na dowolnym dysku nie zawierającym 0, nawet jeśli zawiera ujemne liczby rzeczywiste. To jest podstawa zasady rozszerzenia analitycznego .
Istnieje równoważność między holomorfią a otwartością i analitycznością, przy czym analityczność wyraźnie implikuje holomorfię.
Każda funkcja holomorficzna f jest funkcją analityczną , dlatego zasada maksimum , zasada izolowanych zer, nierówność Cauchy'ego są weryfikowane funkcją holomorficzną.

Własność środka

Ze wzoru całkowego Cauchy'ego wywnioskowano w szczególności, że dowolna funkcja holomorficzna na otwartym zawierającym dysk zamknięty jest całkowicie określona wewnątrz tego dysku przez jej wartości na granicy tego: we wzorze powyżej dla $c 0$ , zmiana parametru $w = z 0 + re iθ$ daje:

f (z_ {0}) = {\ frac 1 {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} f (z_ {0} + r {{\ rm {e}}} ^ {{{{\ rm {i}}} \ theta}}) ~ {\ mathrm d} \ theta.

Przedmiotem zainteresowania tego wzoru są obliczenia numeryczne. Obliczenie całki jest rzeczywiście bardziej stabilne niż obliczanie pochodnych.
Wynik ten wyraźnie pozostaje ważny dla części rzeczywistej i części urojonej $f$ , które są funkcjami harmonicznymi .

Zasada maksimum

Niech $f$ niestałą funkcję holomorficzną na połączonym otwartym $U$ . Więc $| f |$ nie dopuszcza żadnego lokalnego maksimum na $U$ . Tak więc, jeżeli $U$ jest ograniczona, maksimum funkcji $F$ jest osiągnięta na granicy z $U$ . Innymi słowy, w każdym punkcie $Z.$ z $U$ :

{\ displaystyle | f (z) | \ leq \ sup \ {| f (\ omega) | \ mid \ omega \ in \ częściowe U \}}

Demonstracja

Niech $z 0$ będzie punktem $U$ . Funkcja $f - f ( z 0 )$ nie jest identycznie zerowa , dlatego przez jednoznaczność kontynuacji analitycznej istnieje liczba całkowita $k > 0$ i niezerowy kompleks $α$ taki , że

f (z) = f (z_ {0}) + \ alfa (z-z_ {0}) ^ {k} + (z-z_ {0}) ^ {k} \ varepsilon (z),

gdzie $ε$ jest zerową funkcją graniczną w $z 0$ .

Jeśli $f ( z 0 ) = 0$ to w sąsiedztwie $z 0$ , $f$ nie znika.
Jeśli $f ( oo 0 ) \neq 0$ , niech $β być$ $k$ -tego pierwiastek z $F ( oo 0 ) / α$ . Więc, $f (z_ {0} + t \ beta) = f (z_ {0}) \ lewo (1 + t ^ {k} + t ^ {k} \ varepsilon _ {1} (t) \ prawo),$ gdzie $ε 1$ jest funkcją zerowego limitu w punkcie 0, więc dla każdego dość małego rzeczywistego $t > 0$ , $| f ( z 0 + t β) | > | f ( z 0 ) |$ .

Zatem w obu przypadkach $| f |$ nie dopuszcza lokalnego maksimum w $z 0$ .

Ciągi zbieżne funkcji holomorficznych

Jeśli ciąg ( $f j$ ) funkcji holomorficznych jest zbieżny do funkcji $f$ , jednostajnie na dowolnym zwartym $U$ z ℂ , wtedy $f$ jest holomorficzny i dla wszystkich $k$ , ciąg ( $f j ( k )$ ) pochodnych jest zbieżny do $f (k)$ , równomiernie na zwartym $U$ .

Rozwój Laurenta wokół pojedynczego punktu

Twierdzenie - Niech $K będzie$ holomorficzna funkcję w $U \ A$ z $U$ otwartym Zestaw ℂ i $A$ zamknięty podzbiór U , którego elementy izolacyjne (A jest zbiorem pojedynczych punktów lub pojedyncze osobliwości o $f$ w $U$ ).

Następnie wokół każdego punktu $Z 0$ do $U$ , $F$ przyznaje rozszerzenie Laurent na koronie z ( oznaczająca euklidesową odległość z komplementarną z U w ℂ) ${\ styl wyświetlania C (z_ {0}, R_ {1}, R_ {2}) \ podzbiór UA}$ ${\ styl wyświetlania 0 <R_ {1} <R_ {2} <d}$ $re$ $z_0$ ${\ styl wyświetlania \ mathbb {C} -U}$

{\ displaystyle \ forall z \ in C (z_ {0}, R_ {1}, R_ {2}), ~~ f (z) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}}

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ namaszczać _ {C (z_ {0}, r)} {\ frac {f (w)} {( w-z_ {0}) ^ {n + 1}}} \, \ mathrm {d} w \ quad {\ text {gdzie}} \ quad R_ {2}> r> R_ {1}}

Uwagi:

Notacja oznacza sumę dwóch zbieżnych szeregów i . ${\ styl wyświetlania \ suma _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}}$ ${\ styl wyświetlania \ suma _ {n = 0} ^ {+ \ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}}$ ${\ styl wyświetlania \ suma _ {n = 1} ^ {+ \ infty} c _ {- n} (z-z_ {0}) ^ {- n}}$
W przypadku funkcji wymiernej, którą staramy się rozwijać w zera, współczynniki oblicza się poprzez klasyczne rozwinięcie szeregowe w zero elementów prostych . $c_ {n}$
W praktyce obliczenie współczynników (w dowolnym punkcie) można również przeprowadzić dzięki twierdzeniu o resztach , często bardziej skomplikowanego niż rozwijanie funkcji wymiernych w szeregach, ale które pozostaje na ogół prostsze niż użycie formuły bezpośredniej.
Pozostałość o f w osobliwości współczynnik . $z_0$ ${\ styl wyświetlania c _ {-1}}$

Funkcje meromorficzne

Obliczenie $c n$ w rozwinięciu Laurenta może dać początek trzem możliwościom:

$\ forall n <0, ~~ c_ {n} = 0$ : wtedy $f$ można rozszerzyć do funkcji analitycznej na wszystkich punktach zawartych na dysku , a punkty te są uważane za regularne . Przykład funkcji prezentującej takie współczynniki: na 0, 0 jest regularnym punktem $f$ . $W$ $D (z_ {0}, R_ {1})$ $f (z) = {\ frac {{{\ rm {e}}} ^ {z} -1} z}$
$\ istnieje p \ w \ mathbb {N}$ tak, że i mamy : wtedy funkcja może być rozszerzona na funkcję analityczną na wszystkich punktach zawartości dysku . Ten przypadek w rzeczywistości uogólnia pierwszy. Te punkty są słupy zamówić co najwyżej z $F$ , może istnieć, że są regularne (kolejność 0). Mówimy, że f jest funkcją meromorficzną na U, jeśli wszystkie punkty A są biegunami. Przykłady funkcji prezentujących takie współczynniki: w punkcie 0 (0 jest biegunem rzędu k od $f$ ) lub ogólniej funkcje wymierne na ich biegunach. ${\ displaystyle c _ {- p} \ neq 0}$ $\ forall n <-p$ $\ c_ {n} = 0$ $\ (z-z_ {0}) ^ {p} f (z)$ $W$ $D (z_ {0}, R_ {1})$ $p$ $f (z) = {\ frac {1} {z ^ {k}}}$
W pozostałych przypadkach wśród punktów zawartych na dysku istnieje co najmniej jeden punkt, na którym nie można wypróbować jednego z powyższych rozszerzeń. Taki punkt A nazywany jest „ podstawowym punktem osobliwym ” $f$ . Przykład: w 0, 0 jest podstawowym punktem osobliwym $f$ . $W$ $D (z_ {0}, R_ {1})$ $f (z) = {{\ rm {e}}} ^ {{{\ frac 1z}}}$

Anty-holomorfia

Funkcja F ( z ) jest wywoływana przeciwko holomorficzny na otwartym D , gdzie F ( z ) jest holomorficzny na otwartym koniugatu D . Jest zatem analityczny w z .

Funkcja zarówno holomorficznego, jak i antyholomorficznego na D jest lokalnie stała na D , a więc stała na każdym spokrewnionym z D .

Uwagi i referencje

Michèle Audin, Analiza złożona ( czytaj online ) , s. 30
Michèle Audin, Analyze Complexe ( czytaj online ) , s. 58
W rzeczywistości wiemy (a posteriori), że funkcja o wartości zespolonej ciągła na otwarciu płaszczyzny zespolonej i holomorficzna na dopełnieniu skończonego podzbioru jest holomorficzna na tym otwarciu. Możemy nawet zastąpić założenie ciągłości założeniem o lokalnym ograniczeniu.
Henri Cartan , Elementarna teoria funkcji analitycznych jednej lub więcej zmiennych złożonych [ szczegóły wydania ], s. 70 .
Ta demonstracja jest zaczerpnięta z Pierre Colmez , Elementy analizy i algebry (oraz teorii liczb) , Palaiseau, Éditions de l'École Polytechnique,2009, 469 s. ( ISBN 978-2-7302-1563-3 , czytaj online ) , s. 238. Walter Rudin , Analiza rzeczywista i złożona [ szczegóły wydań ], 1977, s. 206, podaje inną, opartą na wzorze średniej i równości Parseva , ale jednocześnie zwraca uwagę (s. 209), że zasada maksimum wyprowadza się bezpośrednio z twierdzenia o obrazie otwartym . Inny dowód zob. Cartan , s. 83 i ćwiczenie s. 142 dla uogólnienia na funkcje subharmoniczne .
Rudin , s. 207, tys. 10.27 i następstwo.

Zobacz również

Powiązane artykuły

Link zewnętrzny

graphs-functions-holomorphs - Matematyczne spacery pomiędzy funkcjami holomorficznymi z obrazami pomocniczymi.