Funkcja harmoniczna

W matematyce , o funkcja harmoniczna jest funkcja , która spełnia równanie Laplace'a .

Klasycznym problemem dotyczącym funkcji harmonicznych jest problemem Dirichlet : dali ciągła funkcja określona na granicy od An open , możemy przedłużyć go przez funkcję, która jest harmoniczna w dowolnym punkcie otwarty?

Definicja

Niech $U będzie$ zbiorem otwartym ℝ $n$ . Mówi się, że podwójnie różniczkowalna mapa $f : U$ → ℝ jest harmoniczna na $U$ if

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe x_ {1} ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe x_ {2} ^ { 2}}} + \ cdots + {\ frac {\ części ^ {2} f} {\ częściowy x_ {n} ^ {2}}} = 0}

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} f = 0}

lub (gdzie duża grecka litera delta reprezentuje operatora laplackiego ):

{\ displaystyle \ Delta f = 0}

Taka funkcja ma automatycznie klasę C ∞ .

Funkcja harmoniczna włączona ℂ

Identyfikując ℂ z ℝ 2 , zobaczymy, że funkcje harmoniczne są bardzo powiązane z funkcjami holomorficznymi .

Część rzeczywista z funkcji holomorficznej lub anty-holomorficzna na zbiorze otwartym z ℂ jest harmoniczna.

Odwrotność tej własności jest fałszywa, z drugiej strony mamy:

Niech Ω będzie po prostu połączonym zbiorem otwartym ℂ; dowolna funkcja harmoniczna na Ω jest rzeczywistą częścią funkcji holomorficznej na Ω.

Powiązane artykuły