Reguła dotycząca produktu

W analizie matematycznej The reguła produkt , zwany również Leibniza zasada , to formuła używana znaleźć pochodne o produktach z funkcji . W najprostszej formie brzmi następująco:

Niech będą dwiema rzeczywistymi funkcjami zmiennej rzeczywistej , różniczkowalnymi w punkcie . Wtedy ich produkt jest również możliwy do wyprowadzenia w i .fa{\ displaystyle f}sol{\ displaystyle g}x{\ displaystyle x}fasol{\ displaystyle fg}x{\ displaystyle x}(fasol)′(x)=fa′(x)sol(x)+fa(x)sol′(x){\ Displaystyle (fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x)}

W notacji Leibniza formuła ta jest zapisana:

rerex(fasol)=refarexsol+faresolrex.{\ Displaystyle {\ mathrm {d} \ ponad \ mathrm {d} x} (f \, g) = {\ mathrm {d} f \ ponad \ mathrm {d} x} \, g + f \, {\ mathrm {d} g \ over \ mathrm {d} x}.}

Ważnym zastosowaniem reguły iloczynu jest metoda integracji części .

Przykład

Niech będzie funkcją zdefiniowaną przez: godz:R→R{\ displaystyle h: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}

godz(x)=(x+1)(x2+1){\ Displaystyle h \ lewo (x \ prawej) = (x + 1) (x ^ {2} +1)}

Aby znaleźć jego pochodną z regułą iloczynu, ustawiamy  i   . Funkcje , i są wszędzie różniczkowalna ponieważ są wielomian . godz′{\ displaystyle h '}fa(x)=x+1{\ Displaystyle f (x) = x + 1}sol(x)=x2+1{\ Displaystyle g (x) = x ^ {2} +1}godz{\ displaystyle h}fa{\ displaystyle f}sol{\ displaystyle g}

W ten sposób znajdujemy:

∀x∈Rgodz′(x)=fa′(x)sol(x)+fa(x)sol′(x)=(x2+1)+(x+1)(2x)=3x2+2x+1.{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad h '(x) & = f' (x) g (x) + f (x) g '(x) \\ & = (x ^ {2} +1) + (x + 1) (2x) \\ & = 3x ^ {2} + 2x + 1. \ end {aligned}}}

Możemy to zweryfikować, najpierw opracowując wyrażenie h  : h ( x ) = x 3 + x 2 + x + 1 , a następnie wyprowadzając ten wyraz sumaryczny po wyrażeniu: rzeczywiście znajdujemy h ' ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 1 .

Prezentacja reguł dotyczących produktów

Demonstracja analityczna

Potwierdzenie reguły iloczynu można przedstawić, posługując się właściwościami granic i określeniem pochodnej jako granicy tempa wzrostu .

Uproszczona demonstracja i zilustrowana geometrycznie

Niech i będą dwiema funkcjami różniczkowalnymi w . Definiowanie  i  , obszar prostokąta (por. Rysunek 1) przedstawia . fa{\ displaystyle f}sol{\ displaystyle g}x{\ displaystyle x}u=fa(x){\ Displaystyle u = f (x)}v=sol(x){\ Displaystyle v = g (x)}uv{\ displaystyle uv}fa(x)sol(x){\ Displaystyle f (x) g (x)}

Jeśli zmienia się w takiej ilości , odpowiednie zmiany i są oznaczone przez a . x{\ displaystyle x}Δx{\ displaystyle \ Delta x}u{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}Δu{\ displaystyle \ Delta u}Δv{\ displaystyle \ Delta v}

Wariacja pola powierzchni prostokąta jest zatem następująca:

Δ(uv)=(u+Δu)(v+Δv)-uv=(Δu)v+u(Δv)+(Δu)(Δv),{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Delta (uv) & = (u + \ Delta u) (v + \ Delta v) -uv \\ & = (\ Delta u) v + u (\ Delta v) + (\ Delta u) (\ Delta v), \ end {aligned}}}

to znaczy suma trzech zacienionych obszarów na rysunku 1 obok.

Dzieląc przez  : Δx{\ displaystyle \ Delta x}

Δ(uv)Δx=(ΔuΔx)v+u(ΔvΔx)+(ΔuΔx)(ΔvΔx)Δx.{\ Displaystyle {\ Frac {\ Delta (UV)} {\ Delta x}} = \ lewo ({\ Frac {\ Delta u} {\ Delta x}} \ prawo) v + u \ lewo ({\ Frac { \ Delta v} {\ Delta x}} \ right) + \ left ({\ frac {\ Delta u} {\ Delta x}} \ right) \ left ({\ frac {\ Delta v} {\ Delta x} } \ right) \ Delta x.}

Biorąc limit, kiedy otrzymujemy: Δx→0{\ displaystyle \ Delta x \ rightarrow 0}

rerex(uv)=(reurex)v+u(revrex).{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} (UV) = \ lewo ({\ Frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}} \ right) v + u \ left ({\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x}} \ right).}

Uogólnienia

Produkt o kilku funkcjach

Niech funkcje będą różniczkowalne w , wtedy mamy: fa1,...,fanie{\ displaystyle f_ {1}, \ kropki, f_ {n}}x{\ displaystyle x}

rerex∏ja=1niefaja(x)=∑ja=1nie(rerexfaja(x)∏jot≠jafajot(x)){\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} f_ {i} (x) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} f_ {i} (x) \ prod _ {j \ neq i} f_ {j} (x) \ dobrze)}

Zależność tę można wykazać za pomocą indukcji .

Demonstracja

Bo relacja jest trywialnie prawdziwa. nie=1{\ displaystyle n = 1}

Musimy teraz pokazać, że jeśli wzór jest prawdziwy dla , to jest również prawdziwy dla . nie=k≥1{\ Displaystyle n = k \ geq 1}nie=k+1{\ Displaystyle n = k + 1}

Niech będzie funkcją zdefiniowaną przez: godz{\ displaystyle h}

godz(x)=∏ja=1kfaja(x){\ Displaystyle h (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (x)}

Z nieokreślonymi funkcjami możliwymi do wyprowadzenia w . fa1,...,fak{\ displaystyle f_ {1}, \ kropki, f_ {k}}x{\ displaystyle x}

Niech znowu będzie funkcją , która sama w sobie jest różniczkowalna , pochodna jest wtedy dana przez regułę iloczynu: fak+1{\ displaystyle f_ {k + 1}}x{\ displaystyle x}(godz⋅fak+1){\ Displaystyle (h \ cdot f_ {k + 1})}

rerex(godz(x)fak+1(x))=fak+1′(x)godz(x)+fak+1(x)godz′(x).{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ lewo (h (x) f_ {k + 1} (x) \ prawo) = f_ {k + 1} '( x) h (x) + f_ {k + 1} (x) h '(x).}

Sprowadza się to do pisania z hipotezą powtarzalności:

rerex∏ja=1k+1faja(x)=rerexfak+1(x)∏ja=1kfaja(x)+fak+1(x)∑ja=1k(rerexfaja(x)∏jot≠jafajot(x)).{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ prod _ {i = 1} ^ {k + 1} f_ {i} (x) = {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} f_ {k + 1} (x) \ prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (x) + f_ {k + 1} (x ) \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} f_ {i} (x) \ prod _ {j \ neq i } f_ {j} (x) \ right).}

Upraszczając to ostatnie wyrażenie, otrzymujemy w końcu:

rerex∏ja=1k+1faja(x)=∑ja=1k+1(rerexfaja(x)∏jot≠jafajot(x)).{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ prod _ {i = 1} ^ {k + 1} f_ {i} (x) = \ suma _ {i = 1} ^ {k + 1} \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} f_ {i} (x) \ prod _ {j \ neq i} f_ {j} (x) \ right).}

Formuła jest zatem prawdziwa dla . Dzięki indukcji wzór jest zatem prawdziwy dla wszystkich liczb całkowitych . nie=k+1{\ Displaystyle n = k + 1}nie≥1{\ displaystyle n \ geq 1}

Przykład:

Z trzema funkcjami , i , różniczkowalnej IN , mamy: fa{\ displaystyle f}sol{\ displaystyle g}godz{\ displaystyle h}x{\ displaystyle x}

rerex(fasolgodz)=refarexsolgodz+faresolrexgodz+fasolregodzrex.{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} (f \, g \, h) = {\ Frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x }} \, g \, h + f \, {\ frac {\ mathrm {d} g} {\ mathrm {d} x}} \, h + f \, g \, {\ frac {\ mathrm {d } h} {\ mathrm {d} x}}.}

Na przykład, aby znaleźć pochodną  : (x+1)(x2+1)(x-2){\ Displaystyle (x + 1) (x ^ {2} +1) ({\ sqrt {x}} - 2)}

rerex[(x+1)(x2+1)(x-2)]=(x2+1)(x-2)+(x+1)(2x)(x-2)+(x+1)(x2+1)(12x).{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ lewo [(x + 1) (x ^ {2} +1) ({\ sqrt {x}} - 2) \ right] = (x ^ {2} +1) ({\ sqrt {x}} - 2) + (x + 1) (2x) ({\ sqrt {x}} - 2) + (x + 1) (x ^ {2} +1) \ left ({\ frac {1} {2 {\ sqrt {x}}}} \ right).}

Pochodne wyższego rzędu (reguła Leibniza)

Regułę iloczynu można również uogólnić na regułę Leibniza dla wyprowadzenia wyższego rzędu iloczynu dwóch funkcji zmiennej rzeczywistej.

Niech będzie liczbą całkowitą większą lub równą 1 i dwiema funkcjami razy różniczkowalnymi w pewnym punkcie , to ich iloczyn jest również różniczkowalny w punkcie , a pochodna rzędu jest dana wzorem: nie{\ displaystyle n}fa{\ displaystyle f}sol{\ displaystyle g}nie{\ displaystyle n}x{\ displaystyle x}fasol{\ displaystyle fg}nie{\ displaystyle n}x{\ displaystyle x}nie{\ displaystyle n}

(fasol)(nie)(x)=∑k=0nie(niek) fa(nie-k)(x) sol(k)(x){\ Displaystyle (fg) ^ {(n)} (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} \ f ^ {(nk)} (x) \ g ^ {(k)} (x)}

gdzie liczby całkowite są współczynnikami dwumianu i gdzie uzgodniono, że „zerowa pochodna” , oznaczona , jest samą funkcją .(niek){\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}fa{\ displaystyle f}fa(0){\ Displaystyle f ^ {(0)}}fa{\ displaystyle f}

Ta formuła jest udowodniona przez indukcję . Dowód jest porównywalny z dwumianowym wzorem Newtona . To ostatnie można ponadto wywnioskować ze wzoru Leibniza, zastosowanego do i . nie{\ displaystyle n}fa(x)=exp⁡(wx){\ displaystyle f (x) = \ exp (topór)}sol(x)=exp⁡(bx){\ Displaystyle g (x) = \ exp (bx)}

Możemy również udowodnić formułę Leibniza za pomocą rozszerzenia Taylora-Younga .

Pochodne wyższego rzędu iloczynu kilku funkcji

Poniższy wzór uogólnia jednocześnie dwa poprzednie:

(∏ja=1mfaja)(nie)=∑k1+⋯+km=nie(niek1,...,km)∏ja=1mfaja(kja){\ Displaystyle \ lewo (\ prod _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} \ prawej) ^ {(n)} = \ suma _ {k_ {1} + \ kropki + k_ {m} = n } {n \ wybierz k_ {1}, \ dots, k_ {m}} \ prod _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} ^ {(k_ {i})}},

gdzie liczby całkowite

(niek1,...,km)=nie!∏ja=1mkja!{\ Displaystyle {n \ wybierz k_ {1}, \ kropki, k_ {m.}} = {\ frac {n!} {\ prod _ {i = 1} ^ {m} k_ {i}!}}}

są wielomianowymi współczynnikami . Dowód można przeprowadzić za pomocą indukcji na m , liczbie rozważanych funkcji, używając wzoru (który sprowadza się do wzoru Leibniza) przy randze m = 2.

Doskonałe wymiary

Reguła iloczynu rozciąga się na funkcje kilku zmiennych rzeczywistych (zdefiniowanych na more n ) lub, bardziej ogólnie, funkcje, których zmienną jest wektor  :

Niech E do wektora normalizowane przestrzeni oraz f , g  : E → ℝ dwie funkcje różniczkowalną w punkcie x z E . Wówczas iloczyn fg jest różniczkowalny wx, a jego różniczka w tym punkcie jest ciągłą postacią liniową

rex(fasol):mi→R,godz↦rexfa(godz)sol(x)+fa(x)rexsol(godz).{\ Displaystyle D_ {x} (fg): E \ do \ mathbb {R}, \ quad h \ mapsto D_ {x} f (h) \, g (x) + f (x) \, D_ {x} g (h).}

Podobne wyniki są dostępne dla pochodnych kierunkowych i pochodnych cząstkowych .

Funkcje holomorficzne

Za pomocą tych samych obliczeń co powyżej, ale zastępując zmienną rzeczywistą zmienną zespoloną, udowadniamy następującą regułę dla iloczynu funkcji holomorficznych .

Niech U będzie zbiorem otwartym ℂ if , g  : U → ℂ funkcji holomorficznych. Wówczas iloczyn fg jest holomorficzny i:

(fasol)′=fa′sol+fasol′.{\ displaystyle (fg) '= f'g + fg'.}

Można to również wywnioskować z poprzedniego podrozdziału (dla E = ℂ) oraz z równań Cauchy'ego-Riemanna .

Inne funkcje, inne produkty

Jeśli przyjrzymy się bliżej dowodowi reguły iloczynu, zdamy sobie sprawę, że głównym składnikiem, oprócz wyprowadzalności funkcji, jest rozdzielność mnożenia względem dodawania (fakt, że a ( b + c ) = ab + ac ). Jednak matematycy przyzwyczaili się do nazywania produktu jedynie operacjami korzystającymi z tej właściwości. Z drugiej strony, wszystkie produkty nie są przemienne ( ab = ba, gdy a i b są liczbami, ale nie jest to prawdą w przypadku innych produktów). Możemy zatem śmiało zastosować regułę iloczynu do innych iloczynów innych niż mnożenie funkcji liczbowych, ale starając się zachować kolejność czynników, gdy iloczyn nie jest przemienny.

Produkt kropkowy  :

Niech i będą dwoma wektorami będącymi funkcjami czasu t (i różniczkowalnymi). Więc : u→(t){\ displaystyle {\ vec {u}} (t)}v→(t){\ displaystyle {\ vec {v}} (t)}

reret[u→(t)⋅v→(t)]=reu→ret⋅v→+u→⋅rev→ret.{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} [{\ vec {u}} (t) \ cdot {\ vec {v}} (t)] = {\ Frac {\ mathrm {d} {\ vec {u}}} {\ mathrm {d} t}} \ cdot {\ vec {v}} + {\ vec {u}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d } {\ vec {v}}} {\ mathrm {d} t}}.} Iloczyn krzyżowy  :

Niech i będą dwoma wektorami będącymi funkcjami czasu t (i różniczkowalnymi). Więc : u→(t){\ displaystyle {\ vec {u}} (t)}v→(t){\ displaystyle {\ vec {v}} (t)}

reret[u→(t)∧v→(t)]=reu→ret∧v→+u→∧rev→ret.{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} [{\ vec {u}} (t) \ wedge {\ vec {v}} (t)] = {\ Frac {\ mathrm {d} {\ vec {u}}} {\ mathrm {d} t}} \ wedge {\ vec {v}} + {\ vec {u}} \ wedge {\ frac {\ mathrm {d } {\ vec {czas}}} {\ mathrm {d} t}}.} Produkt mieszany  :

Niech , i są trzy wektory, które są funkcją czasu t (i różniczkowalną). Więc : u→(t){\ displaystyle {\ vec {u}} (t)}v→(t){\ displaystyle {\ vec {v}} (t)}w→(t){\ displaystyle {\ vec {w}} (t)}

reret{u→(t)⋅[v→(t)∧w→(t)]}=reu→ret⋅[v→∧w→]+u→⋅[rev→ret∧w→]+u→⋅[v→∧rew→ret].{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ {{\ vec {u}} (t) \ cdot [{\ vec {v}} (t) \ wedge { \ vec {w}} (t)] \} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {u}}} {\ mathrm {d} t}} \ cdot [{\ vec {v}} \ wedge {\ vec {w}}] + {\ vec {u}} \ cdot \ left [{\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v}}} {\ mathrm {d} t}} \ wedge {\ vec {w}} \ right] + {\ vec {u}} \ cdot \ left [{\ vec {v}} \ wedge {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {w}}} { \ mathrm {d} t}} \ right].} Produkt macierzowy  :

Niech A ( t ) i B ( t ) będą dwiema macierzami będącymi funkcjami czasu t (i różniczkowalnymi) oraz takich wymiarów, że iloczyn AB istnieje. Więc :

reret[W(t)b(t)]=reWretb+Wrebret,{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} [A (t) B (t)] = {\ Frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} B + A {\ frac {\ mathrm {d} B} {\ mathrm {d} t}},}

iw ten sam sposób zastępując wszędzie zwykły produkt macierzy iloczynem Hadamarda lub Kroneckera .

Podobnie jak w § „Wyższe wymiary” , we wszystkich tych przykładach możemy zastąpić zmienną rzeczywistą („czas”) zmienną wektorową.

Reguła iloczynu w znormalizowanych przestrzeniach wektorowych

Niech X , Y i Z są znormalizowane przestrzenie wektorowe i B  : X × Y → Z będzie ciągły bilinear map . Następnie B jest różniczkowalną i różnicowaniu w miejscu ( x , y ), z X x Y jest ciągłym liniowym  :

re(x,y)b:X×Y→Z,(godz,k)↦b(godz,y)+b(x,k).{\ Displaystyle D _ {(x, r)} B: X \ razy Y \ rightarrow Z, \ quad (h, k) \ mapsto B \ lewo (h, y \ prawo) + B \ lewo (x, k \ po prawej).}

Składając kilka funkcji ( u , v ): T → X × Y zdefiniowane na znormalizowanej przestrzeni wektorowej T , wnioskujemy o ogólną postać powyższych przykładów:

Jeśli U i V są różniczkowalną w punkcie t 0 o T czym kompozyt

b∘(u,v):T→Z,t↦b(u(t),v(t)){\ Displaystyle B \ Circ (u, v): T \ do Z, \ quad t \ mapsto B (u (t), v (t))}

jest również, a jego różnica w tym miejscu to:

ret0(b∘(u,v)):T→Z,ℓ↦b(ret0u(ℓ),v(t0))+b(u(t0),ret0v(ℓ)).{\ Displaystyle D_ {t_ {0}} \ lewo (B \ Circ (u, v) \ prawej): T \ do Z, \ quad \ ell \ mapsto B \ lewo (D_ {t_ {0}} u (\ ell), v (t_ {0}) \ right) + B \ left (u (t_ {0}), D_ {t_ {0}} v (\ ell) \ right).}

Uwagi i odniesienia

• (en) / (de) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułów zatytułowanych w języku angielskim „  Product rule  ” ( patrz lista autorów ) oraz w języku niemieckim „  Produktregel  ” ( patrz lista autorów ) .
• (w) Robert A. Adams, Rachunek, kompletny kurs , 6 th ed., Pearson Education, 2007 ( ISBN  0-321-27000-2 )

1. Zobacz pochodne i operacje na Wikiwersytecie .
2. Zobacz instrumenty pochodne wyższego rzędu na Wikiwersytecie .

Zobacz też

• Wyprowadzenie (algebra)
• Tożsamości wektorowe
• Operacje pochodne
• Reguła Leibniza dotycząca różnic podzielonych

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">