Podzielone różnice
W matematyce , podzielone różnice odpowiadają dyskretyzacji kolejnych pochodnych funkcji. Są to wielkości zdefiniowane i obliczone rekurencyjnie poprzez uogólnienie wzoru na tempo wzrostu . Są one używane w szczególności w interpolacji Newtona .
Definicja
Otrzymane punktynie+1{\ displaystyle n + 1}
(x0,y0),...,(xnie,ynie),{\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}), \ ldots, (x_ {n}, y_ {n}),}na oddzielnych współrzędnych x podzielone różnice są zdefiniowane w następujący sposób:
[yν]=yν(ν=0,...,nie){\ Displaystyle [r _ {\ nu}] = r _ {\ nu} \ qquad (\ nu = 0, \ ldots, n)}
[yν,...,yν+jot]=[yν+1,...yν+jot]-[yν,...yν+jot-1]xν+jot-xν(jot=1,...,nie,ν=0,...,nie-jot).{\ Displaystyle [y _ {\ nu}, \ ldots, r _ {\ nu + j}] = {\ Frac {[y _ {\ nu +1}, \ ldots y _ {\ nu + j}] - [y _ {\ nu}, \ ldots y _ {\ nu + j-1}]} {x _ {\ nu + j} -x _ {\ nu}}} \ qquad (j = 1, \ ldots, n, \ qquad \ nu = 0, \ ldots, nj).}
W przypadku dowolnej funkcji, takiej jak , czasami zauważamy podzieloną różnicę .
fa{\ displaystyle f}yja=fa(xja)(ja=0,...,nie){\ Displaystyle y_ {i} = f (x_ {i}) \ qquad (i = 0, \ ldots, n)}fa[x0,...,xnie]{\ displaystyle f [x_ {0}, \ kropki, x_ {n}]}[y0,...,ynie]{\ displaystyle [y_ {0}, \ kropki, y_ {n}]}
Nieruchomości
Według interpolacji twierdzenia Newtona , podzielenie różnicy związana punktów jest równy współczynnikowi stopnia na wielomian z Lagrange interpolację tych punktów. Innymi słowy :
nie+1{\ displaystyle n + 1}nie{\ displaystyle n}
[y0,...,ynie]=∑jot=0nieyjot∏0≤ja≤nie,ja≠jot(xjot-xja){\ displaystyle [y_ {0}, \ kropki, y_ {n}] = \ suma _ {j = 0} ^ {n} {\ frac {y_ {j}} {\ prod _ {0 \ równoważnik ja \ równoważnik n, \, i \ neq j} (x_ {j} -x_ {i})}}}.
Ta równość ma niezwykłe konsekwencje:
-
niezmienności przez permutację indeksów :;fa[xσ(0),...,xσ(nie)]=fa[x0,...,xnie](σ∈S{0,...,nie}){\ Displaystyle f [x _ {\ sigma (0)}, \ kropki, x _ {\ sigma (n)}] = f [x_ {0}, \ kropki, x_ {n}] \ quad (\ sigma \ w S_ {\ {0, \ dots, n \}})}
-
Liniowość : ;(wfa+bsol)[x0,...,xnie]=wfa[x0,...,xnie]+bsol[x0,...,xnie]{\ Displaystyle (af + bg) [x_ {0}, \ kropki, x_ {n}] = a \, f [x_ {0}, \ kropki, x_ {n}] + b \, g [x_ {0 }, \ kropki, x_ {n}]}
-
Leibniz zasada : ;(fasol)[x0,...,xnie]=∑jot=0niefa[x0,...,xjot]sol[xjot,...,xnie]{\ displaystyle (fg) [x_ {0}, \ kropki, x_ {n}] = \ suma _ {j = 0} ^ {n} f [x_ {0}, \ kropki, x_ {j}] g [ x_ {j}, \ dots, x_ {n}]}
-
Średni twierdzenie : dla n ≥ 1 oraz , jeżeli jest klasa C N -1 o i ma n -tej pochodnej w istnieje taki sposób, żex0<⋯<xnie{\ displaystyle x_ {0} <\ kropki <x_ {n}}fa{\ displaystyle f}[x0,xnie]{\ displaystyle [x_ {0}, x_ {n}]}]x0,xnie[{\ displaystyle] x_ {0}, x_ {n} [}vs∈]x0,xnie[{\ displaystyle c \ in] x_ {0}, x_ {n} [}fa[x0,...,xnie]=fa(nie)(vs)nie!{\ Displaystyle f [x_ {0}, \ kropki, x_ {n}] = {\ Frac {f ^ {(n)} (c)} {n!}}}.
Przykłady
Pierwsze iteracje dają:
Zamówienie 0:
[y0]=y0{\ displaystyle [y_ {0}] = r_ {0}}
Zamówienie 1:
[y0,y1]=y1-y0x1-x0{\ displaystyle [y_ {0}, y_ {1}] = {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}}
Zamówienie 2:
[y0,y1,y2]=y2-y1x2-x1-y1-y0x1-x0x2-x0{\ displaystyle [y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}] = {\ frac {{\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} - {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}} {x_ {2} -x_ {0}}}}
Aby wyraźnie określić proces rekurencyjny, podzielone różnice można obliczyć, umieszczając je w tabeli w następujący sposób:
x0y0=[y0][y0,y1]x1y1=[y1][y0,y1,y2][y1,y2][y0,y1,y2,y3]x2y2=[y2][y1,y2,y3][y2,y3]x3y3=[y3]{\ displaystyle {\ begin {matrix} x_ {0} i y_ {0} = [y_ {0}] &&& \\ && [y_ {0}, y_ {1}] && \\ x_ {1} i y_ { 1} = [y_ {1}] && [y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}] & \\ && [y_ {1}, y_ {2}] && [y_ {0}, y_ { 1}, y_ {2}, y_ {3}] \\ x_ {2} & y_ {2} = [y_ {2}] && [y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}] & \ \ && [y_ {2}, y_ {3}] && \\ x_ {3} & y_ {3} = [y_ {3}] &&& \\\ end {matrix}}}W przypadku, gdy odcięte są w ciągu arytmetycznym , podzielone różnice są związane z różnicami skończonymi , określonymi przez
Δgodz0[fa]=fai△godznie+1[fa](x)=△godznie[fa](x+godz)-△godznie[fa](x){\ Displaystyle \ Delta _ {h} ^ {0} [f] = f \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ trójkąt _ {h} ^ {n + 1} [f] (x) = \ trójkąt _ {h} ^ {n} [f] (x + h) - \ triangle _ {h} ^ {n} [f] (x)},
przez relację (bezpośrednio przez indukcję):
fa[x,x+godz,...,x+niegodz]=1nie!godznie△godznie[fa](x){\ Displaystyle f [x, x + h, \ ldots, x + nh] = {\ Frac {1} {n! h ^ {n}}} \ trójkąt _ {h} ^ {n} [f] (x )}.
Podanie
Podzielone różnice wpływają na sformułowanie twierdzenia o interpolacji Newtona , które daje szczególne wyrażenie wielomianu interpolacji Lagrange'a , pozwalając na przykład wykazać, że dowolna funkcja wielomianowa jest równa jej szeregowi Newtona .
Zobacz też
Link zewnętrzny
Interpolacja wielomianowa (sic) typu Newtona i różnice dzielone
Kredyt autora
(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w
języku angielskim zatytułowanego
„ Podzielone różnice ” ( zobacz listę autorów ) .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">