Wzór wielomianowy Newtona
W matematyce , wielomian wzór Newtona jest zależność daje opracowania całkowitej mocy n sumy skończonej liczby m warunków w postaci sumy iloczynów potęg tych warunkach przypisanych współczynniki, nazywane są współczynnikami wielomianu . Wzór dwumianowy uzyskuje się jako szczególny przypadek wzoru wielomianowego, dla m = 2 ; iw tym przypadku współczynniki wielomianowe są współczynnikami dwumianowymi .
Stany
Niech m i n oba oznaczają liczby całkowite i x 1 , x 2 , ..., x m o liczbach rzeczywistych lub kompleksu (lub, bardziej ogólnie, gdy elementy pierścienia przemiennego lub tylko w pierścieniu , pod warunkiem, że te m elementów przełączania dwójkami) . Więc,
(x1+x2+x3+⋯+xm)nie=∑k1+k2+k3+...+km=nie(niek1,k2,k3,...,km)x1k1x2k2x3k3...xmkm{\ Displaystyle (x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} + \ kropki + x_ {m}) ^ {n} = \ suma _ {k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} + \ ldots + k_ {m} = n} {n \ wybierz k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ dots, k_ {m}} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2} ^ {k_ {2}} x_ {3} ^ {k_ {3}} \ dots x_ {m} ^ {k_ {m}}}![{\ Displaystyle (x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} + \ kropki + x_ {m}) ^ {n} = \ suma _ {k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} + \ ldots + k_ {m} = n} {n \ wybierz k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ dots, k_ {m}} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2} ^ {k_ {2}} x_ {3} ^ {k_ {3}} \ dots x_ {m} ^ {k_ {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e4da5683a04a04089d54d6a9f9a86e6cbe556f)
.
Suma odnosi się do wszystkich kombinacji naturalnych liczb całkowitych indeksów k 1 , k 2 , ..., k m takich, że k 1 + k 2 + ... + k m = n , przy czym niektóre z nich mogą być równe zero.
Równoważne, ale znacznie bardziej zwięzłe zapisywanie polega na zsumowaniu wszystkich multi-wskaźników wymiaru m, którego moduł jest równy n :
k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}
|k→|=∑ja=1mkja{\ Displaystyle \ lewo | {\ vec {k}} \ prawo | = \ suma \ nolimits _ {i = 1} ^ {m} k_ {i}}![\ left | {\ vec k} \ right | = \ sum \ nolimits _ {{i = 1}} ^ {m} k_ {i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3522d703b8ff74af54f498026843a61fd32cde9b)
(∑ja=1mxja)nie=∑|k→|=nie(niek→)∏ja=1mxjakja{\ Displaystyle \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} \ prawej) ^ {n} = \ suma _ {\ lewo | {\ vec {k}} \ prawo | = n} {n \ choose {\ vec {k}}} \ prod _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} ^ {k_ {i}}}![{\ Displaystyle \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} \ prawej) ^ {n} = \ suma _ {\ lewo | {\ vec {k}} \ prawo | = n} {n \ choose {\ vec {k}}} \ prod _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} ^ {k_ {i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c880d4e71a586413319e3a7b3589b5de34dde541)
Liczby
(niek1,k2,k3,...,km)=(niek→)=nie!k1!k2!k3!...km!=nie!∏ja=1mkja!{\ Displaystyle {n \ wybierz k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}} = {n \ wybierz {\ vec {k}}} = {\ frac {n! } {k_ {1}! k_ {2}! k_ {3}! \ dots k_ {m}!}} = {\ frac {n!} {\ prod _ {i = 1} ^ {m} k_ {i }!}}}![{n \ choose k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}} = {n \ choose {\ vec k}} = {\ frac {n!} {k_ {1 }! k_ {2}! k_ {3}! \ dots k_ {m}!}} = {\ frac {n!} {\ prod _ {{i = 1}} ^ {m} k_ {i}!} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffbdf2226fa64811019001780e188ee39a73c368)
nazywane są wielomianowymi współczynnikami .
Współczynnik wielomianu to także liczba „uporządkowanych przegród” zbioru n elementów w m zbiorach odpowiednich kardynali k 1 , k 2 ,…, k m . Bardziej formalnie:
(niek1,k2,k3,...,km){\ Displaystyle {n \ wybierz k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}}}![{n \ wybierz k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f605c8b3069cd0ff0c4741c60d870c72cc4aeb)
(niek1,k2,...,km)=Karta{ja∈P.({1,...,nie})m|∀ja,jotKarta(jaja)=kja i (ja≠jot⇒jaja∩jajot=∅)}.{\ Displaystyle {n \ wybierz k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} = \ operatorname {karta} \ lewo \ {ja \ in {\ mathcal {P}} (\ {1, \ ldots, n \}) ^ {m} | \ forall i, j \ quad \ operatorname {Card} (I_ {i}) = k_ {i} ~ {\ text {i}} ~ (i \ neq j \ Rightarrow I_ {i} \ cap I_ {j} = \ emptyset) \ right \}.}
A konkretniej, jest to liczba słów o długości n utworzonych z alfabetu m znaków, przy czym pierwszy znak jest powtarzany k 1 raz, drugi, k 2 razy, ..., m- ty, k m razy. Na przykład liczba anagramów słowa Mississippi jest warta .
(niek1,k2,k3,...,km){\ Displaystyle {n \ wybierz k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}}}
(104,4,1,1)=6300{\ displaystyle {10 \ wybierz 4,4,1,1} = 6300}![{\ displaystyle {10 \ wybierz 4,4,1,1} = 6300}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d62e5160b3fa41b932f6e97ce45cfad73424859)
Demonstracje
Bezpośrednim dowodem jest użycie przedostatniego wyrażenia powyżej dla współczynników wielomianowych.
Innym jest rozumowanie przez indukcję na m , używając wzoru dwumianowego .
Wreszcie, możemy użyć całkowitej (lub po prostu formalnej ) rozwinięcia szeregu wykładniczego .
Przykład
(w+b+vs)3=(w3b0vs0+w0b3vs0+w0b0vs3)+3(w2b1vs0+w1b2vs0+w0b1vs2+w0b2vs1+w1b0vs2+w2b0vs1)+6w1b1vs1=w3+b3+vs3+3(w2b+wb2+bvs2+b2vs+wvs2+w2vs)+6wbvs.{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (a + b + c) ^ {3} & = (a ^ {3} b ^ {0} c ^ {0} + a ^ {0} b ^ {3} c ^ {0} + a ^ {0} b ^ {0} c ^ {3}) + 3 (a ^ {2} b ^ {1} c ^ {0} + a ^ {1} b ^ {2} c ^ {0} + a ^ {0} b ^ {1} c ^ {2} + a ^ {0} b ^ {2} c ^ {1} + a ^ {1} b ^ {0} c ^ {2} + a ^ {2} b ^ {0} c ^ {1}) + 6a ^ {1} b ^ {1} c ^ {1} \\ & = a ^ {3} + b ^ {3 } + c ^ {3} +3 (a ^ {2} b + ab ^ {2} + bc ^ {2} + b ^ {2} c + ac ^ {2} + a ^ {2} c) + 6abc. \ End {aligned}}}
Uwagi i odniesienia
-
Ten dowód kombinatoryczny jest dostępny na przykład w Louis Comtet , Zaawansowana analiza kombinatoryczna , Techniki inżynieryjne ( czytaj online ) , str. 3i na Wikiwersytecie , w linku poniżej .
-
Ten dowód powtarzalności jest dostępny na przykład na Wikiwersytecie, w linku poniżej .
-
Ten "analityczny" dowód jest dostępny na przykład w Comtet , str. 3 i na Wikiversity, w linku poniżej .
Zobacz też
Powiązane artykuły
Bibliografia
(en) Paul Erdős i Ivan Niven , „ Liczba wielomianowych współczynników ” , Amer. Matematyka. Miesięcznie , vol. 61,1954, s. 37-39 ( czytaj online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">