Postęp arytmetyczny

W matematyce An arytmetyczna sekwencja jest sekwencją (najczęściej sekwencja liczb rzeczywistych ), w którym każdy składnik umożliwia wywnioskowanie następnego przez dodanie stałej zwanej powodów .

Definicję tę można zapisać w postaci relacji powtarzania, dla każdego indeksu $n$ :

u _ {{n + 1}} = u_ {n} + r

Ta zależność jest charakterystyczna dla progresji arytmetycznej lub wzrostu liniowego . Dobrze opisuje zjawiska, których zmienność jest stała w czasie, takie jak ewolucja rachunku bankowego z prostym oprocentowaniem .

Ciągi arytmetyczne spełniają ogólną formułę obliczania wyrazów, jak również dla powiązanych szeregów .

Termin ogólny

Jeśli ( E , +) jest grupą - lub nawet tylko zbiorem wyposażonym w prawo asocjacyjne - i jeśli jest ciągiem arytmetycznym E z powodu r , to dla każdej liczby naturalnej $n$ : $(u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}$

u_ {n} = u_ {0} + nr.

Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli sekwencja jest zdefiniowana tylko na podstawie indeksu $n ₀$ i jeśli n ≥ p ≥ $n ₀$ to: $u_ {n} = u_ {p} + (np) r.$

Ciąg arytmetyczny jest zatem całkowicie określony przez dane jego pierwszego $członu$ $u n ₀$ i jego przyczyny r .

I odwrotnie, sekwencja zdefiniowana na podstawie indeksu $n ₀$ przez $u_ {n} = u _ {{n_ {0}}} + (n-n_ {0}) r$ jest arytmetyką rozumu r .

W rzeczywistej lub zespolonej analizy arytmetyczna sekwencja jest zatem dyskretny wygląd w funkcji afinicznej .

Kierunek zmienności i zbieżności

Ten paragraf dotyczy ciągów arytmetycznych z wartościami rzeczywistymi i wykorzystuje fakt, że liczby rzeczywiste tworzą pole Archimedesa .

Jeśli r > 0, sekwencja rośnie ; jeśli r <0, sekwencja maleje, a jeśli r = 0 sekwencja jest stała.

Ogólnie (jeśli r nie jest zerem), ciąg arytmetyczny jest rozbieżny. Jednak przyznaje limit :

jeśli przyczyna jest pozytywna ( r > 0), granica wynosi $+ \infty$ ;
jeśli przyczyna jest ujemna ( r <0), granica wynosi $-\infty$ ;
jeśli przyczyną jest zero ( r = 0), sekwencja jest stała i dlatego jest zbieżna w kierunku stałej.

Suma terminów

Jeśli E = ℝ lub ℂ i jeśli jest ciągiem arytmetycznym E , to każda suma kolejnych wyrazów jest równa liczbie tych wyrazów pomnożonej przez średnią z dwóch skrajnych składników. $(u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}$

Na przykład :

u_0 + u_1 + \ cdots + u_n = (n + 1) {u_0 + u_n \ over 2} = (n + 1) {2u_0 + nr \ over 2}.

Szczególny przypadek $u ₀$ = 0 ir = 1 to wzór dający sumę liczb całkowitych od 1 do n , których różne dowody przedstawiono w dwóch artykułach szczegółowych. Pozwala pokazać ogólny przypadek:

u_p + u_ {p + 1} + \ cdots + u_n = (n-p + 1) {u_p + u_n \ over 2} = (n-p + 1) {2u_p + (np) r \ over 2}.

Demonstracja

Niech $q = n - p$ . Więc, ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} u_ {p} + u_ {p + 1} + \ cdots + u_ {n} & = u_ {p} + (u_ {p} + r) + \ cdots + (u_ { p} + rq) \\ & = (q + 1) u_ {p} + r (1+ \ cdots + q) \\ & = (q + 1) u_ {p} + r {\ frac {q (q +1)} {2}} \\ & = (q + 1) {\ frac {2u_ {p} + rq} {2}} \\ & = (q + 1) {u_ {p} + u_ {n } \ over 2} \\ & = {\ text {Liczba terminów}} \ times {{\ text {pierwszy termin}} + {\ text {ostatni termin}} \ ponad 2}. \ end {aligned}}}$

Ten wzór jest prawdziwy dla dowolnej sekwencji o wartościach modułu na pierścieniu o charakterystyce innej niż 2.

Niezwykłe sekwencje arytmetyczne

Zbiór liczb naturalnych

Zbiór ℕ naturalnych liczb całkowitych jest nieskończonym ciągiem arytmetycznym o stosunku 1.

Arytmetyczny ciąg liczb pierwszych

W 2004 roku Ben Joseph Green i Terence Tao wykazali, że istnieją ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o skończonej dowolnej długości , nie dając jednak żadnych środków do ich znalezienia.

Na przykład :

ciąg arytmetyczny trzech liczb pierwszych postaci 3 + 2 n , przy czym n = 0 do 2: 3, 5, 7;
ciąg arytmetyczny pięciu liczb pierwszych postaci 5 + 6 n , przy czym n = 0 do 4: 5, 11, 17, 23, 29;
ciąg arytmetyczny siedmiu liczb pierwszych w postaci 7 + 150 n , przy czym n = 0 do 6: 7, 157, 307, 457, 607, 757, 907.

Najdłuższe sekwencje arytmetyczne liczb pierwszych znanych w programie 23 lutego 2014 są trzy i mają po 26 elementów każdy.

Ocena i odniesienie

(w) „ Premie w rekordach postępu arytmetycznego ” .

Zobacz też