Twierdzenie Constable

W analizie The twierdzenie prasujący (znany również twierdzenie z imadła , tw opraw lub tw sandwich ) jest twierdzenie na granicy funkcji . Zgodnie z tym twierdzeniem, jeśli dwie funkcje ( $f$ i $h$ ) przyjmują tę samą granicę w punkcie $( a )$ , a trzecia funkcja $( g )$ jest „zaciśnięta” (lub „ otoczona ” lub „ wciśnięta ”) między $f$ i $h$ w okolice z , wówczas $G$ Przyznaje $nie$ ograniczonego do wspólnej granicy $f$ i $h$ .

Twierdzenie Constable jest często używane do określenia granicy funkcji poprzez porównanie jej z dwiema innymi funkcjami, których granica jest znana lub łatwa do obliczenia.

Stany

Są:

$E$ topologiczna przestrzeń ;
$Ma$ do udziału w $E$ ;
$w$ punkt $E$ przylegający do $A$ ;
$fa$ , I trzy funkcje z $A$ w ℝ = ℝ ∪ ${-\infty + \infty}$ ; $sol$ $godz$
$L$ element ℝ .

Jeśli i jeśli , to zbiega się do i . ${\ displaystyle f \ leq g \ leq h}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {a} f = \ lim _ {a} h = L}$ $sol$ $w$ ${\ displaystyle \ lim _ {a} g = L}$

Pochodzenie nazwy

Aby zrozumieć znaną nazwę twierdzenia, musimy przyrównać funkcje $f$ i $h$ do żandarmów, a $g$ do podejrzanego. Ten ostatni, nadzorowane przez oba żandarmów zobowiązany się do nich na $L$ gendarmerie . We Włoszech nazywa się to „twierdzeniem o karabinie ”, „twierdzeniem o konfrontacji”, a nawet „twierdzeniem kanapkowym”.

Przypadki specjalne

Jeśli i , hipotezy twierdzenia są spełnione przez ustawienie . ${\ displaystyle f \ leq g}$ $\ lim_af = + \ infty$ ${\ Displaystyle L = + \ infty}$ ${\ displaystyle h: x \ mapsto + \ infty}$
Jeśli i , hipotezy twierdzenia są spełnione przez ustawienie . ${\ displaystyle g \ leq h}$ ${\ displaystyle \ lim _ {a} h = - \ infty}$ ${\ displaystyle L = - \ infty}$ ${\ displaystyle f: x \ mapsto - \ infty}$
Zbiór $A$ może być rzeczywistym przedziałem, a punkt $ma$ element tego przedziału lub jedną z jego dwóch granic (skończonych lub nie).
Możemy również zastosować twierdzenie z or i : jeśli $u$ , $v$ i $w$ są trzema ciągami rzeczywistymi, takimi, że dla wszystkich $n$ $>$ $N$ ${\ displaystyle A = \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle \ {n \ in \ mathbb {N} \ środkowy n> N \}}$ ${\ displaystyle a = + \ infty}$ $u_ {n} \ leq v_ {n} \ leq w_ {n} {\ text {and}} \ lim _ {{n \ to + \ infty}} u_ {n} = \ lim _ {{n \ to + \ infty}} w_ {n} = L, {\ text {then}} \ lim _ {{n \ to + \ infty}} v_ {n} = L,$ z rzeczywistym lub nieskończonym . $L$

Przykłady

Pierwszy przykład

Klasycznym przykładem zastosowania twierdzenia żandarma jest:

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ Frac {\ sin x} {x}} = 0}

lub, co jest równoważne:

{\ displaystyle \ lim _ {r \ do 0} y \ sin ({\ tfrac {1} {y}}) = 0}

A fortiori, co można również wykazać bezpośrednio, zawsze przez twierdzenie żandarmów. ${\ Displaystyle \ lim _ {y \ do 0} y ^ {2} \ sin ({\ tfrac {1} {y}}) = 0}$

Drugi przykład

Chyba najbardziej znany przykład wyznaczenie granicy za pomocą twierdzenia constable jest dowodem na następującą równość:

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ do 0} {\ Frac {\ sin x} {x}} = 1}

Wynika to z twierdzenia żandarmów o klasycznej konstrukcji

{\ Displaystyle \ cos x \ równoważnik {\ Frac {\ sin x} {x}} \ równoważnik 1}

dla $x$ (nie zero) wystarczająco blisko 0.

Ta granica służy do wykazania, że pochodna funkcji sinus jest funkcją cosinus.

Uwagi i odniesienia

Ministerstwo Edukacji Narodowej (Francja) , „ Program nauczania matematyki w klasie końcowej serii naukowej ”, BO , n o 4,Sierpień 2001, s. 65 ( czytaj online ).
Abdou Kouider Ben-Naoum , Analiza: Pierwsze podstawowe pojęcia: Teoria, przykłady, pytania, ćwiczenia , University Press of Louvain ,2007, 414 s. ( ISBN 9782874630811 , czytaj online ) , str. 66.
Stéphane Balac i Frédéric Sturm, Algebra i analiza: pierwszy rok matematyki z poprawionymi ćwiczeniami , PPUR ,2003( czytaj online ) , s. 577.
James Stewart (in) ( przetłumaczone z angielskiego przez Micheline Citta-Vanthemsche), Koncepcje analizy i konteksty: Funkcja zmiennej [„ Rachunek: pojęcia i konteksty ”], t. 1, De Boeck ,2011, 631 s. ( ISBN 9782804163068 ) , str. 110.
Dla funkcji z wartościami w ℝ - ale dowód jest identyczny dla funkcji z wartościami w ℝ - twierdzenie jest sformułowane w tej ogólnej formie i wykazane przez E. Ramisa, C. Deschampsa i J. Odouxa, Cours de mathematics promocje , lot. 3, Masson ,1976, s. 40, a także - dla konkretnego przypadku $E$ = ℝ i $A \subset ℝ$ , ale dowód bez problemu dostosowuje się do dowolnej przestrzeni topologicznej - w: Frédéric Denizet, Analyze - MPSI , Nathan , coll. "Klasa przygotowawcza",2008( czytaj online ) , s. 201oraz w "Granice i relacja porządku" na Wikiwersytecie .
Ten przykład jest szczegółowo opisany w sekcji Funkcje rzeczywistej zmiennej / Limity # Limity i relacja kolejności na Wikiversity .
Ten przykład jest szczegółowo opisany w rozdziale Limits of a function / Granice theorems # Twierdzenie Constable na Wikiversity .
Zobacz na przykład (de) Selim G. Kerin i VN Uschakowa, Vorstufe zur höheren Mathematik , Vieweg,1968( ISBN 978-3-322-98628-3 , czytaj online ) , str. 80-81lub po prostu własność 1 funkcji trygonometrycznych / Właściwości wstępne # Właściwości ograniczeń na Wikiversity .

Zobacz też

Powiązany artykuł

Twierdzenie o kanapce (wariant)

Linki zewnętrzne