Idealna liczba

W arytmetyka , A Liczba doskonała to liczba naturalna równą połowie suma jej dzielników lub suma jej ścisłych dzielników . Bardziej formalnie, liczba doskonała n jest liczbą całkowitą taką, że σ( n ) = 2 n, gdzie σ( n ) jest sumą dodatnich dzielników n . Tak więc 6 jest liczbą doskonałą, ponieważ jej dzielniki całkowite to 1, 2, 3 i 6 i weryfikuje 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, a nawet 6 = 1 + 2 + 3.

Zobacz kontynuacji A000396 z OEIS .

Nawet idealne liczby

Pierwsze odkrycia

W książce IX z jego elementów , Euklidesa , w III th  wieku  przed naszą erą. BC wykazał, że jeśli M = 2 p - 1 jest liczbą pierwszą , to M ( M + 1) / 2 = 2 p -1 (2 p - 1) jest idealne.

Ponadto Leonhard Euler w XVIII -tego  wieku , wykazały, że każda Liczba doskonała to nawet w formie zaproponowanej przez Euklidesa. Poszukiwanie liczb nawet doskonałych jest zatem powiązane z poszukiwaniem liczb pierwszych Mersenne'a (liczby pierwsze w postaci M p = 2 p  - 1, przy czym liczba całkowita p jest wtedy koniecznie liczbą pierwszą). „Doskonałość” takiej liczby jest napisana:

2p-1(2p-1)=2p-1Mp=1+2+4+⋯+2p-1+Mp+2Mp+4Mp+⋯+2p-2Mp.{\ displaystyle 2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1) = 2 ^ {p-1} M_ {p} = 1 + 2 + 4 + \ cdots + 2 ^ {p-1} + M_ {p} + 2M_ {p} + 4M_ {p} + \ cdots + 2 ^ {p-2} M_ {p}.} Dowód twierdzenia Euklidesa-Eulera

Chcemy pokazać równoważność:

A = 2 p -1 (2 p - 1) (z 2 p - 1 liczbą pierwszą) ⇔ A jest liczbą parzystą idealną

Bezpośrednie znaczenie:

Niech A = 2 p -1 (2 p - 1) , gdzie 2 p - 1 jest liczbą pierwszą.

σ(W)=σ(2p-1(2p-1))=σ(2p-1)σ(2p-1).{\ displaystyle \ sigma (A) = \ sigma (2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)) = \ sigma (2 ^ {p-1}) \ sigma (2 ^ {p} - 1)).}

Dzielniki 2 p -1 to 1, 2, 4, 8, ..., 2 p -1 . Ich suma jest sumą wyrazów ciągu geometrycznego . Jest wart 2 p -1 .

2 p - 1 jest liczbą pierwszą. Jego jedynymi dzielnikami są 1 i ono samo. Ich suma jest warta 2 % .

Łącząc te wyniki:

σ(2p-1(2p-1))=σ(2p-1)σ(2p-1)=(2p-1)(2p)=2(2p-1)(2p-1)=2W.{\ displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ sigma (2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)) & = \ sigma (2 ^ {p-1}) \ sigma (2 ^ {p} -1) \\ & = (2 ^ {p} -1) (2 ^ {p}) \\ & = 2 (2 ^ {p-1}) (2 ^ {p} -1) \\ & = 2A. \ Koniec {wyrównany}}}

Zatem A = 2 p -1 (2 p - 1) jest idealne.

Wzajemne znaczenie

Załóżmy, że A jest liczbą parzystą idealną. A = 2 p-1 x , gdzie x jest nieparzystą liczbą całkowitą.

Ponieważ A jest doskonałe, suma jego dzielników jest warta dwukrotność jego wartości:

σ(W)=2W=2px=σ(2p-1x)=σ(2p-1)σ(x)=(2p-1)σ(x){\ displaystyle \ sigma (A) = 2A = 2 ^ {p} x = \ sigma (2 ^ {p-1} x) = \ sigma (2 ^ {p-1}) \ sigma (x) = (2 ^ {p} -1) \ sigma (x)}

Więc 2px=(2p-1)σ(x){\ displaystyle 2 ^ {p} x = (2 ^ {p} -1) \ sigma (x)}

Z tej równości nieparzysty czynnik 2 p -1 po prawej stronie musi podzielić x , jedyny nieparzysty czynnik po lewej stronie ( lemat Gaussa ). Więc istnieje liczba całkowita y < x , taka, że x = y (2 p - 1) . Podzielmy dwie strony równości przez wspólny (niezerowy) czynnik 2 p - 1  :

2ptak=σ(x){\ displaystyle 2 ^ {p} y = \ sigma (x)}

Teraz (znamy co najmniej dwa różne dzielniki x  : x i y . Mogą być inne. Stąd ) 2ptak=σ(x)≥x+tak =2ptak.{\ displaystyle 2 ^ {p} y = \ sigma (x) \ geq x + y \ = 2 ^ {p} y.}σ(x)≥x+tak {\ styl wyświetlania \ sigma (x) \ geq x + y \}

Jako krawat . σ(x)=x+tak{\ styl wyświetlania \ sigma (x) = x + y}

Ale x przyznaje co najmniej 1 i siebie jako dzielniki. musi wynosić co najmniej x + 1 . istnieje zatem 1 . x przyjmuje tylko 1 i siebie jako dzielniki. To jest koniecznie pierwsze. x = 1 (2 p - 1) = 2 p - 1σ(x){\ styl wyświetlania \ sigma (x)}

Zatem A = 2 p -1 (2 p - 1) z 2 p - 1 liczbą pierwszą. Co było potrzebne.

Przykłady

Pierwsze cztery liczby doskonałe znane są od czasów starożytnych  :

• 6 = 2 1 (2 2 - 1) = (1 + 2) + 3;
• 28 = 2 2 (2 3 - 1) = (1 + 2 + 4) + (7 + 14);
• 496 = 2 4 (2 5 - 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + (31 + 62 + 124 + 248);
• 8 128 = 2 6 (2 7 - 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64) + (127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064).

Od tego czasu, całkowita wzrosła do 51 doskonałych numerów (bo wiemy, że 51 liczba liczb pierwszych Mersenne , ostatnia odkryta w grudniu 2018 roku), bez że wiemy, od 47 th , jeśli tam nie ma „dziury” (półprodukt doskonałymi liczby nie jeszcze odkryte).

Pierwsze siedem liczb parzystych idealnych podano w poniższej tabeli:

p	Liczba liczb pierwszych Mersenne'a M p	Liczba doskonała 2 p –1 M p
2	3	6
3	7	28
5	31	496
7	127	8 128
13	8191	33 550 336
17	131 071	8 589 869 056
19	524 287	137 438 691 328

Nieruchomości

Każda nawet idealna liczba kończy się na 6 lub 8, ale niekoniecznie na przemian.

W 2000 roku Douglas Iannucci zademonstrował, że wszystkie liczby parzyste doskonałe są oparte na dwóch liczbach Kaprekara .

Ponieważ nawet liczby doskonałe mają postać 2 n −1 (2 n  - 1), są to liczby trójkątne (a nawet sześciokątne ) i jako takie są sumą naturalnych liczb całkowitych do pewnej (nieparzystej) rangi , w tym przypadku 2 n  - 1. Co więcej, wszystkie liczby parzyste, z wyjątkiem pierwszej, są sumą pierwszych 2 ( n −1) / 2 nieparzystych sześcianów. Na przykład :

28 = 1 3 + 3 3  ; 496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3  ; 8128 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 9 3 + 11 3 + 13 3 + 15 3 .

Nieparzysta idealna liczba

Dzisiejsi matematycy nie wiedzą, czy istnieją liczby nieparzyste doskonałe. Podejmowane są różne prace, ale żadna nie pozwala potwierdzić ani zaprzeczyć ich istnieniu. W 1496 roku Jacques Lefèvre stwierdził, że każda liczba doskonała ma postać opisaną przez Euklidesa, co oczywiście oznaczałoby, że nie istnieje żadna nieparzysta liczba doskonała. W 2003 roku Carl Pomerance przedstawił metodę heurystyczną , która sugeruje, że nie istnieje żadna nieparzysta liczba doskonała.

Nieparzysta liczba doskonała N musi spełniać następujące warunki:

• N jest większe niż 101500 .
• N ma formęNIE=qαp12mi1...pk2mik{\ displaystyle N = q ^ {\ alfa} p_ {1} ^ {2e_ {1}} \ ldots p_ {k} ^ {2e_ {k}}} lub :
  • q , p 1 ,…, p k są odrębnymi liczbami pierwszymi (Euler);
  • q ≡ α ≡ 1 (modulo 4) (Euler);
  • najmniejszy czynnik pierwszy N jest mniejszy niż (2 k + 8) / 3;
  • relacja e 1 ≡ e 2 ≡… ≡ e k ≡ 1 (modulo 3) nie jest spełniona;
  • q α > 10 62 lub p j 2 e j > 10 62 dla co najmniej jednego j  ;
  • N jest mniejsze niż 2 4 k .
• Jeśli e i ≤ 2 dla wszystkich i  :
  • najmniejszy pierwszy dzielnik N wynosi co najmniej 739;
  • α 1 (modulo 12) lub α ≡ 9 (modulo 12).
• N ma postać 12 m + 1 lub 324 m + 81 lub 468 m + 117.
• Największy pierwszy dzielnik N jest większy niż 10 8 .
• Drugi największy pierwsza dzielnik N jest większa niż 10 : 4 , a trzeci Greater niż 100.
• N dzieli się na co najmniej 101 czynników pierwszych, w tym co najmniej 10 odrębnych czynników pierwszych. Jeśli 3 nie jest dzielnikiem N , to N ma co najmniej 12 różnych dzielników pierwszych.

Drobne nieruchomości

Jak widzieliśmy wcześniej, liczby parzyste doskonałe mają bardzo dokładną formę, a liczby nieparzyste doskonałe są rzadkie, jeśli w ogóle istnieją. Istnieje kilka prostych właściwości, które można udowodnić na liczbach doskonałych:

• Liczba doskonała nie jest podzielna przez 105.
• Jedyna parzysta idealna liczba postaci x 3 + 1 to 28.
• Liczba Fermat nie może być doskonały.
• Suma odwrotności dzielników liczby doskonałej jest równa 2:
  • dla 6, 1/6 + 1/3 + 1/2 + 1/1 = 2  ;
  • dla 28, 1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2 + 1/1 = 2 .
• Liczba dzielników liczby doskonałej N (parzystej lub nieparzystej) jest parzysta, ponieważ N nie może być kwadratem idealnym.
  • Z tych dwóch wyników wnioskujemy, że dowolna liczba doskonała jest liczbą całkowitą harmoniczną średnią .
• W bazie 10 wszystkie liczby parzyste kończą się na 6 lub 28; w bazie 9 , z wyjątkiem 6, wszystkie kończą się na 1.
• Jedyna idealna liczba bez współczynnika kwadratowego to 6.

Pojęcia pokrewne

Jeśli suma dzielników jest mniejsza niż liczba, mówi się, że ta liczba jest niedostateczna . W przypadku, gdy suma jest większa, mówi się, że liczba jest obfita . Terminy te zaczerpnięto z numerologii greckiej. Mówi się, że para liczb, z których każda jest sumą dzielników drugiej, jest przyjazna , większe cykle są uważane za towarzyskie . Dodatnia liczba całkowita taka, że ​​każda niższa liczba całkowita jest sumą różnych dzielników pierwszej liczby, jest uważana za wygodną .

Uwagi i referencje

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z anglojęzycznego artykułu Wikipedii zatytułowanego "  Perfect number  " ( zobacz listę autorów ) .

Uwagi

1. Poniżej oznacz liczbę czynników pierwszych różnych od N minus jeden (niech q i p 1 do p k ).k{\ styl wyświetlania k}
2. Ten stary wynik jest znacznie mniej dokładny niż obecnie znane ( patrz wyżej ).

Bibliografia

1. (en) liczb pierwszych Mersenne i doskonałe numery na Prime Pages miejscu .
2. (w) GIMPS Kamienie milowe na stronie Great Internet Mersenne Prime Search .
3. Brakuje linii p = 11, ponieważ M 11 nie jest liczbą pierwszą. Aby zapoznać się ze wszystkimi znanymi listami, zobacz „Liczba  pierwsza Mersenne'a  ”.
4. (w) Douglas E. Iannucci, „  Liczby Kaprekar  ”, „ Journal of Integer Sequences” , tom. 3, 2000, Sekcja 00.1.2.
5. (w) Leonard Eugene Dickson , Historia teorii liczb  (en) [ wydania szczegółowe ], lot. ja, s.  6 .
6. (en) Oddperfect.org .
7. (en) Pascal Ochem i Michaël Rao, „  Liczby nieparzyste doskonałe są większe niż 10 1500  ” , Matematyka. komp. , tom.  81, n o  279,2012, s.  1869-1877 ( DOI  10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 , czytaj online ).
8. (De) Otto Grün , „  Über ungerade vollkommene Zahlen  ” , Mathematische Zeitschrift , tom.  55, n o  3,1952, s.  353-354 ( DOI  10.1007 / BF01181133 ).
9. (w), Wayne L. McDaniel, "  Non-istnienie nieparzystej liczby doskonałe o określonej formie  " , Archiv der Mathematik (Basel) , tom.  21,1970, s.  52-53 ( DOI  10.1007 / BF01220877 ).
10. (w) Pace P. Nielsen, „  Górna granica nieparzystych liczb doskonałych  ” , Integers , tom.  3,2003, A14 ( czytaj online ).
11. (w) Graeme L. Cohen, „  O największym składniku nieparzystej liczby doskonałej  ” , J. Australijskie Towarzystwo Matematyczne , tom.  42 N O  21987, s.  280-286 ( czytaj online ).
12. (w) Tim S. Roberts, „  O formie nieparzystej liczby doskonałej  ” , Australian Mathematical Gazette , tom.  35, n o  4,2008, s.  244 ( przeczytaj online ).
13. (w) Takeshi Goto i Yasuo Ohno, „  Liczby nieparzyste doskonałe – mają czynnik pierwszy, który prowadzą 108  ” , Matematyka. komp. ,2008( przeczytaj online ).
14. (w) OF Iannucci , „  Drugi największy dzielnik pierwszy nieparzystej liczby doskonałej przekracza dziesięć tysięcy  ” , Matematyka. komp. , tom.  68, n o  2281999, s.  1749-1760 ( czytaj online )
15. (w) OF Iannucci , „  Trzeci największy dzielnik pierwszy nieparzystej liczby doskonałej przekracza sto  ” , Math. komp. , tom.  69, n o  2302000, s.  867-879 ( czytaj online ).
16. (w) Pace P. Nielsen, „  Liczby nieparzyste doskonałe, równania diofantyczne i górne granice  ” , Matematyka. komp. , tom.  84,2015, s.  2549-2567 ( DOI  10.1090/S0025-5718-2015-02941-X , czytaj online ).
17. (w) Pace P. Nielsen, „  Liczby nieparzyste doskonałe – mają co najmniej dziewięć różnych czynników pierwszych  ” , Matematyka. komp. , tom.  76, n o  260,2007, s.  2109-2126 ( DOI  10.1090/S0025-5718-07-01990-4 , czytaj online ), ArXiv : math.NT / 0602485 .
18. (De) Ullrich Kühnel, "  Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen  " , Mathematische Zeitschrift , tom.  52,1949, s.  201-211 ( czytaj online ).
19. (w) A. Makowski „  Uwaga to liczby doskonałe  ” , Elemente der Mathematik , t.  17 N O  109,1962.
20. (w) Florian Luca, „  Antyspołeczny numer Fermata  ” , Amer. Matematyka. Miesięcznie , obj.  107,2000, s.  171-173.
21. H. Novarese. Notatka o liczbach doskonałych , Texeira J. VIII (1886), 11-16.
22. (w) Leonard Eugene Dickson , Historia teorii liczb  (en) [ wydania szczegółowe ], lot. ja, s.  25 .

Linki zewnętrzne

• (es) Sobre el patrón de los números primos
• (pl) Znane liczby doskonałe