Księga XII elementów Euklidesa
Księga XII Elementów Euklidesa kontynuuje naukę geometrii w przestrzeni, rozpoczęła się w książce XI . Zajmuje się tomami figur bardziej skomplikowanych niż równoległościan , czyli piramidami i stożkami , a częściowo kulą . W tym celu zastosował metodę wyczerpania , która przez kilka stuleci była jedyną metodą, którą można było stosować do wyznaczania powierzchni i objętości przed wynalezieniem rachunku całkowego .
Ma 18 propozycji.
Propozycje
Propozycje są dystrybuowane w następujący sposób:
- Własność płyty . Prop. 1 stanowi, że obszar wielokąta wpisanego w okrąg jest proporcjonalna do kwadratu o średnicy . Ta propozycja jest również użyta w Prop. 2, który stwierdza, że powierzchnia dysku jest proporcjonalna do kwadratu średnicy. W tym celu postępujemy przez podwójne rozumowanie przez absurd , używając dysku referencyjnego i zakładając, że inny dysk ma powierzchnię większą lub znacznie mniejszą niż ta, którą dałaby mu prosta proporcjonalność do kwadratu średnicy. W każdym przypadku dochodzimy do sprzeczności, przybliżając dysk tak ściśle, jak tego wymagają wielokąty . To właśnie to podwójne rozumowanie absurdem stanowi podstawę metody wyczerpania . Ponadto dowód zbliżenia tak precyzyjny, jak to pożądane z tarczy przez wielokątów spoczywa na Archimedesa ' aksjomatu , wystawiony w prop . 1 Książka X.
- Objętość piramidy . Proporcje 3 do 9 mają na celu pokazanie, że objętość piramidy to jedna trzecia powierzchni podstawy pomnożonej przez wysokość. Wystarczy wyciąć do rozumu piramidy o trójkątnej podstawie. W tym celu we wniosku 3 następuje podział takiej piramidy na dwa graniastosłupy i dwa mniejsze piramidy, proces ten jest powtarzany we wzorze 4, tak aby objętość małych piramidek była zaniedbywalna i zredukowana do objętości graniastosłupów, studiował w ostatniej propozycji Księgi XI . Możemy wtedy wykazać, nadal metodą wyczerpania, że objętość ostrosłupa jest proporcjonalna do wysokości (pros. 5), do powierzchni podstawy (pros. 6) i że trzy ostrosłupy o tej samej objętości daj pryzmat o tej samej podstawie i tej samej wysokości (prop. 7). Znana objętość pryzmatu jest więc taka sama jak w piramidzie.
Należy zauważyć, że obliczanie objętości piramidy opiera się na metodzie wyczerpania – przodka rachunku całkowego – i można się zastanawiać, czy ten krok jest konieczny. Czy nie jest możliwe udowodnienie tej właściwości za pomocą prostego podziału skończonego, jak robimy w płaszczyźnie, aby określić pole trójkąta? To pytanie jest przedmiotem trzeciego problemu Hilberta w 1900 roku, a odpowiedź brzmi nie: użycie rachunku całkowego jest konieczne do określenia objętości piramidy.
- Objętość stożka . W rekwizytach 10 do 15 Euclid stosuje porównywalne podejście do określenia objętości stożka o okrągłej podstawie. W tym celu przybliża kołową podstawę tak ściśle, jak jest to pożądane przez wielościany, zgodnie z już widzianą propozycją 1, a tym samym zmniejsza się do objętości piramidy.
- Objętość kuli . Proporcje 16 do 18 ustalają jedynie, że objętość kuli jest proporcjonalna do sześcianu o średnicy. W tym celu wpisujemy w kulę szczytowych piramid środek kuli tak, aby jak najdokładniej zbliżyć się do jej objętości. Podejście to będzie kontynuował Archimedes, który po ustaleniu, że powierzchnia kuli jest równa czterokrotnej powierzchni dysku o tym samym promieniu, będzie mógł wywnioskować wyrażenie objętości .
Bibliografia
- Dzieła Euklidesa, przekład F. Peyrard, Paryż (1819), nowy druk Jean Itard, Éditions Albert Blanchard (1993)
- Euclide ( tłumacz Bernard Vitrac), The Elements [ szczegóły wydań ]
Linki zewnętrzne
Dokumenty online na stronie Gallica BNF