Tradycyjnie teoria liczb jest gałęzią matematyki, która zajmuje się właściwościami liczb całkowitych (czy to naturalnych, czy względnych liczb całkowitych ). Bardziej ogólnie, dziedzina badań tej teorii dotyczy dużej klasy problemów, które naturalnie wynikają z badania liczb całkowitych. Teoria liczb zajmuje szczególne miejsce w matematyce, zarówno ze względu na jej powiązania z wieloma innymi dziedzinami, jak i fascynację jej twierdzeniami i otwartymi problemami, których twierdzenia są często łatwe do zrozumienia, nawet dla tych, którzy nie są. . Oto co wyraża następujący cytat Jürgena Neukircha :
„Teoria liczb zajmuje wyidealizowaną pozycję wśród dyscyplin matematyki, analogiczną do samej matematyki wśród innych nauk. "
Termin „ arytmetyka ” jest również używany w odniesieniu do teorii liczb. Jest to dość stary termin, który nie jest już tak popularny jak kiedyś; aby uniknąć nieporozumień, aż do początku XX wieku teorię liczb określano także czasami jako „wyższą arytmetykę”. Niemniej jednak przymiotnik arytmetyka pozostaje dość rozpowszechniony, w szczególności do oznaczania pól matematycznych ( arytmetyczna geometria algebraiczna , arytmetyka krzywych i powierzchni eliptycznych itp.), gdzie ograniczenie pytań i rozwiązań do liczb całkowitych lub niektórych ich rozszerzeń odgrywa rolę rola decydująca. Tego znaczenia terminu arytmetyka nie należy mylić ze znaczeniem używanym w logice do badania systemów formalnych aksjomatyzujących liczby całkowite, jak w przypadku arytmetyki Peano .
Teoria liczb podzielona jest na kilka dziedzin w zależności od zastosowanych metod i zadawanych pytań.
Termin elementarny ogólnie oznacza metodę, która nie wykorzystuje złożonej analizy . Na przykład twierdzenie o liczbach pierwszych zostało udowodnione za pomocą analizy złożonej w 1896 roku, ale elementarny dowód został znaleziony dopiero w 1949 roku przez Erdősa i Selberga . Termin jest nieco niejednoznaczny: na przykład dowody oparte na złożonych twierdzeniach Taubera (na przykład twierdzenie Wienera-Ikehara ) są często uważane za bardzo pouczające, ale nie elementarne. Dowód elementarny może być dłuższy i trudniejszy dla większości czytelników niż dowód nieelementarny.
Teoria liczb ma reputację dziedziny, w której laik może zrozumieć wiele wyników. Jednocześnie dowody na te wyniki nie są szczególnie dostępne, po części dlatego, że zakres narzędzi, z których korzystają, jest niezwykle szeroki w matematyce.
Wiele pytań w elementarnej teorii liczb wydaje się prostych, ale wymaga bardzo głębokiego rozważenia i nowych podejść, takich jak poniższe przykłady:
Wykazano nawet , że teoria równań diofantycznych jest nierozstrzygalna , to znaczy, że można skonstruować jednoznaczne równanie, którego istnienia rozwiązań nie można wykazać przy użyciu zwykłych aksjomatów matematyki (c' jest twierdzeniem Matiyasevicha ).
Analityczna teoria liczb można zdefiniować:
Niektóre zagadnienia ogólnie uważane za część analitycznej teorii liczb, na przykład teoria sitowa , są definiowane przez drugą definicję.
Przykładami problemów analitycznej teorii liczb są twierdzenie o liczbach pierwszych, hipoteza Goldbacha (lub hipoteza bliźniaczych liczb pierwszych lub hipotezy Hardy'ego-Littlewooda ), problem Waringa lub hipoteza Riemanna . Niektóre z najważniejszych narzędzi analitycznych teorii numer to sposób koło , metody sito i L działa . Teoria form modularnych (i ogólniej form automorficznych ) również zajmuje coraz bardziej centralne miejsce w analitycznej teorii liczb.
Liczba algebraiczna to liczba zespolona będąca rozwiązaniem równania wielomianowego ze współczynnikami w polu . Na przykład, wszelkie rozwiązania z jest liczbą algebraiczną. Teoria liczb algebraicznych bada pola liczb algebraicznych. W ten sposób analityczne i algebraiczne teorie liczb mogą się pokrywać: pierwsza jest definiowana przez jej metody, druga przez jej przedmioty badań.
Fundamenty tej branży, jak wiemy, powstały w końcu XIX th wieku, kiedy ideały i ocena zostały opracowane. Impuls do rozwoju ideałów (przez Ernsta Kummera ) wydaje się pochodzić z badania praw wyższej wzajemności, czyli uogólnień prawa kwadratowej wzajemności .
Ciała są często badane jako rozszerzenia innych mniejszych ciał: o ciele L mówi się, że jest przedłużeniem ciała K, jeśli L zawiera K . Klasyfikacja Abelowych rozszerzeń został program z teorii pola klasy , zainicjowany pod koniec XIX th wieku (częściowo przez Kroneckera i Eisenstein ) i realizowany w dużej mierze od 1900 do 1950 roku.
Teoria Iwasawa jest przykładem aktywnego obszaru badań w algebraicznej teorii liczb. Program Langlandsa , duży, aktualny program badawczy w matematyce na pełną skalę, jest czasami opisywany jako próba uogólnienia zbioru zajęć teoretycznych na nieabelowe rozszerzenia.
Głównym problemem z geometrią diofantyczną jest określenie, kiedy równanie diofantyczne ma rozwiązania, a jeśli tak, to ile. Przyjęte podejście polega na rozważeniu rozwiązań równania jako obiektu geometrycznego.
Na przykład równanie z dwiema zmiennymi definiuje krzywą w płaszczyźnie. Bardziej ogólnie, równanie lub układ równań z dwiema lub więcej zmiennymi definiuje krzywą, powierzchnię itp. w przestrzeni n- wymiarowej. W geometrii diofantycznej zadajemy sobie pytanie, czy na krzywej lub powierzchni znajdują się punkty wymierne (punkty, których wszystkie współrzędne są wymierne) lub całe punkty (punkty, których współrzędne są w całości liczbami całkowitymi). Jeśli są takie punkty, następnym krokiem jest pytanie, ile ich jest i jak są rozłożone. Podstawowe pytanie w tym kierunku brzmi: czy na danej krzywej (lub powierzchni) istnieje skończona czy nieskończona liczba punktów wymiernych? A co z całymi punktami?
Przykładem może być równanie Pitagorasa ; chcielibyśmy zbadać jego racjonalne rozwiązania, to znaczy takie rozwiązania , że x i y są racjonalne . Sprowadza się to do proszenia o wszystkie kompletne rozwiązania ; każde rozwiązanie tego równania daje nam rozwiązanie , . Jest to równoznaczne z zapytaniem o wszystkie punkty o współrzędnych wymiernych na krzywej opisanej przez (ta krzywa jest jednostkowym okręgiem ).
Przeformułowanie pytań na równaniach w postaci punktów na krzywych okazuje się skuteczne. Okazuje się, że skończoność liczby punktów wymiernych lub całkowitych na krzywej algebraicznej zależy zasadniczo od rodzaju krzywej. Ten obszar jest ściśle związany z przybliżeniami diofantycznymi : biorąc pod uwagę liczbę, jak blisko może być racjonalności? (Uważamy, że racjonalny , z i b prime między nimi, jest dobrym przybliżeniem , jeśli , gdzie jest duża). Ta kwestia ma szczególne znaczenie, jeśli jest liczbą algebraiczną. Jeśli nie da się dobrze aproksymować, to niektóre równania nie mają pełnych lub racjonalnych rozwiązań. Ponadto kilka koncepcji okazuje się mieć kluczowe znaczenie zarówno w geometrii diofantycznej, jak iw badaniu przybliżeń diofantycznych. To pytanie jest również szczególnie interesujące w teorii liczb transcendentnych : jeśli liczba może być aproksymowana lepiej niż jakakolwiek liczba algebraiczna, to jest to liczba transcendentna . To przez ten argument, że wykazano, że i są transcendentne.
Geometrii diofantycznej nie należy mylić z geometrią liczb , która jest zbiorem graficznych metod odpowiedzi na pewne pytania w algebraicznej teorii liczb. Termin geometria arytmetyczna jest niewątpliwie najczęściej używany, gdy chcemy podkreślić związki ze współczesną geometrią algebraiczną (jak twierdzenie Faltingsa ) niż z technikami przybliżeń diofantycznych.
Biorąc losową liczbę od jednego do jednego miliona, jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to liczba pierwsza? To tylko kolejny sposób pytania, ile liczb pierwszych jest między jednym a milionem. A ile będzie średnio dzielników?
Wiele probabilistycznej teorii liczb można postrzegać jako gałąź badania zmiennych, które są od siebie prawie niezależne . Czasami nierygorystyczne podejście probabilistyczne prowadzi do szeregu algorytmów heurystycznych i otwartych problemów, zwłaszcza hipotezy Craméra .
Niech A będzie zbiorem N liczb całkowitych. Rozważmy zbiór A + A = { m + n | m , n ∈ A } składa się ze wszystkich sum dwóch elementów A . Czy A + A jest znacznie większe niż A ? Ledwo wyższy? Czy A wygląda jak ciąg arytmetyczny ? Jeśli zaczniemy od wystarczająco dużego nieskończonego zbioru A , czy zawiera on wiele elementów w ciągu arytmetycznym ?
Te pytania są charakterystyczne dla kombinatorycznej teorii liczb. Jego zainteresowanie zagadnieniami wzrostu i dystrybucji wynika częściowo z rozwoju jej powiązań z teorią ergodyczną , teorią grup skończonych , teorią modeli i innymi dziedzinami. Badane zbiory nie muszą być zbiorami liczb całkowitych, lecz podzbiorami grup nieprzemiennych , dla których tradycyjnie używa się symbolu mnożenia, a nie dodawania; mogą być również podzbiorami pierścieni .
Są dwa główne pytania: „czy możemy to obliczyć?” I „czy możemy to szybko obliczyć?” ”. Każdy może sprawdzić, czy liczba jest liczbą pierwszą lub, jeśli nie jest, uzyskać jej rozkład na czynniki pierwsze ; robienie tego szybko staje się bardziej skomplikowane. Dziś znamy szybkie algorytmy do testowania pierwszości , ale mimo dużej pracy (zarówno teoretycznej, jak i praktycznej) żaden algorytm nie jest naprawdę szybki do tego zadania.
Trudność obliczeń może być przydatna: nowoczesne protokoły szyfrowania wiadomości (na przykład RSA ) zależą od funkcji znanych wszystkim, ale których odwrotności są znane tylko niewielkiej liczbie osób, a znalezienie ich własnymi zasobami zajęłoby zbyt dużo czasu . Chociaż znanych jest wiele problemów obliczeniowych spoza teorii liczb, większość obecnych protokołów szyfrowania opiera się na kilku problemach teoretycznych.
Okazuje się, że niektórych rzeczy w ogóle nie da się obliczyć ; można to udowodnić w niektórych przypadkach. Na przykład w 1970 roku udowodniono, rozwiązując w ten sposób dziesiąty problem Hilberta , że nie ma maszyny Turinga zdolnej do rozwiązania wszystkich równań diofantycznych. Oznacza to, że mając dany zbiór obliczalnych i przeliczalnych aksjomatów, istnieją równania diofantyczne, dla których nie ma dowodu z aksjomatów, czy zbiór równań ma pełne rozwiązania.
Historycznym odkryciem natury arytmetycznej jest fragment tablicy: złamana gliniana tabliczka Plimpton 322 ( Larsa , Mezopotamia , ok. 1800 rpne) zawiera listę „ trójek pitagorejskich ”, czyli liczb całkowitych, takich jak . Są one zbyt duże, aby można je było uzyskać w wyczerpujących badaniach . Układ tabletu sugeruje, że został on skonstruowany przy użyciu tego, co we współczesnym języku sprowadza się do tożsamości
.Podczas gdy babilońska teoria liczb składa się z tego pojedynczego fragmentu, babilońska algebra (w sensie licealnej „algebry” ) była wyjątkowo dobrze rozwinięta. Pitagoras nauczyłby się matematyki od Babilończyków. Wiele wcześniejszych źródeł podaje, że Tales i Pitagoras podróżowali i studiowali w Egipcie .
Odkrycie irracjonalności √ 2 przypisuje się wczesnym pitagorejczykom. Wydaje się, że to odkrycie spowodowało pierwszy kryzys w historii matematyki; jej dowód i rozpowszechnienie przypisuje się czasami Hippasosowi , który został wygnany z sekty pitagorejskiej. Wymusiło to rozróżnienie między liczbami (całkowitymi i wymiernymi) z jednej strony a długościami i proporcjami (liczby rzeczywiste) z drugiej.
Chińskie twierdzenie reszta pojawia się jako ćwiczenie w Traktacie Sunzi Suanjing ( III E , IV E lub V th wieku pne. ).
Starożytna Grecja i początek okresu hellenistycznegoPoza kilkoma fragmentami matematyka starożytnej Grecji jest nam znana albo z relacji współczesnych niematematyków, albo z prac matematycznych okresu hellenistycznego. W przypadku teorii liczb dotyczy to Platona i Euklidesa . Platon interesował się matematyką i wyraźnie odróżniał arytmetykę od rachunku różniczkowego. (Dla arytmetyki słyszał teorię o liczbie.) To właśnie dzięki jednemu z dialogów Platona, Theaetetusowi , wiemy, że Teodor udowodnił, że są liczbami niewymiernymi . Theetetus był, podobnie jak Platon, uczniem Teodora; pracował nad rozróżnieniem różnych typów współmierności i dlatego był prawdopodobnie pionierem w badaniach nad systemami cyfrowymi.
Euklides oddana część jego elementów do liczb pierwszych i podzielności, tematów centralnych w teorii liczb (książki VII do IX Euklidesa Elements ). W szczególności podał algorytm obliczania największego wspólnego dzielnika dwóch liczb ( Elements , Prop. VII.2) oraz pierwszy znany dowód istnienia nieskończoności liczb pierwszych ( Elements , Prop. IX. 20).
DiofantNiewiele wiemy o Diofantosie z Aleksandrii ; prawdopodobnie żył w trzecim wieku naszej ery, czyli około pięćset lat po Euklidesie. Arithmetica jest zbiorem problemów, gdzie zadaniem jest znalezienie racjonalnych rozwiązań równań wielomianowych, zwykle w formie lub lub . Tak więc dzisiaj mówimy o równaniach diofantycznych, gdy mówimy o równaniach wielomianowych, dla których musimy znaleźć rozwiązania racjonalne lub całkowite.
Podczas gdy Diofant interesował się głównie rozwiązaniami racjonalnymi, domyślał się liczb naturalnych, takich jak fakt, że każda liczba całkowita jest sumą czterech kwadratów .
Aryabhana, Brahmagupta, BhaskarahPodczas gdy grecka astronomia prawdopodobnie wpłynęła na indyjskie nauczanie, aż do wprowadzenia trygonometrii, wydaje się, że indyjska matematyka jest tradycją tubylczą; Rzeczywiście, nie ma dowodów na to, że Elementów Euklidesa osiągnęły Indie przed XVIII -tego wieku.
Aryabhata wykazały, że pary przystawania (476-550 pne.) , Mogą być rozwiązane za pomocą metody nazwał kuṭṭaka ; jest to ścisła i uogólniona procedura algorytmu Euklidesa , która prawdopodobnie została odkryta niezależnie w Indiach. Brahmagupta (628 pne) rozpoczął badanie równań kwadratowych, w szczególności równania Pella-Fermata , którym interesował się już Archimedes , a które na Zachodzie zaczęto rozwiązywać dopiero za pomocą Fermata i Eulera . Ogólną procedurę (Metoda chakravala ) rozwiązać równanie Pella został znaleziony przez Dżajadewa (cytowane w XI th century, jego praca jest stracony); pojawi się pierwszy żyjący ekspozycja w bija-Ganita z Bhaskaraćarja . Indian matematyki pozostawał nieznany w Europie aż do końca XVIII -tego wieku. Dzieło Brahmagupty i Bhaskary zostało przetłumaczone na angielski w 1817 roku przez Henry'ego Colebrooke'a .
Arytmetyka w złotym wieku islamuWczesnym IX XX wieku kalif Al-Mamun zamawiać tłumaczenia licznych dzieł greckich matematyki i przynajmniej jedną pracę sanskrytu (w Sindhind , które mogą lub nie mogą być takie Brāhmasphuṭasiddhānta z Brahmagupta ). Główne dzieło Diofanta , Arithmetica , zostało przetłumaczone na język arabski przez Qusta ibn Luqa (820-912). Według Roshdi Rashed, Alhazen , współczesny Al-Karaji , wiedział, co później nazwano twierdzeniem Wilsona .
Europa Zachodnia w średniowieczuPoza traktatem Fibonacciego o kwadratach w postępie arytmetycznym w Europie Zachodniej w średniowieczu nie dokonano żadnego postępu w teorii liczb . Sytuacja w Europie zaczęła się zmieniać pod koniec renesansu, dzięki ponownemu studium dzieł starożytnej Grecji.
Pierre de Fermat (1601-1665) nigdy nie opublikował swoich pism; w szczególności jego praca nad teorią liczb zawarta jest prawie w całości w Listach do matematyków oraz w Prywatnych notatkach i marginesach. Prawie nie napisał żadnego dowodu teorii liczb. Nie miał wzoru do naśladowania w tej dziedzinie. Wielokrotnie wykorzystywał rozumowanie rekurencyjne , wprowadzając metodę nieskończonego schodzenia . Jednym z pierwszych zainteresowań Fermata były liczby doskonałe (które pojawiają się w Elementach Euklidesa IX) i liczby przyjazne ; to doprowadziło go do pracy nad dzielnikami całkowitymi, które od początku były tematem korespondencji (rok 1636 i następne), co umożliwiło mu kontakt z ówczesną społecznością matematyczną. Przestudiował już uważnie wydanie Diofanta Bachet; po 1643 r. jego zainteresowania zwróciły się w stronę problemów diofantycznych i sumy kwadratów (traktowanych również przez Diofanta).
Wyniki Fermata w arytmetyce obejmują:
Stwierdzenie Fermata („Ostatnie twierdzenie Fermata”), że nie ma rozwiązań równania dla wszystkiego, pojawia się tylko na marginesach kopii Arithmetica Diophantusa.
EulerZainteresowanie Leonharda Eulera (1707-1783) teorią liczb zostało po raz pierwszy pobudzone w 1729 roku, kiedy jeden z jego przyjaciół, amator Goldbach , skierował go do niektórych prac Fermata na ten temat. Nazywa się to „odrodzeniem” nowoczesnej teorii liczb, po względnym braku sukcesu Fermata w zwróceniu na ten temat uwagi współczesnych. Praca Eulera nad teorią liczb obejmuje następujące elementy:
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) był pierwszym, który dał kompletne dowody na pewne prace i obserwacje Fermata i Eulera – na przykład twierdzenie o czterech kwadratach i teorię równania Pella-Fermata . Studiował również formy kwadratowe, określając ich relację równoważności, pokazując, jak umieścić je w formie zredukowanej itp.
Adrien-Marie Legendre (1752-1833) jako pierwszy ogłosił prawo kwadratowej wzajemności . Przypuszczał również, że dzisiaj jest równoważne twierdzeniu o liczbach pierwszych i twierdzeniu Dirichleta o progresji arytmetycznej . Dał pełną analizę równania . Pod koniec życia jako pierwszy udowodnił ostatnie twierdzenie Fermata dla n = 5.
W swoich Disquisitiones Arithmeticae (1798) Carl Friedrich Gauss (1777-1855) zademonstrował prawo kwadratowej wzajemności i rozwinął teorię form kwadratowych. Wprowadził także notację kongruencji i poświęcił część testom pierwszości . Ostatnia część Disquisitiones łączy korzenie jedności z teorią liczb. W ten sposób Gauss niewątpliwie zapoczątkował prace Évariste Galois i algebraiczną teorię liczb .
Począwszy od początku XIX -go wieku, następujące zmiany zaszły stopniowo:
„Matematyka jest królową nauki, a teoria liczb królową matematyki. » Gaussa
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
Termin takiltum jest problematyczny. Robson woli renderowanie
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
ok.
Angielski tekst do przetłumaczenia:
o niezawodności Proclus
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
Data tekstu została zawężona do 220-420 ne (Yan Dunjie) lub 280-473 ne (Wang Ling) na podstawie wewnętrznych dowodów (= systemy podatkowe przyjęte w tekście).
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
Tak było bardziej w teorii liczb niż w innych dziedzinach (uwaga w Mahoney 1994 , s. 284). Własne dowody Bacheta były „niedorzecznie niezdarne”
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
Początkowe tematy korespondencji Fermata obejmowały dzielniki („części alikwotowe”) i wiele tematów spoza teorii liczb; patrz wykaz w liście Fermata do Robervala, 22.IX.1636
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
Wszystkie poniższe cytaty z Varia Opera Fermata pochodzą z Weil 1984 , rozdz. II. Standardowa praca Garbarni i Henry'ego obejmuje rewizję pośmiertnej Varia Opera Mathematica Fermata, oryginalnie przygotowaną przez jego syna
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
Euler był hojny w uznawaniu innych ( Varadarajan 2006 , s. 14), nie zawsze poprawnie.
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
Z przedmowy z
Angielski tekst do przetłumaczenia:
tłumaczenie pochodzi z is
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
Zobacz dyskusję w sekcji 5 Goldstein i Schappacher 2007 . Wczesne przejawy samoświadomości obecne są już w listach Fermata: stąd jego uwagi na temat tego, czym jest teoria liczb i jak „dzieło Diofantusa […] tak naprawdę do niego nie należy” (cyt. za:
Tekst w języku angielskim do tłumaczenia:
Zobacz dowód w Davenport i Montgomery 2000 , sekcja 1.
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
Zobacz komentarz na temat znaczenia modułowości w Iwaniec i Kowalski 2004 , s. 1.