Teoria liczb

Tradycyjnie teoria liczb jest gałęzią matematyki, która zajmuje się właściwościami liczb całkowitych (czy to naturalnych, czy względnych liczb całkowitych ). Bardziej ogólnie, dziedzina badań tej teorii dotyczy dużej klasy problemów, które naturalnie wynikają z badania liczb całkowitych. Teoria liczb zajmuje szczególne miejsce w matematyce, zarówno ze względu na jej powiązania z wieloma innymi dziedzinami, jak i fascynację jej twierdzeniami i otwartymi problemami, których twierdzenia są często łatwe do zrozumienia, nawet dla tych, którzy nie są. . Oto co wyraża następujący cytat Jürgena Neukircha :

„Teoria liczb zajmuje wyidealizowaną pozycję wśród dyscyplin matematyki, analogiczną do samej matematyki wśród innych nauk. "

Termin „ arytmetyka ” jest również używany w odniesieniu do teorii liczb. Jest to dość stary termin, który nie jest już tak popularny jak kiedyś; aby uniknąć nieporozumień, aż do początku XX wieku teorię liczb określano także czasami jako „wyższą arytmetykę”. Niemniej jednak przymiotnik arytmetyka pozostaje dość rozpowszechniony, w szczególności do oznaczania pól matematycznych ( arytmetyczna geometria algebraiczna , arytmetyka krzywych i powierzchni eliptycznych itp.), gdzie ograniczenie pytań i rozwiązań do liczb całkowitych lub niektórych ich rozszerzeń odgrywa rolę rola decydująca. Tego znaczenia terminu arytmetyka nie należy mylić ze znaczeniem używanym w logice do badania systemów formalnych aksjomatyzujących liczby całkowite, jak w przypadku arytmetyki Peano .

Teoria liczb podzielona jest na kilka dziedzin w zależności od zastosowanych metod i zadawanych pytań.

Różne gałęzie teorii liczb

Elementarna teoria liczb

Termin elementarny ogólnie oznacza metodę, która nie wykorzystuje złożonej analizy . Na przykład twierdzenie o liczbach pierwszych zostało udowodnione za pomocą analizy złożonej w 1896 roku, ale elementarny dowód został znaleziony dopiero w 1949 roku przez Erdősa i Selberga . Termin jest nieco niejednoznaczny: na przykład dowody oparte na złożonych twierdzeniach Taubera (na przykład twierdzenie Wienera-Ikehara ) są często uważane za bardzo pouczające, ale nie elementarne. Dowód elementarny może być dłuższy i trudniejszy dla większości czytelników niż dowód nieelementarny.

Teoria liczb ma reputację dziedziny, w której laik może zrozumieć wiele wyników. Jednocześnie dowody na te wyniki nie są szczególnie dostępne, po części dlatego, że zakres narzędzi, z których korzystają, jest niezwykle szeroki w matematyce.

Wiele pytań w elementarnej teorii liczb wydaje się prostych, ale wymaga bardzo głębokiego rozważenia i nowych podejść, takich jak poniższe przykłady:

Goldbach przypuszczeń dotyczących wyrażania liczb parzystych postaci sumy dwóch liczb pierwszych ,
Liczby bliźniacze hipoteza o nieskończoności z par kolejnych liczb pierwszych i
Syracuse przypuszczeń dotyczących pojedynczej iteracji .

Wykazano nawet , że teoria równań diofantycznych jest nierozstrzygalna , to znaczy, że można skonstruować jednoznaczne równanie, którego istnienia rozwiązań nie można wykazać przy użyciu zwykłych aksjomatów matematyki (c' jest twierdzeniem Matiyasevicha ).

Analityczna teoria liczb

Analityczna teoria liczb można zdefiniować:

w odniesieniu do jego narzędzi, to znaczy badania liczb całkowitych za pomocą rzeczywistych i złożonych narzędzi analizy ;
w odniesieniu do jej zainteresowań, to znaczy badania szacunków wielkości i gęstości, w przeciwieństwie do tożsamości.

Niektóre zagadnienia ogólnie uważane za część analitycznej teorii liczb, na przykład teoria sitowa , są definiowane przez drugą definicję.

Przykładami problemów analitycznej teorii liczb są twierdzenie o liczbach pierwszych, hipoteza Goldbacha (lub hipoteza bliźniaczych liczb pierwszych lub hipotezy Hardy'ego-Littlewooda ), problem Waringa lub hipoteza Riemanna . Niektóre z najważniejszych narzędzi analitycznych teorii numer to sposób koło , metody sito i L działa . Teoria form modularnych (i ogólniej form automorficznych ) również zajmuje coraz bardziej centralne miejsce w analitycznej teorii liczb.

Teoria liczb algebraicznych

Liczba algebraiczna to liczba zespolona będąca rozwiązaniem równania wielomianowego ze współczynnikami w polu . Na przykład, wszelkie rozwiązania z jest liczbą algebraiczną. Teoria liczb algebraicznych bada pola liczb algebraicznych. W ten sposób analityczne i algebraiczne teorie liczb mogą się pokrywać: pierwsza jest definiowana przez jej metody, druga przez jej przedmioty badań. $\ mathbb {Q}$ $x$ ${\ styl wyświetlania x ^ {5} + (11/2) x ^ {3} -7x ^ {2} + 9 = 0}$

Fundamenty tej branży, jak wiemy, powstały w końcu XIX th wieku, kiedy ideały i ocena zostały opracowane. Impuls do rozwoju ideałów (przez Ernsta Kummera ) wydaje się pochodzić z badania praw wyższej wzajemności, czyli uogólnień prawa kwadratowej wzajemności .

Ciała są często badane jako rozszerzenia innych mniejszych ciał: o ciele L mówi się, że jest przedłużeniem ciała K, jeśli L zawiera K . Klasyfikacja Abelowych rozszerzeń został program z teorii pola klasy , zainicjowany pod koniec XIX th wieku (częściowo przez Kroneckera i Eisenstein ) i realizowany w dużej mierze od 1900 do 1950 roku.

Teoria Iwasawa jest przykładem aktywnego obszaru badań w algebraicznej teorii liczb. Program Langlandsa , duży, aktualny program badawczy w matematyce na pełną skalę, jest czasami opisywany jako próba uogólnienia zbioru zajęć teoretycznych na nieabelowe rozszerzenia.

Geometria diofantyczna

Głównym problemem z geometrią diofantyczną jest określenie, kiedy równanie diofantyczne ma rozwiązania, a jeśli tak, to ile. Przyjęte podejście polega na rozważeniu rozwiązań równania jako obiektu geometrycznego.

Na przykład równanie z dwiema zmiennymi definiuje krzywą w płaszczyźnie. Bardziej ogólnie, równanie lub układ równań z dwiema lub więcej zmiennymi definiuje krzywą, powierzchnię itp. w przestrzeni n- wymiarowej. W geometrii diofantycznej zadajemy sobie pytanie, czy na krzywej lub powierzchni znajdują się punkty wymierne (punkty, których wszystkie współrzędne są wymierne) lub całe punkty (punkty, których współrzędne są w całości liczbami całkowitymi). Jeśli są takie punkty, następnym krokiem jest pytanie, ile ich jest i jak są rozłożone. Podstawowe pytanie w tym kierunku brzmi: czy na danej krzywej (lub powierzchni) istnieje skończona czy nieskończona liczba punktów wymiernych? A co z całymi punktami?

Przykładem może być równanie Pitagorasa ; chcielibyśmy zbadać jego racjonalne rozwiązania, to znaczy takie rozwiązania , że x i y są racjonalne . Sprowadza się to do proszenia o wszystkie kompletne rozwiązania ; każde rozwiązanie tego równania daje nam rozwiązanie , . Jest to równoznaczne z zapytaniem o wszystkie punkty o współrzędnych wymiernych na krzywej opisanej przez (ta krzywa jest jednostkowym okręgiem ). ${\ styl wyświetlania x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ $(x, y)$ $a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}$ ${\ styl wyświetlania x = a / c}$ ${\ styl wyświetlania y = b / c}$ $x ^ {2} + y ^ {2} = 1$

Przeformułowanie pytań na równaniach w postaci punktów na krzywych okazuje się skuteczne. Okazuje się, że skończoność liczby punktów wymiernych lub całkowitych na krzywej algebraicznej zależy zasadniczo od rodzaju krzywej. Ten obszar jest ściśle związany z przybliżeniami diofantycznymi : biorąc pod uwagę liczbę, jak blisko może być racjonalności? (Uważamy, że racjonalny , z i b prime między nimi, jest dobrym przybliżeniem , jeśli , gdzie jest duża). Ta kwestia ma szczególne znaczenie, jeśli jest liczbą algebraiczną. Jeśli nie da się dobrze aproksymować, to niektóre równania nie mają pełnych lub racjonalnych rozwiązań. Ponadto kilka koncepcji okazuje się mieć kluczowe znaczenie zarówno w geometrii diofantycznej, jak iw badaniu przybliżeń diofantycznych. To pytanie jest również szczególnie interesujące w teorii liczb transcendentnych : jeśli liczba może być aproksymowana lepiej niż jakakolwiek liczba algebraiczna, to jest to liczba transcendentna . To przez ten argument, że wykazano, że i są transcendentne. $a / b$ $x$ ${\ styl wyświetlania | xa / b | <{\ frac {1} {b ^ {c}}}}$ $vs$ $x$ $x$ $\ Liczba Pi$ ${\ styl wyświetlania \ matematyka {e}}$

Geometrii diofantycznej nie należy mylić z geometrią liczb , która jest zbiorem graficznych metod odpowiedzi na pewne pytania w algebraicznej teorii liczb. Termin geometria arytmetyczna jest niewątpliwie najczęściej używany, gdy chcemy podkreślić związki ze współczesną geometrią algebraiczną (jak twierdzenie Faltingsa ) niż z technikami przybliżeń diofantycznych.

Najnowsze podejścia i gałęzie

Probabilistyczna teoria liczb

Biorąc losową liczbę od jednego do jednego miliona, jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to liczba pierwsza? To tylko kolejny sposób pytania, ile liczb pierwszych jest między jednym a milionem. A ile będzie średnio dzielników?

Wiele probabilistycznej teorii liczb można postrzegać jako gałąź badania zmiennych, które są od siebie prawie niezależne . Czasami nierygorystyczne podejście probabilistyczne prowadzi do szeregu algorytmów heurystycznych i otwartych problemów, zwłaszcza hipotezy Craméra .

Kombinatoryczna teoria liczb

Niech A będzie zbiorem N liczb całkowitych. Rozważmy zbiór A + A = { m + n | m , n ∈ A } składa się ze wszystkich sum dwóch elementów A . Czy A + A jest znacznie większe niż A ? Ledwo wyższy? Czy A wygląda jak ciąg arytmetyczny ? Jeśli zaczniemy od wystarczająco dużego nieskończonego zbioru A , czy zawiera on wiele elementów w ciągu arytmetycznym ? ${\ styl wyświetlania a + b, a + 2b, a + 3b, \ ldots, a + nb}$

Te pytania są charakterystyczne dla kombinatorycznej teorii liczb. Jego zainteresowanie zagadnieniami wzrostu i dystrybucji wynika częściowo z rozwoju jej powiązań z teorią ergodyczną , teorią grup skończonych , teorią modeli i innymi dziedzinami. Badane zbiory nie muszą być zbiorami liczb całkowitych, lecz podzbiorami grup nieprzemiennych , dla których tradycyjnie używa się symbolu mnożenia, a nie dodawania; mogą być również podzbiorami pierścieni .

Algorytmiczna teoria liczb

Są dwa główne pytania: „czy możemy to obliczyć?” I „czy możemy to szybko obliczyć?” ”. Każdy może sprawdzić, czy liczba jest liczbą pierwszą lub, jeśli nie jest, uzyskać jej rozkład na czynniki pierwsze ; robienie tego szybko staje się bardziej skomplikowane. Dziś znamy szybkie algorytmy do testowania pierwszości , ale mimo dużej pracy (zarówno teoretycznej, jak i praktycznej) żaden algorytm nie jest naprawdę szybki do tego zadania.

Trudność obliczeń może być przydatna: nowoczesne protokoły szyfrowania wiadomości (na przykład RSA ) zależą od funkcji znanych wszystkim, ale których odwrotności są znane tylko niewielkiej liczbie osób, a znalezienie ich własnymi zasobami zajęłoby zbyt dużo czasu . Chociaż znanych jest wiele problemów obliczeniowych spoza teorii liczb, większość obecnych protokołów szyfrowania opiera się na kilku problemach teoretycznych.

Okazuje się, że niektórych rzeczy w ogóle nie da się obliczyć ; można to udowodnić w niektórych przypadkach. Na przykład w 1970 roku udowodniono, rozwiązując w ten sposób dziesiąty problem Hilberta , że nie ma maszyny Turinga zdolnej do rozwiązania wszystkich równań diofantycznych. Oznacza to, że mając dany zbiór obliczalnych i przeliczalnych aksjomatów, istnieją równania diofantyczne, dla których nie ma dowodu z aksjomatów, czy zbiór równań ma pełne rozwiązania.

Historia

Początki

Świt arytmetyki

Historycznym odkryciem natury arytmetycznej jest fragment tablicy: złamana gliniana tabliczka Plimpton 322 ( Larsa , Mezopotamia , ok. 1800 rpne) zawiera listę „ trójek pitagorejskich ”, czyli liczb całkowitych, takich jak . Są one zbyt duże, aby można je było uzyskać w wyczerpujących badaniach . Układ tabletu sugeruje, że został on skonstruowany przy użyciu tego, co we współczesnym języku sprowadza się do tożsamości ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$

{\ displaystyle \ po lewej ({\ frac {1} {2}} \ po lewej (x - {\ frac {1} {x}} \ po prawej) \ po prawej) ^ {2} + 1 = \ po lewej ({\ frac {1} {2}} \ po lewej (x + {\ frac {1} {x}} \ po prawej) \ po prawej) ^ {2}}

Podczas gdy babilońska teoria liczb składa się z tego pojedynczego fragmentu, babilońska algebra (w sensie licealnej „algebry” ) była wyjątkowo dobrze rozwinięta. Pitagoras nauczyłby się matematyki od Babilończyków. Wiele wcześniejszych źródeł podaje, że Tales i Pitagoras podróżowali i studiowali w Egipcie .

Odkrycie irracjonalności √ 2 przypisuje się wczesnym pitagorejczykom. Wydaje się, że to odkrycie spowodowało pierwszy kryzys w historii matematyki; jej dowód i rozpowszechnienie przypisuje się czasami Hippasosowi , który został wygnany z sekty pitagorejskiej. Wymusiło to rozróżnienie między liczbami (całkowitymi i wymiernymi) z jednej strony a długościami i proporcjami (liczby rzeczywiste) z drugiej.

Chińskie twierdzenie reszta pojawia się jako ćwiczenie w Traktacie Sunzi Suanjing ( III E , IV E lub V th wieku pne. ).

Starożytna Grecja i początek okresu hellenistycznego

Poza kilkoma fragmentami matematyka starożytnej Grecji jest nam znana albo z relacji współczesnych niematematyków, albo z prac matematycznych okresu hellenistycznego. W przypadku teorii liczb dotyczy to Platona i Euklidesa . Platon interesował się matematyką i wyraźnie odróżniał arytmetykę od rachunku różniczkowego. (Dla arytmetyki słyszał teorię o liczbie.) To właśnie dzięki jednemu z dialogów Platona, Theaetetusowi , wiemy, że Teodor udowodnił, że są liczbami niewymiernymi . Theetetus był, podobnie jak Platon, uczniem Teodora; pracował nad rozróżnieniem różnych typów współmierności i dlatego był prawdopodobnie pionierem w badaniach nad systemami cyfrowymi. ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}, {\ sqrt {5}}, \ kropki, {\ sqrt {17}}}$

Euklides oddana część jego elementów do liczb pierwszych i podzielności, tematów centralnych w teorii liczb (książki VII do IX Euklidesa Elements ). W szczególności podał algorytm obliczania największego wspólnego dzielnika dwóch liczb ( Elements , Prop. VII.2) oraz pierwszy znany dowód istnienia nieskończoności liczb pierwszych ( Elements , Prop. IX. 20).

Diofant

Niewiele wiemy o Diofantosie z Aleksandrii ; prawdopodobnie żył w trzecim wieku naszej ery, czyli około pięćset lat po Euklidesie. Arithmetica jest zbiorem problemów, gdzie zadaniem jest znalezienie racjonalnych rozwiązań równań wielomianowych, zwykle w formie lub lub . Tak więc dzisiaj mówimy o równaniach diofantycznych, gdy mówimy o równaniach wielomianowych, dla których musimy znaleźć rozwiązania racjonalne lub całkowite. ${\ styl wyświetlania f (x, y) = z ^ {2}}$ ${\ styl wyświetlania f (x, y, z) = w ^ {2}}$

Podczas gdy Diofant interesował się głównie rozwiązaniami racjonalnymi, domyślał się liczb naturalnych, takich jak fakt, że każda liczba całkowita jest sumą czterech kwadratów .

Aryabhana, Brahmagupta, Bhaskarah

Podczas gdy grecka astronomia prawdopodobnie wpłynęła na indyjskie nauczanie, aż do wprowadzenia trygonometrii, wydaje się, że indyjska matematyka jest tradycją tubylczą; Rzeczywiście, nie ma dowodów na to, że Elementów Euklidesa osiągnęły Indie przed XVIII -tego wieku.

Aryabhata wykazały, że pary przystawania (476-550 pne.) , Mogą być rozwiązane za pomocą metody nazwał kuṭṭaka ; jest to ścisła i uogólniona procedura algorytmu Euklidesa , która prawdopodobnie została odkryta niezależnie w Indiach. Brahmagupta (628 pne) rozpoczął badanie równań kwadratowych, w szczególności równania Pella-Fermata , którym interesował się już Archimedes , a które na Zachodzie zaczęto rozwiązywać dopiero za pomocą Fermata i Eulera . Ogólną procedurę (Metoda chakravala ) rozwiązać równanie Pella został znaleziony przez Dżajadewa (cytowane w XI th century, jego praca jest stracony); pojawi się pierwszy żyjący ekspozycja w bija-Ganita z Bhaskaraćarja . Indian matematyki pozostawał nieznany w Europie aż do końca XVIII -tego wieku. Dzieło Brahmagupty i Bhaskary zostało przetłumaczone na angielski w 1817 roku przez Henry'ego Colebrooke'a . ${\ displaystyle n \ ekwiwalent a_ {1} {\ bmod {m}} _ {1}}$ ${\ displaystyle n \ równoważny a_ {2} {\ bmod {m}} _ {2}}$

Arytmetyka w złotym wieku islamu

Wczesnym IX XX wieku kalif Al-Mamun zamawiać tłumaczenia licznych dzieł greckich matematyki i przynajmniej jedną pracę sanskrytu (w Sindhind , które mogą lub nie mogą być takie Brāhmasphuṭasiddhānta z Brahmagupta ). Główne dzieło Diofanta , Arithmetica , zostało przetłumaczone na język arabski przez Qusta ibn Luqa (820-912). Według Roshdi Rashed, Alhazen , współczesny Al-Karaji , wiedział, co później nazwano twierdzeniem Wilsona .

Europa Zachodnia w średniowieczu

Poza traktatem Fibonacciego o kwadratach w postępie arytmetycznym w Europie Zachodniej w średniowieczu nie dokonano żadnego postępu w teorii liczb . Sytuacja w Europie zaczęła się zmieniać pod koniec renesansu, dzięki ponownemu studium dzieł starożytnej Grecji.

Nowoczesna teoria liczb

Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665) nigdy nie opublikował swoich pism; w szczególności jego praca nad teorią liczb zawarta jest prawie w całości w Listach do matematyków oraz w Prywatnych notatkach i marginesach. Prawie nie napisał żadnego dowodu teorii liczb. Nie miał wzoru do naśladowania w tej dziedzinie. Wielokrotnie wykorzystywał rozumowanie rekurencyjne , wprowadzając metodę nieskończonego schodzenia . Jednym z pierwszych zainteresowań Fermata były liczby doskonałe (które pojawiają się w Elementach Euklidesa IX) i liczby przyjazne ; to doprowadziło go do pracy nad dzielnikami całkowitymi, które od początku były tematem korespondencji (rok 1636 i następne), co umożliwiło mu kontakt z ówczesną społecznością matematyczną. Przestudiował już uważnie wydanie Diofanta Bachet; po 1643 r. jego zainteresowania zwróciły się w stronę problemów diofantycznych i sumy kwadratów (traktowanych również przez Diofanta).

Wyniki Fermata w arytmetyce obejmują:

W Małe twierdzenie Fermata (1640), wskazując, że jeśli nie jest podzielna przez liczby pierwsze p , wtedy . ${\ displaystyle a ^ {p-1} \ ekwiwalent 1 {\ bmod {p}}}$
Jeśli a i b nie są względem siebie pierwsze, nie jest podzielne przez żadną liczbę pierwszą przystającą do -1 modulo 4 i każdą liczbę pierwszą przystającą do 1 modulo 4 można zapisać jako . Te dwa oświadczenia pochodzą z 1640 r.; w 1659 Fermat napisał do Huygensa , że udowodnił ostatnie stwierdzenie przez nieskończone pochodzenie. Fermat i Frenicle wykonali pewną pracę (niektóre błędne) nad innymi formami kwadratowymi. $a ^ {2} + b ^ {2}$ $a ^ {2} + b ^ {2}$
Fermat postawił problem rozwiązywania jako wyzwanie dla matematyków angielskich (1657). Wallis i Brouncker rozwiązali problem w ciągu kilku miesięcy. Fermat uznał ich rozwiązanie za prawidłowe, ale wskazał, że dostarczyli algorytm bez dowodu (jak Jayadeva i Bhaskara, chociaż Fermat nigdy się nie dowie). Twierdzi, że dowód można znaleźć w nieskończonym pochodzeniu. ${\ styl wyświetlania x ^ {2} -Ny ^ {2} = 1}$
Fermat deklaruje i udowadnia (zstępując w nieskończoność) jako dodatek do obserwacji Diofanta (Obs XLV), że równanie Diofantyna nie ma nietrywialnych rozwiązań w liczbach całkowitych. Fermat wspomniał również swoim korespondentom, że nie ma nietrywialnych rozwiązań dla , i że można to udowodnić nieskończonym zstąpieniem. Pierwszy znany dowód pochodzi od Eulera (1753, o nieskończonym pochodzeniu). ${\ styl wyświetlania x ^ {4} + y ^ {4} = z ^ {4}}$ ${\ styl wyświetlania x ^ {3} + y ^ {3} = z ^ {3}}$

Stwierdzenie Fermata („Ostatnie twierdzenie Fermata”), że nie ma rozwiązań równania dla wszystkiego, pojawia się tylko na marginesach kopii Arithmetica Diophantusa. ${\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n}}$ $n \ geq 3$

Euler

Zainteresowanie Leonharda Eulera (1707-1783) teorią liczb zostało po raz pierwszy pobudzone w 1729 roku, kiedy jeden z jego przyjaciół, amator Goldbach , skierował go do niektórych prac Fermata na ten temat. Nazywa się to „odrodzeniem” nowoczesnej teorii liczb, po względnym braku sukcesu Fermata w zwróceniu na ten temat uwagi współczesnych. Praca Eulera nad teorią liczb obejmuje następujące elementy:

Dowód twierdzeń Fermata . Obejmuje to małe twierdzenie Fermata (uogólnione przez Eulera na moduły inne niż pierwsze); fakt, że wtedy i tylko wtedy , gdy ; praca mająca na celu dowód twierdzenia o czterech kwadratach (pierwszy kompletny dowód jest autorstwa Josepha-Louisa Lagrange'a (1770), następnie udoskonalony przez samego Eulera); brak niezerowych rozwiązań całkowitoliczbowych do (co implikuje przypadek n = 4 ostatniego twierdzenia Fermata, przypadek n = 3 został również potraktowany przez Eulera). ${\ styl wyświetlania p = x ^ {2} + y ^ {2}}$ ${\ displaystyle p \ ekwiwalent 1 {\ bmod {4}}}$ ${\ styl wyświetlania x ^ {4} + y ^ {4} = z ^ {2}}$
Równanie na łeb Fermatem i jego związek z ułamki .
Pierwsze kroki w kierunku analitycznej teorii liczb . W swojej pracy nad sumami czterech kwadratów, podziałami , liczbami pięciokątnymi i rozkładem liczb pierwszych Euler był pionierem w wykorzystaniu tego, co można uznać za analizę (w szczególności szeregów nieskończonych ) w teorii liczb. Zrobił niezwykłą (ale nie całkowicie rygorystyczną) wczesną pracę nad tym, co później nazwano funkcją zeta Riemanna .
Formy kwadratowe. Za Fermatem Euler kontynuował badania nad pytaniem, które liczby pierwsze można wyrazić w postaci , zapowiadając w ten sposób prawo kwadratowej wzajemności . ${\ styl wyświetlania x ^ {2} + Ny ^ {2}}$
Równania diofantyczne. Euler pracował nad niektórymi równaniami diofantycznymi. W szczególności studiował dzieło Diofantusa i próbował je usystematyzować, ale czas nie dojrzał jeszcze na taki wysiłek - geometria algebraiczna była jeszcze w powijakach. Zauważył związek między problemami diofantycznymi a całkami eliptycznymi , nad którymi sam zainicjował badania.

Lagrange, Legendre i Gauss

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) był pierwszym, który dał kompletne dowody na pewne prace i obserwacje Fermata i Eulera – na przykład twierdzenie o czterech kwadratach i teorię równania Pella-Fermata . Studiował również formy kwadratowe, określając ich relację równoważności, pokazując, jak umieścić je w formie zredukowanej itp.

Adrien-Marie Legendre (1752-1833) jako pierwszy ogłosił prawo kwadratowej wzajemności . Przypuszczał również, że dzisiaj jest równoważne twierdzeniu o liczbach pierwszych i twierdzeniu Dirichleta o progresji arytmetycznej . Dał pełną analizę równania . Pod koniec życia jako pierwszy udowodnił ostatnie twierdzenie Fermata dla n = 5. ${\ displaystyle ax ^ {2} + przez ^ {2} + cz ^ {2} = 0}$

W swoich Disquisitiones Arithmeticae (1798) Carl Friedrich Gauss (1777-1855) zademonstrował prawo kwadratowej wzajemności i rozwinął teorię form kwadratowych. Wprowadził także notację kongruencji i poświęcił część testom pierwszości . Ostatnia część Disquisitiones łączy korzenie jedności z teorią liczb. W ten sposób Gauss niewątpliwie zapoczątkował prace Évariste Galois i algebraiczną teorię liczb .

Podział na subdomeny

Począwszy od początku XIX -go wieku, następujące zmiany zaszły stopniowo:

Pojawienie się teorii liczb jako kierunku studiów.
Rozwój wiele nowoczesnych matematyki niezbędnych dla nowoczesnej teorii liczb: kompleksowej analizy , grupa teorii , teoria Galois - towarzyszy większy rygor analizy i abstrakcji w algebrze.
Pierwotny podział teorii liczb na jej współczesne poddziedziny, w szczególności analityczną i algebraiczną teorię liczb. Teoria liczb algebraicznych pojawia się wraz z badaniem wzajemności i cyklotomii, ale ta ostatnia tak naprawdę wystartowała wraz z rozwojem algebry abstrakcyjnej i teorii wartościowania . Punktem wyjścia dla analitycznej teorii liczb jest twierdzenie Dirichleta o postępach arytmetycznych (1837), którego dowodem jest wprowadzenie funkcji L i analiza asymptotyczna . Pierwsze użycie idei analitycznych w teorii liczb sięga Eulera (1730) za pomocą szeregów i granic. Zastosowanie analizy zespolonej w teorii liczb pojawia się później: praca Bernharda Riemanna (1859) dotycząca funkcji zeta jest punktem wyjścia. Twierdzenie z czterech kwadratów Jacobi (1839) podjęła wiodącą rolę w analitycznej teorii liczb ( form modularnych ).

Zacytować

„Matematyka jest królową nauki, a teoria liczb królową matematyki. » Gaussa

Bibliografia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z anglojęzycznego artykułu Wikipedii zatytułowanego „ Teoria liczb ” ( patrz lista autorów ) .

Wprowadzenie do kohomologii pól liczbowych . “ Die Zahlentheorie nimmt unter den mathematishen Disziplinen eine ähnlich idealisierte Stellung ein wie die Mathematik selbst unter den anderen Wissenschaften. "
Zob. np. komentarz wstępny Iwańca i Kowalskiego 2004 , s. 1.
Apostol 1976 , s. 7.
Granville 2008 , rozdział 1: „ Główna różnica polega na tym, że w algebraicznej teorii liczb [...] zazwyczaj rozpatruje się pytania z odpowiedziami podanymi za pomocą dokładnych wzorów, podczas gdy w analitycznej teorii liczb [...] szuka się dobrych przybliżeń . "
Granville 2008 , sekcja 3: „ [Riemann] zdefiniował to, co teraz nazywamy funkcją zeta Riemanna […] Głęboka praca Riemanna dała początek naszemu podmiotowi […] ”
Zob. uwagi we wstępie do Iwańca i Kowalskiego 2004 , s. 1: „ Jednak znacznie silniejszy… ” .
Edwards 2000 , s. 79.
Martin Davis , Yuri Matiyasevich i Julia Robinson , „Dziesiąty problem Hilberta: równania diofantyczne: pozytywne aspekty negatywnego rozwiązania” , w: Felix E. Browder (red.), Rozwój matematyczny wynikający z problemów Hilberta , AMS , coll. „Proc. Miły. Czysta matematyka. „( N O XXVIII.2)1976( ISBN 0-8218-1428-1 , zbMATH 0346.02026 ) , s. 323-378. Przedruk w The Collected Works of Julia Robinson , pod redakcją Solomona Fefermana , s . 269-378, AMS, 1996.
Neugebauer ( Neugebauer 1969 , s. 36-40) omawia szczegółowo tabelę i przy okazji wspomina o metodzie Euklidesa we współczesnej notacji: ( Neugebauer 1969 , s. 39).
Neugebauer i Sachs 1945 , s. 40. Część tekstu angielskiego do przetłumaczenia na język francuski
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
Termin takiltum jest problematyczny. Robson woli renderowanie
Przetłumacz ten tekst • Narzędzia • (+) „ Kwadrat trzymający przekątnej, z którego wyrwano 1 tak, że krótki bok wystaje… ” Robson 2001 , s. 192.
Robson 2001 , s. 189. - Współczesną formułę podają inne źródła . Van der Waerden podaje zarówno nowoczesną formułę, jak i tę, którą Robson wydaje się preferować. ( van der Waerden 1961 , s. 79). ${\ styl wyświetlania (p ^ {2} -q ^ {2}, 2pq, p ^ {2} + q ^ {2})}$
van der Waerden 1961 , s. 184.
van der Waerden 1961 , s. 43.
Jamblique , Life of Pitagoras , cytowany w van der Waerden 1961 , s. 108. Zobacz także Porphyry , Life of Pythagore , pkt 6. Van der Waerden ( van der Waerden 1961 , s. 87-90) potwierdza pogląd, że Tales znał matematykę babilońską.
Herodot (II.81) i Izokrates ( Busiris 28), cytowany w (en) Carl A. Huffman i Edward N. Zalta , „Pythagoras” w Stanford Encyclopaedia of Philosophy ,8 sierpnia 2011( przeczytaj online ). Na Talesie patrz Eudemus Część tekstu angielskiego do przetłumaczenia na język francuski
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
ok.
Przetłumacz ten tekst • Narzędzia • (+) Proclus, 65,7 (np. w Morrow 1992 , s. 52) cyt. za: O'Grady 2004 , s. 1. Proclus korzysta z dzieła Eudemusa z Rodos (obecnie nieistniejącego), Katalogu Geometrów . Zobacz także wstęp, Morrow 1992 , s. XXX Część tekstu angielskiego do przetłumaczenia na język francuski
Angielski tekst do przetłumaczenia:
o niezawodności Proclus
Przetłumacz ten tekst • Narzędzia • (+) .
Platon, Teajtet , s. 147 B, cyt. za von Fritz 2004 , s. 212: „ Teodor pisał nam coś o pierwiastkach, takich jak pierwiastki trzech lub pięciu, pokazując, że są one niemierzalne przez jednostkę;… ” . Zobacz także Spirala Teodora z Cyreny .
van der Waerden 1961 , s. 109.
Becker 1936 .
von Fritz 2004 .
Heath 1921 , s. 76.
Sunzi Suanjing , rozdz. 3, problem 26. Można to znaleźć w Lam i Ang 2004 , s. 219-220, który zawiera pełne tłumaczenie Suan Ching (po Qian 1963 ). Zobacz także dyskusję w Lam i Ang 2004 , s. 138-140.
Część tekstu angielskiego do przetłumaczenia na język francuski
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
Data tekstu została zawężona do 220-420 ne (Yan Dunjie) lub 280-473 ne (Wang Ling) na podstawie wewnętrznych dowodów (= systemy podatkowe przyjęte w tekście).
Przetłumacz ten tekst • Narzędzia • (+) Zob. Lam i Ang 2004 , s. 27-28.
Boyer i Merzbach 1991 , s. 82.
Plofker 2008 , s. 119.
Możliwość wcześniejszego kontaktu między babilońskiej i indyjskich matematyki pozostaje kwestią przypuszczeń. ( Plofker 2008 , s. 42).
Mumford 2010 , s. 387.
Aryabhata, Aryabhatiya , rozdz. 2, k. 32-33, cyt. za: Plofker 2008 , s. 134-140. Zobacz także Clark 1930 , s. 42-50. Znacznie dokładniejszy opis kundaki został później dokonany w Brahmagupta , Brahmasphuṭasiddhānta , XVIII, 3-5 (w Colebrooke 1817 , s. 325, cytowany w Clark 1930 , s. 42).
Mumford 2010 , s. 388.
Plofker 2008 , s. 194.
Plofker 2008 , s. 283.
Colebrooke 1817 .
Colebrooke 1817 , s. lxv, cytowany w (w) JFP Hopkins , "Geographical and Navigational Literature" , w JL Young, JD Latham i RB Serjeant, Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period , Cambridge University Press, coll. „Historia literatury arabskiej w Cambridge”,1990( ISBN 978-0-521-32763-3 ) , s. 302. Zobacz także przedmowę (w) Eduard Sachau , Alberuni 's India: An Account of the Religion, Philosophy, Literature, Geography, Chronology, Astronomy and Astrology of India , tom. 1, Londyn, Kegan, Paul, Trench, Trübner & Co.,1888( prezentacja online ), cytowany w Smith 1958 , s. 168.
(w) David Pingree , „ Fragmenty dzieł Ya'qub ibn Tariq (w) ” , Journal of Near Eastern Studies , tom. 26,1968, s. 97-125oraz (en) David Pingree , „ Fragmenty dzieł al-Fazari ” , Journal of Near Eastern Studies , tom. 28,1970, s. 103-123, cytowany w Plofker 2008 , s . 256.
Wysypka 1980 , s. 305-321.
Weil 1984 , s. 45-46.
Weil 1984 , s. 118. Część tekstu angielskiego do przetłumaczenia na język francuski
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
Tak było bardziej w teorii liczb niż w innych dziedzinach (uwaga w Mahoney 1994 , s. 284). Własne dowody Bacheta były „niedorzecznie niezdarne”
Przetłumacz ten tekst • Narzędzia • (+) ( Weil 1984 , s. 33).
Mahoney 1994 , s. 48, 53-54. Część tekstu angielskiego do przetłumaczenia na język francuski
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
Początkowe tematy korespondencji Fermata obejmowały dzielniki („części alikwotowe”) i wiele tematów spoza teorii liczb; patrz wykaz w liście Fermata do Robervala, 22.IX.1636
Przetłumacz ten tekst • Narzędzia • (+) , Garbarnia i Henryk 1891 , tom. II, s. 72, 74, cytowany w Mahoney 1994 , s. 54.
Weil 1984 , s. 1-2.
Weil 1984 , s. 53.
Garbarnia i Henryk 1891 , tom. II, s. 209, List XLVI Fermata do Frenicle'a, 1640, cyt. za: Weil 1984 , s. 56.
Garbarnia i Henryk 1891 , tom. II, s. 204, cyt. za: Weil 1984 , s. 63. Część tekstu angielskiego do przetłumaczenia na język francuski
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
Wszystkie poniższe cytaty z Varia Opera Fermata pochodzą z Weil 1984 , rozdz. II. Standardowa praca Garbarni i Henry'ego obejmuje rewizję pośmiertnej Varia Opera Mathematica Fermata, oryginalnie przygotowaną przez jego syna
Przetłumacz ten tekst • Narzędzia • (+) ( Fermat 1679 ).
Garbarnia i Henryk 1891 , tom. II, s. 213.
Garbarnia i Henryk 1891 , tom. II, s. 423.
Weil 1984 , s. 80, 91-92.
Weil 1984 , s. 92.
Garbarnia i Henryk 1891 , tom. ja, s. 340-341.
Weil 1984 , s. 115.
Weil 1984 , s. 115-116.
Weil 1984 , s. 2, 172.
Varadarajan 2006 , s. 9.
Weil 1984 , s. 2 i Varadarajan 2006 , s. 37
Varadarajan 2006 , s. 39 i Weil 1984 , s. 176-189.
Weil 1984 , s. 178-179.
Weil 1984 , s. 174. Część tekstu angielskiego do przetłumaczenia na język francuski
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
Euler był hojny w uznawaniu innych ( Varadarajan 2006 , s. 14), nie zawsze poprawnie.
Przetłumacz ten tekst • Narzędzia • (+)
Weil 1984 , s. 183.
Varadarajan 2006 , s. 45-55; patrz także rozdz. III.
Varadarajan 2006 , s. 44-47.
Weil 1984 , s. 177-179.
Edwards 1983 , s. 285-291.
Varadarajan 2006 , s. 55-56.
Weil 1984 , s. 179-181.
Weil 1984 , s. 181.
Weil 1984 , s. 327-328 i 332-334.
Weil 1984 , s. 337-338.
Goldstein i Schappacher 2007 , s. 14.
Część tekstu angielskiego do przetłumaczenia na język francuski
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
Z przedmowy z
Przetłumacz ten tekst • Narzędzia • (+) Disquisitiones Arithmeticae ; Część tekstu angielskiego do przetłumaczenia na język francuski
Angielski tekst do przetłumaczenia:
tłumaczenie pochodzi z is
Przetłumacz ten tekst • Narzędzia • (+) Goldstein i Schappacher 2007 , s. 16
Część tekstu angielskiego do przetłumaczenia na język francuski
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
Zobacz dyskusję w sekcji 5 Goldstein i Schappacher 2007 . Wczesne przejawy samoświadomości obecne są już w listach Fermata: stąd jego uwagi na temat tego, czym jest teoria liczb i jak „dzieło Diofantusa […] tak naprawdę do niego nie należy” (cyt. za:
Przetłumacz ten tekst • Narzędzia • (+) Weil 1984 , s. 25).
Davenport i Montgomery 2000 , s. 1.
Część tekstu angielskiego do przetłumaczenia na język francuski
Tekst w języku angielskim do tłumaczenia:
Zobacz dowód w Davenport i Montgomery 2000 , sekcja 1.
Przetłumacz ten tekst • Narzędzia • (+)
Iwaniec i Kowalski 2004 , s. 1.
Varadarajan 2006 , sekcje 2.5, 3.1 i 6.1.
Granville 2008 , s. 322-348.
Część tekstu angielskiego do przetłumaczenia na język francuski
Tekst w języku angielskim do przetłumaczenia:
Zobacz komentarz na temat znaczenia modułowości w Iwaniec i Kowalski 2004 , s. 1.
Przetłumacz ten tekst • Narzędzia • (+)

Wspomniane prace

(en) Tom M. Apostol , Wprowadzenie do teorii liczb analitycznych , Springer, coll. „Teksty licencjackie z matematyki”,1976, 340 pkt. ( ISBN 978-0-387-90163-3 , czytaj online )
(de) Oskar Becker , „ Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente ” , Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik , tom. 3,1936, s. 533-553
(en) Carl Benjamin Boyer i Uta C. Merzbach , A History of Mathematics , New York, Wiley ,1991, 2 II wyd. ( 1 st ed. 1968), 736, str. ( ISBN 978-0-471-54397-8 ), wydanie 1968 na archive.org
(en) Aryabhata i Walter Eugene Clark (tłumacz), The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: starożytna indyjska praca o matematyce i astronomii , University of Chicago Press ,1930( przeczytaj online )
(en) Henry Thomas Colebrooke , Algebra, z arytmetykami i pomiarami, z sanskrytu Brahmegupta i Bháscara , Londyn, J. Murray ,1817( przeczytaj online )
(en) Harold Davenport i Hugh L. Montgomery , Teoria liczb multiplikatywnych , Springer, coll. " GTM " ( N O 74)2000, 3 (poprawione) wyd. ( ISBN 978-0-387-95097-6 )
(w) Harold M. Edwards , " Euler and Quadratic Reciprocity " , Mathematics Magazine , tom. 56 N O 5,1983, s. 285-291 ( JSTOR 2690368 )
(en) Harold M. Edwards , Ostatnie twierdzenie Fermata: wprowadzenie genetyczne do teorii liczb algebraicznych , Springer Verlag, coll. "GTM" ( N O 50)2000, przedruk wydania z 1977 r . wyd. ( 1 st ed. 1977) ( ISBN 978-0-387-95002-0 , czytać online )
(fr + la) Pierre de Fermat , Varia Opera Mathematica , Tuluza, Joannis Pech,1679( przeczytaj online )
(en) Kurt von Fritz , „Odkrycie niewspółmierności przez Hippasusa z Metapontum” , w J. Christianidis, Klasyka w historii matematyki greckiej , Berlin, Kluwer (Springer),2004( ISBN 978-1-4020-0081-2 )
(en) Catherine Goldstein i Norbert Schappacher , „Książka w poszukiwaniu dyscypliny” , w C. Goldstein, N. Schappacher i Joachim Schwermer, Kształtowanie arytmetyki według CF Gaussa „Disquisitiones Arithmeticae” , Berlin i Heidelberg, Springer,2007( ISBN 978-3-540-20441-1 , czytaj online ) , s. 3-66
(en) Andrew Granville , „Analytic Number Theory” , w: Timothy Gowers , June Barrow-Green i Imre Leader , The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press,2008( ISBN 978-0-691-11880-2 , czytaj online )
(en) Thomas L. Heath , Historia matematyki greckiej , tom. 1: Od Thales do Euclid , Oxford, Clarendon Press ,1921( przeczytaj online )
(en) Henryk Iwaniec i Emmanuel Kowalski , Analityczna teoria liczb , t. 53, Providence, RI, AMS, coll. "Publikacje Kolokwium AMS",2004( ISBN 0-8218-3633-1 )
(pl) Lay Yong Lam i Tian Se Ang , Fleeting Footsteps: Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China , Singapur, World Scientific,2004( ISBN 978-981-238-696-0 , czytaj online )
(en) MS Mahoney , Kariera matematyczna Pierre'a de Fermata, 1601-1665 , Princeton University Press,1994, 2 II wyd. ( ISBN 978-0-691-03666-3 , czytaj online )
(en) Proclus i Glenn Raymond Morrow (redaktor i tłumacz), A Commentary on Book 1 of Euclid's Elements , Princeton University Press,1992( ISBN 978-0-691-02090-7 , czytaj online )
(en) David Mumford , „ Matematyka w Indiach : recenzja przez Davida Mumforda ” , Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , tom. 57, n o 3,2010, s. 385-390 ( czytaj online )
(en) Otto E. Neugebauer , Nauki ścisłe w starożytności , Nowy Jork, Dover Publications ,1969, poprawiony przedruk wydania z 1957 r . wyd. , 240 pkt. ( ISBN 978-0-486-22332-2 , czytaj online )
(en) Otto E. Neugebauer , Abraham Sachs (en) i Albrecht Götze , Matematyczne teksty klinowe , American Oriental Society itp., coll. "American Oriental Series" ( n O 29)1945
(en) Patricia O'Grady , „ Tales z Miletu ” , Internetowa Encyklopedia Filozofii,wrzesień 2004(dostęp 7 lutego 2012 )
(en) Kim Plofker , Matematyka w Indiach , Princeton (NJ), Princeton University Press ,2008, 357 s. ( ISBN 978-0-691-12067-6 , czytaj online ).
(zh) Baocong Qian ( reż. ), Suanjing shi shu (Dziesięć klasyków matematycznych) , Pekin, Zhonghua shuju,1963( przeczytaj online )
Roshdi Rashed , „ Twierdzenie Ibn al-Haythama i Wilsona ”, Archiwum Historii Nauk Ścisłych , tom. 22 N O 4,1980, s. 305-321 ( DOI 10.1007/BF00717654 )
(en) Eleanor Robson , „ Ani Sherlock Holmes, ani Babilon: ponowna ocena Plimpton 322 ” , Historia Mathematica , tom. 28 N O 28,2001, s. 167-206 ( DOI 10.1006 / hmat.2001.2317 , przeczytaj online [ archiwum z21 października 2014] )
(en) DE Smith , Historia matematyki , tom. Ja, Nowy Jork, Dover Publikacje,1958
(fr + la) Paul Tannery , Charles Henry (redaktorzy) i Pierre de Fermat , Œuvres de Fermat , Paris, Gauthier-Villars ,1891, 4 tom. (1912)
(pl) VS Varadarajan , Euler w czasie: nowe spojrzenie na stare motywy , AMS,2006( ISBN 978-0-8218-3580-7 , czytaj online )
(en) Bartel L. van der Waerden i Arnold Dresden (tłumacz), Przebudzenie nauki , tom. 2, Nowy Jork, Oxford University Press,1961
(pl) André Weil , Teoria liczb: podejście poprzez historię od Hammurapiego do Legendre [ szczegóły wydań ]

Zobacz również

Powiązane artykuły

Bibliografia

(pl) Tom M. Apostol , Wprowadzenie do teorii liczb ( Math Reviews 0568909 )
GH Hardy i EM Wright ( przekład z angielskiego: François Sauvageot, pref. Catherine Goldstein ), Wprowadzenie do teorii liczb [„ Wprowadzenie do teorii liczb ”] [ szczegóły wydania ]
(en) Hugh L. Montgomery i Robert C. Vaughan , Teoria liczb multiplikatywnych , tom. I: Teoria Klasyczna , Cambridge (GB), Cambridge University Press ,2007, 552 s. ( ISBN 978-0-521-84903-6 , czytaj online )
Jean-Pierre Serre , Kurs arytmetyczny ,1970[ szczegóły wydań ]
(en) CA Truesdell , „Leonard Euler, Supreme Geometer” , w: John Hewlett (tłumacz), Leonard Euler, Elements of Algebra , New York, Springer-Verlag,1984, 5 th ed. ( ISBN 978-0-387-96014-2 , czytaj online ). Wersja online nie zawiera wstępu do Truesdell, który z kolei jest reprodukowany (nieco skrócony) w:
(en) CA Truesdell , „Leonard Euler, Supreme Geometer” w: William Dunham, Geniusz Eulera: refleksje na temat jego życia i pracy , New York, MAA , coll. „MAA trzechsetletni Eulera czerwony” ( N O 2)2007( ISBN 978-0-88385-558-4 , czytaj online )

Linki zewnętrzne

Wprowadzenie do teorii liczb
Dodatek edukacyjny od OpenClassRoom
(pl) JS Milne , „ Teoria liczb algebraicznych ” ,2014